函数项级数一致收敛的比较判别法与对数判别法毕业论文.doc

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1、 函数项级数一致收敛的比较判别法与对数判别法摘 要：函数项级数在级数理论中占有重要地位，研究函数项级数的一致收敛性至关重要。本文将通过已有结论发现判断函数项级数一致收敛性的一些新的判别法。(1) 比较判别法：对已有结论做进一步的推广，得到比较判别法。再结合确界知识得出比较判别法的极限形式。另外，将函数项级数特殊化得出M判别法。在此基础上，将对比的级数换成具有相同的敛散性的级数，将M判别法作进一步的推广。(2) 对数判别法：当比较判别法中的两级数均为正项级数时，不等式的两边同时取对数可得到对数判别法。而且，当级数取特殊的级数时，可将对数判别法特殊化，得到新的判别法。关键词：函数项级数 ；一致收敛

2、；比较判别法 ；对数判别法 The Comparison criterion and logarithm criterion of the uniform convergence of Functions Series Abstract: Functional Series plays an important role in the series theory, its very important to study the uniform convergence of Functions Series. This article will found some new criterion

3、about the uniform convergence of Functions Series through the some results that already founded Series. (1) Comparison criterion : Made the results that already know more further promotion in order to get new criterion. Combined with knowledge obtained supremum,get the limit form of Comparison Tests

4、. In addition, made Functional Series special to get M criterion. On this basis, comparison of the series will be replaced with series of the same convergence and divergence , let the M criterion gets further promotion. (2) Logarithm criterion: When the two series in the comparison criterion are bot

5、h in positive terms, made a logarithm transform on the both sides of the inequality on the same time, then we get logarithm criterion. Moreover, when the series be replaced by a special series, the method can determine logarithm criterion specialization ,and will get a new identification method. Key

6、words: Functions Series；Uniform convergence；Comparison criterion；Logarithm criterion引言目前关于数项级数敛散性的研究很多，也已经得到了很多有价值的成果。文献1不仅证明了关于正项级数敛散性的比较判别法、比式判别法、根式判别法、积分判别法及拉贝判别法，而且探讨了关于判断一般项级数敛散性的柯西收敛准则、莱布尼茨判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法。文献2和文献3利用数列极限和函数极限的关系，把求函数项级数敛散性的问题转化为求函数极限的问题；文献4和文献5对正项级数的比式判别法进行了推广，使比式的分子分母不仅仅局限于相

7、邻的两项；文献6在文献4和文献5的基础上，进一步对比式判别法进行推广得到广义比式判别法，使比式判别法的应用更加广泛；文献7利用比较判别法，对根式判别法和阿贝尔判别法作了一定的推广。函数项级数作为数项级数的推广同数项级数有紧密的联系。函数项级数的一致收敛性同数项级数的敛散性密切相关。判断一个函数项级数的一致收敛性对于研究函数项级数具有至关重要的作用。但是目前关于函数项级数的一致收敛性的探讨还很不成熟，需要对此进行更进一步的研究。在文献1中已有一些判别函数项级数一致收敛性的判别法，如：柯西准则，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等。文献8利用数列对用定义判断函数项级数一致收敛性进行了推广。文献9结合数项

8、级数的比式判别法与根式判别法，得到了函数项级数一致收敛的比式与根式判别法。文献10在文献9的基础上，结合确界的有关知识，进一步对根式判别法做了推广，使根式判别法的应用范围更为广泛。本文将以这些已有结论作为基础，对比数项级数敛散性的相关结论，对函数项级数的一致收敛性进行进一步的探讨，以便找到更为简洁的判别法。首先，在文献1中有一道习题：若在数集D上对任何正整数n, ，证明当在D上一致收敛时，级数在D上也一致收敛。对该题作一推广，当不一致收敛时也不一致收敛。由此，得到判别函数项级数一致收敛性的比较判别法。另外，类比文献10,将比较判别法与确界知识结合起来，得到比较判别法的极限形式。又由于数项级数是

9、函数项级数的特例，当一数项级数收敛时，其作为函数项级数在定义域上一致收敛。因此，当函数项级数是一个数项级数时，由函数项级数的比较判别法可得到另一判别法:M判别法。其次，由于已知当时，收敛，当时，发散。故可将作为一特殊的数项级数，利用M判别法得出函数项级数一致收敛性的另一新的判别法。又由于，具有相同的敛散性，因此，在推论中可将分别替换为和。与此同时，可对比比较判别法的极限形式，推导出这些推论的极限形式，使这些结论更为一般。最后，若比较判别法中的两级数均为正项级数时，对不等式两边同时取对数，可得到一种新的判别法：对数判别法。另外，可将级数作为特殊的函数项级数，对比对数判别法，推导出推论2.1，进而

10、得到推论2.1的极限形式。本文将对上述几种方法进行详细的探讨，并给出几个利用这些判别法判断一致收敛性的例子。1.比较判别法在文献1中有一道习题：若在数集D上对任何正整数n,，证明当 在D上一致收敛时，级数在D上也一致收敛。对该题作一推广，可得到如下定理：定理1（比较判别法）：若在数集D上，对任何正整数n,，则当 在D上一致收敛时，级数在D上也一致收敛，当 不一致收敛时也不一致收敛。证明：由于在在D上一致收敛，则，当时，有又由于则故有:。于是 , 在D上一致收敛。当不一致收敛时，使 。于是，有此时， 不一致收敛。推论1.1：（极限形式）设两个函数项级数 ， 定义在数集D上，其中，若存在，记，则有

11、：(1)当时，与具有相同的一致收敛性；(2)当时，若一致收敛，则 也一致收敛；(3)当时，若不一致收敛，则不一致收敛。证明：由于 所以，当时， 有，则故： (1)当时，由得当一致收敛时，一致收敛故由定理1比较判别法得， 也一致收敛。又有故取，不一致收敛时 不一致收敛。(2当时,有，则故由比较判别法得：一致收敛时， 也一致收敛(3)当时，又在数集D上，故取，由比较判别法得：当不一致收敛时，不一致收敛。推论1.2：（M判别法）设函数项级数 定义在数集D上，为收敛的正项级数，若对一切有，则函数项级数在D上一致收敛。证明：由于为收敛的正项级数，则在上一定一致收敛，故由比较判别法知，函数项级数在D上一致

12、收敛。推论1.3：设函数项级数 定义在数集D上，对于数集D上的任一点有：(1)当且时 ,一致收敛；(2)当且时 ,不一致收敛。证明：当时，收敛，故当时，由M判别法得：一致收敛。当时，发散，故时，由M判别法得：不一致收敛。推论1.4：（极限形式）函数项级数 定义在数集D上，若对于数集D上的任一点有，记，则：(1)当且时,一致收敛；(2)当且时,不一致收敛。证明：设，则由比较判别法的极限形式及推论1.3可得此结论。推论1.5：函数项级数 定义在数集D上，若对于数集D上的任一点有：(1)当且时,一致收敛；(2)当且时,不一致收敛。证明：由于当收敛，所以，由M判别法可得，当且时,一致收敛；当且时,不一

13、致收敛。推论1.6（极限形式）设函数项级数 定义在数集D上，若对于数集D上的任一点有，则：(1)当且时,一致收敛；(2)当且时,不一致收敛。证明：设，则由比较判别法的极限形式及推论5可得此结论。推论1.7：设函数项级数 定义在数集D上，若对于数集D上的任一点有：(1)当且时,一致收敛；(2)当且时,不一致收敛。证明： 当时收敛，时发散。由M判别法得：当且时,一致收敛；当且时,不一致收敛。推论1.8（极限形式）设函数项级数 定义在数集D上，若对于数集D上的任一点有，则：(1)当且时,一致收敛；(2)当且时,不一致收敛。证明：设，则由比较判别法的极限形式及推论7可得此结论。2.对数判别法定理2（对

14、数判别法）：设和是定义在数集D上的两个正项级数，且对任何正整数n,有，则:(1)当一致收敛时,级数也一致收敛;(2)当不一致收敛时,也不一致收敛。证明：由于，所以。故由比较判别法可得：当一致收敛时，级数 也一致收敛；当不一致收敛时，也不一致收敛。推论2.1：设是定义在数集D上的正项级数，若对级数，有：(1)当且p1时,一致收敛；(2)当且时,不一致收敛。证明：设，则：(1) 当p1时，收敛，又，故: 则，由对数判别法得，一致收敛；(2) 当时，发散，又，故:则，由对数判别法得,不一致收敛。推论2.2：设是定义在数集D上的正项级数，若存在，那么：(1) 若对，成立，则一致收敛；(2) 若对，成立

15、，则不一致收敛。证明：，当时，有：即：,则：(1)当对，成立时,，又级数，当p1时收敛，故由M判别法知：在D上一致收敛。(2)当对，成立时，又级数，当时发散，故由M判别法知：在D上不一致收敛。3.应用举例例1：判断函数项级数的一致收敛性解：由于 ，故由推论1.2，一致收敛。例2：判断级数的一致收敛性解：由于 = 0所以，由推论1.4得：级数一致收敛。例3：判断函数项级数（）的一致收敛性解：由于所以，由推论1.5知：级数（）一致收敛。例4：判断函数项级数()的一致收敛性证明： =由于，且P=1。由推论1.6知，原级数不一致收敛。例5：判断级数的一致收敛性解：由于 = = =2所以，由推论2.2知

16、：级数一致收敛。参考文献1华东师范大学数学系. 数学分析（上册）(第三版)M.北京：高等教育出版社，2001:1-36.2张丽颖.数项级数敛散性的函数判别法J.辽宁高职学报,2000，2(1)47-55. 3戴振祥.数项级数敛散性的判别法J.浙江万里学院学报,1999，12(2)：35-36.4苏艳华.正项级数判敛的新的比值判别法及推广J.辽宁教育学院学报,2002，19(9):13-15.5于兴江，杜学知.正项级数收敛性的比式判别法的进一步的推广J.济南大学学报,自然科学版，2003,17(2) ,165-168.6李波，崔群法. 正项级数收敛判别法的推广J.安阳工学院学报,2008(6):

17、97-100.7邹琴芬，阮建苗.正项级数收敛判别法再探及运用J. 浙江教育学院学报,2008(5):54-58.8李岚.函数项级数一致收敛定义的推广及应用J.陕西教育学院学报，2003,19(2):86-879毛一波.函数项级数一致收敛性的判别法J.重庆文理学院学报:自然科学版,2006,5(4):55-56.10金玮.函数项级数一致收敛的判别法J.甘肃联合大学学报：自然科学版，2009，23(5)：110-114.致谢大学四年学习时光已经接近尾声，在此，我想对我的老师、同学们和父母表达我由衷的谢意。首先，我要感谢我的指导老师，感谢邢老师在百忙之中抽出时间来指导我。这篇论文是在邢老师的悉心指导

18、和帮助下完成的,在此向邢老师表示衷心的感谢!回顾写论文的整个过程,我一直得到邢老师在论文上给我的精心指导和帮助.在她的谆谆教导下，我在写论文的过程中逐渐形成了严谨的治学态度，培养了在科学研究中分析问题和解决问题的能力，这些都将对我今后的工作和学习产生重大影响.邢老师高尚的品格，渊博的知识，执着的探索精神使我受益匪浅，终生难忘.在此，我再次向邢老师表示诚挚的谢意！其次，我要感谢我的学校及各位领导，尤其是数学系的各位领导及辅导员，感谢你们的栽培和赏识。再次，我还要感谢在一起愉快的度过大学时光的同学和室友，正是由于他们对我的热心帮助和不断的鼓励，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。最后，我要感谢我要感谢我的父母，是你们含辛茹苦把我抚养成人。祝所有关心和帮助我的人身体健康、万事如意！ 13