满秩矩阵及矩阵满秩分解毕业论文.doc

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1、满秩矩阵及矩阵满秩分解引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了. 一 矩阵的秩定义1.11 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩.记作. 利用定义1.1计算矩阵的秩运算量很大,故而给出矩阵秩的第二定义.定义1.22 矩阵的秩等于的行秩,也等于的列秩,即行秩等于列秩.行秩指矩阵行向量组的秩,列秩指矩阵列向量组的秩.定理1.1 定义1.1和定义1.2等价.证明 设的秩为,则有不等于零

2、的阶子式.不妨设位于的左上角,设的前个列向量为.设,使得考虑线性方程组因为（2）的系数矩阵 中有一个不等于零的阶子式,所以的秩为,从而线性方程组的（2）只有零解.因此满足（1）式的,也即证明了线性无关.设是的任意个列向量.考虑线性方程组 因为方程组(3)的系数矩阵的秩小于,所以（3）有非零解,也即有.二 满秩矩阵2.1满秩矩阵的概念定义2.1.1 设上的一个矩阵,若,则称为满秩矩阵.定义2.1.2 设上的一个矩阵,若,则称为行满秩矩阵;若,则称为列满秩矩阵.命题2.1.1 若上的一个满秩矩阵,则.命题2.1.2 若矩阵的个行向量线性无关,则称此矩阵为行满秩矩阵;若矩阵的个列向量线性无关,则称此

3、矩阵为列满秩矩阵.例 2.1.1 ,则的三个列向量可知线性无关.由命题2.1.2可知,为列满秩矩阵,且.而的三个行向量易知线性无关. 由命题2.1.2可知,为行满秩矩阵,且.2.2满秩矩阵的性质性质2.2.1 设上的一个矩阵,若为行满秩矩阵,则;若为列满秩矩阵,则.证法 若为行满秩矩阵,则,即存在的一个不为的阶子式.当,则不存在不为的阶子式,故.同理可证,若为列满秩矩阵,则.证法 若为行满秩矩阵,则,由命题2.1.2知,有个行向量线性无关;当,则有个列向量线性无关.由此可得的行秩为,列秩为.但这与“的行秩等于的列秩”矛盾,因此,即.同理可证,若为列满秩矩阵,则.引理2.2.13 设那么:其中称

4、为“Sylvester不等式”.性质2.2.2 设若为列满秩矩阵,则;若为行满秩矩阵,则.证明 若为列满秩矩阵,则,由“Sylvester不等式”知,再由引理2.2.1知,从而.同理可证,若为行满秩矩阵,则. 引理2.2.2 设,则存在数域上非零的矩阵,使得的充分必要条件为.其逆否命题可表述为设,则存在数域上非零的矩阵,使得的充分必要条件为 定理2.2.1 设且,若,则为列满秩矩阵. 证明 由于,故,从而,由引理2.2.2的逆否命题知,又,故,从而,即为列满秩矩阵. 定理2.2.2 设且,若,则为行满秩矩阵. 证明 由于,故,从而,由引理2.2.2的逆否命题知,又,故,从而,即为行满秩矩阵.引

5、理2.2.31 设为矩阵,即通过行初等变换和第一种列初等变换能把化成如下形式 进而再利用一系列第三种列初等变换能把化成如下形式 这里性质2.2.3 若为的列满秩矩阵,则存在行列的行满秩矩阵,使得;若为的行满秩矩阵,则存在行列的列满秩矩阵,使得. 证明 因为为列满秩矩阵,显然,由引理2.2.3知,则存在可逆的阶方阵将在行和行之间划分成块则为矩阵, 为矩阵,则知.又由于,而知,故为行满秩矩阵.同理可证,对于的行满秩矩阵,必存在行列的列满秩矩阵,使得性质2.2.4 设,且上的一个列满秩矩阵,若,则左消去律成立即.证明 因为,由,则即设 , , 从而有 ,故有 由于为列满秩矩阵,线性无关,从而即.性质

6、2.2.5 设,且上的一个行满秩矩阵,若,则右消去律成立即.证明 因为,又为行满秩矩阵,由性质2.2.3知必存在一列满秩矩阵,使得;由条件知,给等式两边同乘得到. 定理2.2.3 设为矩阵, ,则 (1) 存在行列的列满秩矩阵和行列的行满秩矩阵,使得.(2) 若,其中与为行列的列满秩矩阵,与为行列的行满秩矩阵,则必存在非奇异矩阵使得.证明 （1）由于,当时,是的一个满秩分解;当时,是的一个满秩分解;当时,我们知道,可通过行初等变换将化形式,也即存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵有令则 （2）因为是行列的行满秩矩阵,所以由性质2.2.3知,存在行列的列满秩矩阵,使得,于是在,两边右乘,有.令知是阶方阵,

7、下证可逆.由于是行列的列满秩矩阵,所以存在行列的行满秩矩阵,使,从而,所以是阶可逆矩阵.又因故而三 矩阵的满秩分解3.1矩阵满秩分解的概念定义3.1.14 设,若存在的列满秩矩阵和的行满秩矩阵,使得,则称此分解为矩阵的满秩分解.推论3.1.1 任意矩阵都存在满秩分解.根据定理2.2.3显然易证.3.2初等变换法基于定理2.2.3,我们可以得知,对任意矩阵都能利用初等变换法进行满秩分解.初等变换法包括行初等变换和列初等变换.行初等变换有三种变换形式,1交换两行记作,表示将第行与第行交换;2某一行乘一非零常数记作,表示给第行乘一非零常数;3某一行乘一非零常数加到另一行记作,表示给第行乘一非零常数加

8、到第行.对应的初等矩阵为1 交换两行2 第行乘一非零常数3 第行乘一非零常数加到第行列初等变换也有三种变换形式,1变换两列记作,表示将第列与第列交换;2给某一列乘一非零常数记作,表示给第列乘一非零常数;3给某一列乘一非零常数加到另一列记作,表示给第列乘一非零常数加到第列.实际上,对任意一个矩阵,进行一系列相应行或列的初等变换后都可以化成 形式;另外,给矩阵左乘或右乘若干个对应初等矩阵也可以将其化成形式.例3.2.1 求矩阵的满秩分解.解则存在3阶可逆矩阵存在4阶可逆矩阵使得 其中 其中 进而得,其中为列满秩矩阵,为行满秩矩阵.3.3 一类特殊矩阵的满秩分解定义3.3.14 设,矩阵的行转置矩阵

9、与列转置矩阵分别为 若则称为行（列）对称矩阵.定理3.3.15 设,则,其中表示次对角线元素全为1,其余元素全为0的阶方阵; 表示次对角线元素全为1,其余元素全为0的阶方阵.证明 将矩阵按行、列分块为 则行对称矩阵只有两种类型 1当行对称矩阵行数为偶数行时,可表示为;2当行对称矩阵行数为奇数行时,可表示为其中，为次对角矩阵.列对称矩阵也有两种类型 1当列对称矩阵列数为偶数列时,可表示为2当列对称矩阵列数为奇数列时,可表示为其中定理3.3.2（行对称矩阵分解定理）设的满秩分解为则 行对称矩阵的满秩分解为 行对称矩阵的满秩分解为证明 由条件知 使得由条件知,使 定理3.3.3（列对称矩阵分解定理）

10、设的满秩分解为,则 列对称矩阵的满秩分解为 列对称矩阵的满秩分解为证明 由条件知 由条件知 使得 四 总结首先,本文通过导入矩阵的秩,引出一类特殊矩阵满秩矩阵,并深入研究了它的一些重要性质;特别地,给出了这些性质的详细证明以及强调了它们之间的联系.这样加深了我们对满秩矩阵的了解.其次,提出矩阵的满秩分解,重点介绍了一种矩阵满秩分解的方法初等变换法,并通过举例对其进行了强化.这样帮助我们掌握了矩阵的满秩分解.最后,强调一类特殊矩阵满秩分解的形式,并对其展开了深入探讨.这部分作为对一般矩阵满秩分解内容的补充,有效地提高了我们分析矩阵满秩分解问题的能力.致谢本论文是在邵海琴老师的悉心指导下完成的,感

11、谢邵老师对我的辛勤培育.从论文的立题到论文的撰写整个过程无不浸透着老师的心血,她广博的学识,严肃的科学态度，严谨的治学精神,灵活的思维方式,耐心细致的言传身教深深感染激励着我,将使我终身受益.导师不但在学习上给予我耐心细致的指导,在生活中也给了我莫大的关怀,这份师恩我将终身难忘.同时,我要感谢我们学院给我们授课的各位老师,正是由于他们的传道、授业、解惑,让我学到了专业知识,让我的大学生活丰富多姿. 最后,感谢数应06四班的同学和我的舍友给予我的帮助.我为自己能够在这样一个温馨和谐的班级体中学习生活,深感愉快和幸福. 参考文献 刘仲奎,杨永保.高等代数M. 北京:高教出版社,2005:74-75,111-112. 王萼芳,石名生.高等代数（第三版）M.北京:高教出版社,2003:127-129. 张艳丽,刘洁晶.矩阵秩几个重要结论J.河北:衡水学院学报,2008,10(1):60-61. 王金林.矩阵分解的方法J.江西:南昌航空工业学院学报（自然科学版）,2004,18(3):20-24. 袁晖坪.对称矩阵的满秩分解和正交对角分解J.上海:上海理工大学学报,2007,29(3):72-79.14