ch15-02一般周期函数的傅里叶级数ppt课件.ppt

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1、第二节以以2 l 为周期的为周期的 函数的傅里叶展开函数的傅里叶展开 第15章 * *二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式一、以一、以2 l 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 一、以2 l 为周期的函数的傅里叶级数周期为 2l 函数 f (x)周期为 2 函数 F(t)变量代换lxt将F(t) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 设 f (x) 是以 2l为周期的函数，则它的傅里叶10sincos2)(nnnlxnblxnaaxfnaxlxnxflbllndsin)(1其中定理

2、定理.l1xlxnxflldcos)(),2, 1,0(n),2, 1(n展开式为数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 证明证明:lxt, 则,llx,t令)(tF, )(t lf则)2()2(tlftF)2(lt lf)(t lf)(tF所以)(tF那么F 的傅里叶展开式为:10sincos2)(nnnntbtnaatF)(xf变成是以 2 为周期的周期函数 , 令数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 ttntFandcos)(1其中ttntFbndsin)(1令lxtlan1xlxnxflbllndsin)(1lxnblxnaaxfnnnsincos2)(10),2, 1,

3、0(n),3,2, 1(n),2, 1,0(n),3,2, 1(nxlxnxflldcos)(证毕. 数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1).)0()0(21),(为间断点为连续点xxfxfxxf，如果 f (x) 按段光滑，则有lxnblxnaannnsincos210数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 2)1)(nnbxf),2, 1(dsin)(nxlxnxfbn其中lxnsinl20l如果 f (x) 为偶函数, 则有2)(0axf),2, 1,0(dcos)(nxlxnxfan其中1nnalxncosl20l如果 f (x) 为奇函数, 则有 数学分析

4、数学分析目录 上页 下页 返回 结束 例例1. (1,1 上的表达式为 10010 xxxxf将 f (x) 展开成傅里叶级数，并作出级数和函数和函数的图形.0121233x)(xf1设函数 f (x) 是周期为 2 的周期函数，它在区间0a2110 xdxna10cosxxdnx1010sinsin1xdxnxnxn1cos122nn 11122nn, 2, 1n解：解：数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 nb10sinxxdnx1022cossin1xnnxxnnnnnn 11cos1, 2, 1nsin) 1(cos1) 1(41)(1122xnnxnnxfnnn, 2, 1,

5、 012,kkxx数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 由收敛定理可知由收敛定理可知sin) 1(cos1) 1(411122xnnxnnnnn12,2112),(kxkxxf0121233x xS1故级数和函数和函数的图形为数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 )(tfto0d) 1sin() 1sin(ttntn例例2. tEtEsin)(经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解: 这个半波整流函数2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里叶级数.,上的表达式为0t t02E的周期是交流电压22数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 000

6、d2sintt21Ea 2cos212E时1n0d) 1sin() 1sin(ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 时数学分析数学分析目录 上页

7、 下页 返回 结束 由于半波整流函数 f ( t ),),(上连续在Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分说明说明:交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了.上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. to)(tf22数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 展开成)20()(xxxf(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22co

8、s2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在 x = 2 k 处级数收敛于何值?将数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 2oyx(2) 将 作偶周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k则有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12 kn数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 例例4.) 11(2)(xxxf将期的傅里叶级数,

9、 并由此求级数121nn解解:y1ox12)(xf为偶函数,0nb100d)2(2xxa5xxnxand)cos()2(2101) 1(222nn因 f (x) 周期延拓后在,),(上连续 x225,) 12cos() 12(14122xkkk展开成以2为周1 , 1x的和.故得 数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 , 0 x令得122) 12(14252kk故8) 12(1212kk121nn12) 12(1nn12)2(1nn12141nn121nn12) 12(134nn62 x225,) 12cos() 12(14122xkkk1 , 1x数学分析数学分析目录 上页 下页 返

10、回 结束 注注:方法方法1, , )(baxxf令,2abzx即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在2,2abab上展成傅里里叶级数)(zF周期延拓将2abxz)(xf在,ba代入展开式上的傅里里叶级数 其傅里叶展开方法:当函数定义在当函数定义在任意有限区间任意有限区间上时上时,数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 方法2, , )(baxxf令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在ab,0上展成正弦或余弦级数)(zF奇或偶式周期延拓将 代入展开式axz)(xf在,ba即axz上的正弦或余弦级数 数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 )(z

11、Fz55例例5. )155(10)(xxxf展成傅里叶级数.解解: 令,10 xz设)55( )10()()(zzzfxfzF将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 理条件.由于F(z) 是奇函数, 故),2, 1,0(0nan5052zbnzznd5sinnn10) 1(),2,1(n则它满足收敛定5sin) 1(10)(1znnzFnn)55(z5sin) 1(10101xnnxnn)155( x将函数数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 利用欧拉公式欧拉公式*二、傅里叶级数的复数形式设 f (x)是周期为 2 l 的周期函数 , 则lxnblxnaaxfnnnsincos2

12、)(1021coslxnlxnlxniiee2sinilxnlxnlxniiee1022)(nnaaxflxnlxniiee2nbilxnlxniiee1022nnnbiaa2nnbia lxnielxnie0cncnc数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 llxfl)(21llxxfld)(21200ac llxlxnxfldcos)(1212nnnbiacllxlxnxflidsin)(llxlxnilxnxfldsincos)(21llxfl)(21),2, 1(dnxlxnie注意到2nnnbacxd同理),2, 1(nlxnie数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 傅

13、里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式:xexflcTxnillnd)(212Txninnecxf2)(),2, 1,0(n因此得数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 式的傅里叶级数 . 例例6. 解解: 在一个周期,22TT)(tu它的复数形式的傅里叶系数为 2 2d1thTTh内矩形波的函数表达式为 022d)(1TTttuTc22Toyx22Th22,th2222,0TTtt把宽为 ,高为 h ,周期为 T 的矩形波展成复数形数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 tetuTTtnid)(12 22nc22 2d1tehTTtniTnnhsin),2,1(nThtu)(hT

14、tnineTnn2sin10n), 1,0,2(kTkt 2inTThTniTnieeinh21Ttnie222数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 为正弦 级数. 内容小结1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式)(xf20alxnblxnannnsincos1(x 间断点)其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n当f (x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法变换延拓*3. 傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1. 将函数

15、展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答答: 易看出奇偶性及间断点, 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?答答: 用系数公式计算如分母中出现因子nk从而便于计算系数和写出收敛域 .,时nnbakkba 或则必须单独计算.数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 作业 P77 1 (1) , (3) ; 2 ; 4; 6.第三节收敛定理的证明收敛定理的证明 第15章 二、收敛定理的证明二、收敛定理的证明一、预备定理一、预备定理数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 122220)(1)(2nnndxxfbaa上可积，在若函数,f则.的傅立叶系数为，其中fbann预备定理预备定

16、理1(贝塞耳贝塞耳(Bessel)不等式不等式)证：证：令 )sincos(210nmnnmnxbnxaaS考察积分xxSxfmd)()(2xxSxxSxfxxfmmd)()d()(2d)(22数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 xxSxfm)d()(d)sin(dcos)(d)(210 xnxxfbxnxxfaxxfanmnnmnnnbaa12220)(2利用三角函数系的正交性，又有xxSxSmm)d()(mnnnbaa12220)(2mnmnmxnxxSaxxSa10dcos)(d)(2d)sin(xnxxSbmn数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 所以所以xxSxfm

17、d)()(2xxfd)(2mnnnbaa12220)(20因而mnnnbaa12220)(2xxfd)(2进而122220)(1)(2nnndxxfbaa数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 为可积函数，则：若f 为可积函数，则：若f, 0cos)(limnxdxxfn, 0sin)(lim nxdxxfn0, 0)21sin()(lim xdxnxfn0, 0)21sin()(limxdxnxfn推论1推论2数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 预备定理预备定理2为周期的函数，是以若2)( xf d2sin2)21sin(n)( 1)(ttttxfxSn-，且在:)(可写成和

18、则它的傅立叶级数部分xSn上可积，定式由极限时，被积函数中得到不当0t212sin2)21sin(nlim0nttt.来确定数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 收敛定理的证明收敛定理的证明.x只要证明在每一点 处下述极限成立：0)(2)0()0(limxSxfxfnn2)0()0(limxfxfn02sin2)21sin()(1dtttntxf证证:数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 002sin2)21sin()(12)0(limdtttntxfxfn002sin2)21sin()(12)0(limdtttntxfxfn或同时证明有：）（*数学分析数学分析目录 上页 下页

19、 返回 结束 ）式成立，由下证（*两边积分有：2sin2)21sin(cos21 1ttnktnk1)cos21(12sin2)21sin(11dxkxdxxxnnk:)0(后得到因此两边乘以由上式左边为偶函数，xf02sin2)21sin()0(12)0(dtttnxfxf数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 ）式可改写为：从而（*02sin2)21sin()()0(1lim0dtttntxfxfn2sin2)0()( txftxft (令)0(1)0()(lim0 xfxftt数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 .0)0()0(右连续在点，则函数再令txf, 0类间断点上

20、至多只有有限个第一在因为, 21., 0的推论根据预备定理上可积在所以0)21sin()(1limtdtntn02sin2)21sin()()0(1limdtttntxfxfn.从而，定理即证0数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 习题课傅立叶级数傅立叶级数 一、基本概念一、基本概念二、傅里叶级数展开法二、傅里叶级数展开法 第15章 数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 一、主要内容一、主要内容)(0 xunn 求和)(xS展开(在收敛域内进行)(0 xunn基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.xnbxnaxunnnsincos)(当为傅氏系

21、数) 时,时为数项级数;0 xx 当nnnxaxu)(当时为幂级数;nnba ,(时为三角级数;数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 (1) 三角函数系三角函数系1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,xxxxnxnx.,上的积分等于零任意两个不同函数在正交性cos0,nxdxsin0,nxdx三角函数系三角函数系1.1.傅里叶级数傅里叶级数0,sinsin,mnmxnxdxmn0,coscos,mnmxnxdxmnsincos0mxnxdx), 2 , 1,(nm其中数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 其中其中), 2 , 1(,sin)(1), 2

22、 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann称为傅里叶级数称为傅里叶级数. .(2) 傅里叶级数傅里叶级数10)sincos(2nnnnxbnxaa定义定义三角级数三角级数数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 xyo),上的表达式 ),0,)0,0)(xexxfx将其展为傅氏级数 .na1xnxexdcos0),2, 1,0(11) 1(12nnen设 f (x)是周期为2的函数, 它在解：解：例例1.为xnxebxndsin10),2, 1(1) 1(12nnenn21)(exf11n)sin(cosnxnnx 211) 1(nen),2,1,0,(kkx数学

23、分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 ( )cos( 0)f xxx解解:周期的正弦级数 , 展开成以 为2将函数22x并在内写出其和函数. ( )cosf xx将函数x在内进行奇延拓,以 为继而2周期进行周期延拓.例例2.xyo 2 2数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 02cos sinnbxnxdx01sin(1)sin(1) nxnx dx111 1 ( 1)1 ( 1)11nnnn 20,214,2(1)nmnnmn(1)n 数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 218cossin2. (0)(41)mmxmxxm102cossinbxxdx, 0 上级数的和函

24、数为在22x),2 ,()0 ,(cos2, 00),2(), 0(,cos)(xxxxxxs数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 例例3.3)(xxf并由此求级数121nn解解:在区间 上的傅里叶级数, 的和.2 , 0(求将 f (x) 延拓为周期为 的周期函数,2xyo24 24数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 则 f (x) 的傅里叶系数为233001d4axx2320112cosdnaxnx xn232301128sind.nbxnx xnn所以 f (x) 的傅里叶级数为223331332( )24cossin,nnf xnxnxnn).2 , 0(x数学分析数

25、学分析目录 上页 下页 返回 结束 当 时，2 , 0 x级数收敛于.420)2(33,34241233nn即当 时，有2x于是有.61212nn数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设设)(xf是周期为2的周期函数， 在),上的表达式为 0,0,1)(xxxxf(1) 求傅里叶系数 .2b(2) 写出 上傅里叶系数的和函数的表达式,解解:2bxdxxf2sin)(10)2sin(1dxx02sin1xdxx23xyo1分段表示.(略)(1)数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 (3) 求8 .116,2 . 4,1 . 6,5,2,3x时的值xyo1解：解：由图与函

26、数的周期性可知：)3(f3)2(f2)5(f21)(f)1 . 6(f)1 . 0(f1 . 0)2 . 4(f)2 . 0(f1)8 .116(f)8 . 0(f8 . 0数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 例例5. .设周期函数设周期函数 的周期为的周期为2，证明，证明: : )(xf., 2 , 1, 0, 0, 0220kbaakk 如果),()(xfxf则 傅立叶系数)(xf证证:xdxfa)(10 xdxf0)(1)(0 xdxfxdxf0)(tdtf0)(txxdxf0)(00anxdxxfancos)(1nxdxxfcos)(10cos)(0nxdxxf数学分析数学分

27、析目录 上页 下页 返回 结束 nxdxxfcos)(0txdxnnttf)cos()(0cos) 1( )(0ntdttfnxdxnxfncos)() 1(0102ka同理02kb所以nxdxxfancos)(1nxdxxfcos)(10cos)(0nxdxxf) 1(1 cos)(110nnxdxxf数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设设)(xf是以 2 为周期的函数 , 其傅氏系数为,na则hhxf()( 为常数) 的傅氏系数. , nnba解解:xdxnfancos)(1hxtdhtntfhh)(cos)(1tdtntfnh)(sin)(sin1nanh cosn

28、bnhsinhxt令tdtntfnhcos)(cos1nhbnhannsincosnhanhbnnsincos,nb数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 例例7.为区间 上可积函数. ,设 f证明：若 f 的傅里叶级数在,上一致收敛于 f ，则成立 帕塞瓦尔(Parseval)等式：, )(2d)(1122202nnnbaaxxf这里 an,bn 为 f 的傅里叶系数.证：证：在 上可积， ,因为 f (x)xxSxfmd)()(12, )(2d)(1122202mnnnbaaxxf数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 由于 f 的傅里叶级数在,上一致收敛于 f ， 因此由此得

29、. 0d)()(1lim2xxSxfmm,)(2limd)(1122202mnnnmbaaxxf即. )(2d)(1122202nnnbaaxxf数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 例例8.为区间 上可积函数, ,设 fa0,ak,bk(k=1,2,)为 f 的傅里叶系数, )sincos2)(10nknnnkxBkxAAxT试证明：当时，积分 xxTxfnd)()(2Tn(x)是一个三角多项式，即), 2 , 1(,00nkbBaAaAkkkk取最小值，且最小值为.)(2d)(122202nkkkbaaxxf数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 证：xxTxfnd)()(2

30、xxTxxTxfxxfnnd)()d()(2d)(22其中xxTxfn)d()(2d)sin(cos)(d)(2210nkkkxkxxfBkxxfAxxfA)(2200kkkkbBaAaA数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 利用三角函数系的正交性，又有xxTxTnn)d()(xkxxTBkxxTAxTAnknknknd)sin(cos)()(210nkkkxkxBkxAA1222220d)sincos(2.)(212220nkkkBAA数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 xxTxfnd)()(2xxfd)(2所以 )22(21220020nkkkkkkkbBaABAaAAxxfd)(2 )()(2)(122200nkkkkkbBaAaA.)(212220nkkkbaa数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 由此可见，当且仅当时，xxTxfnd)()(2), 2 , 1(,00nkbBaAaAkkkk的值最小，且最小值为.)(2d)(122202nkkkbaaxxf数学分析数学分析目录 上页 下页 返回 结束 P83(总练习题 ) 1; 4. 作业