高中数学-数列精讲.docx

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1、数 列一 选择题1等差数列中，则 （ ）A16 B21C20D312已知数列满足：，当且仅当n=3时，最小，则实数a的取值范围为（ ）A（-1，3）BCD（2，4）3.若是等差数列的前n项和，且，则 （ ）A.12 B.18 C.22 D.44 4设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为 5已知数列的前n项和，第k项满足，则k等于（ ）A6B7C8D96已知等比数列的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（ ）A数列的各项均为正数B数列中必有小于的项C数列的公比必是正数D数列中的首项和公比中必有一个大于17. 已知正项等比数列的最小值为AB1CD8. 以双曲线的离心率为首项，以函数的零点为

2、公比的等比数列的前项的和ABCD 9. 已知等差数列的前n项和为，若，则的值为A56 B42 C28 D14 二 填空题、已知数列是公比为的等比数列，集合，从中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样4个数成等比数列共有的组数记为来源:学科网 （1）若，则= ；（2）若,则 2 已知数列是公比为的等比数列，集合，从中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样4个数成等比数列共有的组数记为 （1）若，则= 10 ；（2）若,则 。3已知数列满足：，定义：使为正整数叫做企盼数，则区间1，2012内所有的企盼数的和M= 。4数列中，时，是的二项展开式中x的系数，设为数列的前n项和，则= ，=

3、。5. 数列的前n项和为，且数列的各项按如下规则排列：则= ，若存在正整数k，使，则k= 。6.定义：数列：，数列：；数列：；则 ；若的前n项的积为P，的前n项的和为Q，那么P+Q= 7.已知数列满足：，定义：使为正整数叫做企盼数，则区间1，2012内所有的企盼数的和M= 。 8.已知1=1，1-4=（1+2），14+9=1+2+3，14+916=-（1+2+3+4），则第5个等式为 ；推广到第n个等式为 。9.考虑以下数列其中满足性质“对任意正整数n，都成立”的数列有 。（写出满足条件的所有序号）；若数列满足上述性质，且，则的最小值为 。三、解答题1. 如图，平面直角坐标系中，射线（）和（）

4、上分别依次有点、，和点、，其中，且， ）（）用表示及点的坐标、及点的坐标；（）写出四边形的面积关于的表达式。2（本小题满分12分）已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，数列满足，,为数列的前n项和()求、和；()若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围3.已知单调递增的等比数列满足：；（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为,求成立的正整数 n的最小值.4. (本小题满分13分)如图，平面直角坐标系中，射线（）和（）上分别依次有点、，和点、，其中，且， ）（）用表示及点的坐标、及点的坐标；（）写出四边形的面积关于的表达式。5.（满分13分）设函数在上的最大值为

5、. （1）求数列的通项公式； （2）证明：对任何正整数，都有成立；、 （3）若数列的前之和为，证明：对任意正整数都有成立.6（本小题满分12分）某研究性学习小组设计了一种计算装置，装置有一数据入口A和一个数据出口B，执行某种运算程序：当从A口输入自然数1时，从B口得到实数，记为, 当从A口输入自然数n()时，在B口得到的结果是前一结果的倍.（）当从A口输入2,3,4时，求从B口分别得到什么数？试猜想f(n)的表示式，并用数学归纳法证明你的结论； （）记为数列的前n项的和，当从B口得到时，求对应的的值.7(本小题满分12分)已知等差数列满足：，.的前n项和为.（1）求 及；（2）若 ,（），求数

6、列的前项和.8. （本小题满分12分）已知数列满足条件：,（1）判断数列是否为等比数列； （2）若，令, 记证明： 9某企业为加大对新产品的推销力度，决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传，以增加新产品的销售收入已知今年的销售收入为250万元，经市场调查，预测第n年与第n1年销售收入an与an1万元满足关系式：anan1100 (1) 设今年为第一年，求第n年的销售收入an； (2) 依上述预测，该企业前几年的销售收入总和Sn最大10（本小题满分12分）设数列的前n项和为，已知（1）求证：数列为等差数列，并写出关于n的表达式；（2）若数列的前n项和为，求满足的最小正整数n。11（本小题满分

7、13分）已知单调递增的等比数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求使成立的正整数n的最小值。12.（理科）已知函数为实常数). （1）讨论函数的单调性； （2）设各项为正的无穷数列证明：；证明：13. 已知正项数列的前项和为，正项数列 是递增的等比数列，且，.（）求数列，的通项公式；（）若数列满足，数列的前项和为，求证：.14. 已知数列的前n项和为，且()，数列满足，对任意，都有（）求数列、的通项公式；（）令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围15. 在等差数列中，（）求数列的通项公式；（）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和16. 已知二次函数同时

8、满足：不等式的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立 设数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）数列中，令，求；（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数17. 已知数列的前项和为，点在直线上.数列满足，且，前9项和为153. （1）求数列、的通项公式； （2）设，数列的前和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值； （3）设，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18. 设数列的前n项和为，已知（1）求证：数列为等差数列，并写出关于n的表达式；（2）若数列的前n项和为，求满足的最小正整数

9、n。19. 已知数列满足，数列满足，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）试比较的大小，并说明理由；（3）我们知道数列如果是等差数列，则公差是否会小于等于一个常数k呢？若会，求出k的取值范围；若不会，请说明理由。20. 在各项均为负数的数列中，已知点在函数的图像上，且（1）求证：数列是等比数列，并求出其通项；（2）若数列的前n项和为，且，求21答 案一、 选择题1 C2 C 3 C 解析：，即， ，故选C.4 C【解析】由，得.来源:学+科+网 由，得，所以，且. 所以数列为递减的数列.所以为正，为负， 且， 则，又，所以， 所以最大的项为.5. C6. C7. D解析：由，可得q=2,由，可

10、得。8. B解析：显然，故9. C解析：由，得二、 填空题、2. 10320264. 5. 5/6， 20解析：观察不难发现分母的规律，分母为n的分数有（n-1）个,故a15的分母为6，6. 1, 1解析：由，可得，故，故，7. 20268.解析：找规律，不难得到 9. ； 28解析：验证第一个不满足条件，由得，当取等号时此数列为等差数列，这时a10最小，为28三 解答题. （） 2分 4分 6分 8分（）， 10分 13分.当时，不满足条件，舍去.因此 4分,， 6分（）当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 ，等号在时取得 此时 需满足 9分t当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等

11、式恒成立 是随的增大而增大， 时取得最小值 此时 需满足 综合、可得的取值范围是 12分3.【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为q，依题意，有，解之得或；（4分）又单调递增，.6分）（2）依题意，, （8分） ， ，-得， （10分）即为，当n4时，；当n5时，.使成立的正整数n的最小值为5. （13分）4. （） 2分 4分 6分 8分（）， 10分 13分5【解析】（1）由 当时，由得或 当时，则 当时，则 当时， 而当时，当时， 故函数在处取得最大值， 即： 综上：。6分 （2）当时，要证，即证， 而 故不等式成立.。10分 （6.【解析】（）由已知得当n=2时，同理可得 -（2分）

12、猜想 （*）-（4分）下面用数学归纳法证明（*）成立当n=1，2，3，4时，由上面的计算结果知（*）成立-（5分）假设n=k（k4，kN*）时，（*）成立，即，那么当n=k+1时，当n=k+1时，（*）也成立-（7分）综合所述，对nN*， 成立-（8分）（）由，得从A口输入的自然数-（9分）因为-（10分）7解. （1）设等差数列an的首项为a1，公差为d ， 解得 , 6分（2） , 7分 = (1- + - +-) =(1-) = 所以数列的前项和= . 12分以-（12分）8. （本小题满分12分）解:（1）证明：由题意得 2分又, 所以，当时，不是等比数列当时，是以为首项，2为公比的等

13、比数列 5分(2)解：由知， 7分故 9分12分9. ； 5解：(1) 题意可知 3分 以上各式相加得： 6分 (2) 要求销售收入总和Sn的最大值，即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和. 要使0 即使 0 8分 也就是使1令bn，则有bnbn1 10分显然，当3时，bnbn1，而b51，b61 该企业前5年的销售收入总和最大. 13分10. ； 1211. ； 51213解：（）由已知及可得 2分又 . 3分数列是各项均为正数的等比数列，且.4分设公比为，则， 解得：或（舍）. 6分（）由（）知 ， .7分又.所以： 由得： 9分 ，来源:Zxxk.Com. 12分 14.解答 （），

14、()，两式相减得，即，()，满足上式，故数列的通项公式()4分在数列中，由，知数列是等比数列，首项、公比均为，数列的通项公式（若列出、直接得而没有证明扣1分）6分（） 由-，得，8分不等式即为，即（）恒成立9分方法一、设（），当时，恒成立，则满足条件；当时，由二次函数性质知不恒成立；当时， 由于，则在上单调递减，恒成立，则满足条件综上所述，实数的取值范围是12分方法二、也即（）恒成立，9分令则，10分由，单调递增且大于0，单调递增，当时，且，故，实数的取值范围是13分15解：（）设等差数列的公差是 依题意 ，从而 2分 所以 ，解得 4分所以数列的通项公式为 6分（）由数列是首项为，公比为的等

15、比数列， 得 ，即， 所以 8分 所以 10分 从而当时，； 11分 当时， 13分16解：（1）的解集有且只有一个元素， 当时，函数在上高考资源网递增，故不存在，使得不等式成立-2分 当时，函数在上高考资源网递减，故存在，使得不等式成立。 综上高考资源网，得， -4分（2） -8分（3）解法一：由题设-9分时，时，数列递增-10分，由，可知，即时，有且只有个变号数；又，即，此处变号数有个综上高考资源网得 数列共有个变号数，即变号数为-13分17 解：（1）由题意，得即1分故当时，当=1时，而当=1时，+56,所以， 2分又，即3分所以（）为等差数列，于是而，因此，即4分（2） 5分所以， 6

16、分由于，因此Tn单调递增，故7分令8分 （）9分当m为奇数时，m + 15为偶数.此时，所以11分当m为偶数时，m + 15为奇数.此时，所以（舍去）. 12分综上，存在唯一正整数m =11，使得成立. 13分18192021. 解：(1) a1=3， a2=a1-1-1=10，a3=a2-2-1=27，a4=a3-3-1=682分(2)由(1)，a1-1=2=12，a2-2=8=222，a3-3=24=323，a4-4=64=424，猜测an-n=n2n，4分(3) 由(2)，an-n=n2n，=2n，因此可推测是等比数列5分证明如下： an+1=an-n-1， an+1-(n+1)= an-2(n+1)=2(n+1)(-1)， =2, 而=20, 是首项为2，公比为2的等比 数列；8分(4)由(3)=22n-1， an=n+ n 2n, 10分 an的前n项的和: Sn=+12+222+323+n2n。 记P=12+222+323+n2n ，则2P-P= n2n+1-(2+22+23+2n)= (n-1)2n+1+2 P=(n-1)2n+1+2, Sn=+(n-1)2n+1+2. 13分