导数的概念23教材ppt课件.ppt

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1、第一节 导数的概念一、问题的提出二、导数的定义三、由定义求导数四、导数的几何意义与物理意义五、可导与连续的关系六、小结一、引例一、引例1.自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求 t,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于, t 运运动动时时间间tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬时速度瞬时速度.0gt 如图oxy)(xfy CT 0 xxNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C

2、在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置二、导数的定义二、导数的定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记记为为处处的的导导数数在在点点数数并并称称这这个个极极限限为为函函处处可可导导在在点点则则称称函函

3、数数时时的的极极限限存存在在之之比比当当与与如如果果得得增增量量取取相相应应地地函函数数时时仍仍在在该该邻邻域域内内点点处处取取得得增增量量在在当当自自变变量量有有定定义义的的某某个个邻邻域域内内在在点点设设函函数数定义定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00000,)()(000 xxxxdxxdfdxdyxf 或或或或即即.)(,0000快快慢慢程程度度自自变变量量的的变变化化而而变变化化的的率率，它它反反映映了了因因变变量量随随处处的的变变化化因因变变量量

4、在在则则是是而而的的平平均均变变化化率率为为端端点点的的区区间间上上和和因因变变量量在在以以xxfxxxxy .)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或步骤步骤:);()()1(xfxxf

5、y 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(的导数的导数求函数求函数 Nnxyn解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例3 3.)(sin)(sin,sin)(3 xxxx

6、xf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即33cos)(sin xxxx.21 例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例5 5.)1, 0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)

7、1(loglim10 .log1exa 2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.例例6 6.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyoxxxfxfxx 00lim)0()0(lim, 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy.

8、1 xxxfxfxx 00lim)0()0(lim如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf三、导数的几何意义三、导数的几何意义oxy)(xfy T0 xM切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 存在且不等于零时，存在且不等于零时，当当)()1(0 xf 切线方程为切线方程为法线方程为法线

9、方程为0yy 0 xx 时，时，当当0)()2(0 xf时，时，当当 )()3(0 xf切线方程为切线方程为0 xx 法线方程为法线方程为0yy 例例7 7.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解根据导数的几何意义知根据导数的几何意义知, 所求切线的斜率为所求切线的斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即四、函数可导性与连续性的关

10、系四、函数可导性与连续性的关系即即可可导导在在点点设设函函数数,)(0 xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 必必连连续续。点点在在则则函函数数可可导导在在点点即即函函数数00)(,)(xxfxxf 另一方面，一个函数在某点连续却不一定另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。在该点可导。xyxy 0 xy 例如例如,|,|)(xxf .0处连续，但不可导处连续，但不可导在在 x第二节 和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则三、复合函数的求导法则四、

11、基本求导法则与导数公式一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证证(3)(3)hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略.

12、. )()(xvxuhxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)coss

13、in()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5.sinh的导数的导数求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 第二节第二节 反函数

14、、复合函数的导数反函数、复合函数的导数一、反函数的导数一、反函数的导数二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则.1)(1 )(,),(|)(,0)()(11dydxdxdyyfxfIyyfxxIxfyyfIyfxyxy 或或且有且有内也可导内也可导在区间在区间那么它的反函数那么它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数一、反函数的导数一、反函数的导数定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证内内单单调调、连连续续。存存在在且且在在区区间间由由已已知知条条件件可可得得xIxfy)(1 , 0 y于是有于是有,1yxxy

15、 ,)(1连连续续xf ),0(0 xy0)( yf又知又知xyxfx 01lim )(yxy 1lim0)(1y .)(1 )(1yfxf 即即,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给), 0(xIxxx 例例7 7.arcsin的导数的导数求函数求函数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc例例8 8.log的的导导数数求求

16、函函数数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则定理定理dxdududydxdyxgufdxdyxxgfyxguufyxxgu 或或且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数)()(,)(,)()(,)(即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量

17、求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )证证,)(可可导导在在点点uufy )(lim0ufuyu )0lim()(0 uufuy故故uuufy )(则则xyx 0lim)(lim0 xuxuufx xuxuufxxx 000limlimlim)()()(xguf 推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例9 9.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例1010.)1(sin102的导数

18、的导数求函数求函数 xy解解)1(sin)1(sin10292 xxdxdyxxx2cos)1(sin10292 .cos)1(sin20292xxx 例例1111.)(arcsin2122的导数的导数求函数求函数xaaxxy 解解)()arcsin21(22 xaaxxy2222212arcsin21xaxxaxax .arcsin21ax )0( a例例1212.)2(21sinln32的导数的导数求函数求函数 xxxxy解解),2ln(31)1ln(sin212 xxxy)2(311sin122cos2122 xxxxxxy例例1313.3cos1sin的导数的导数求函数求函数 xey解

19、解)3(cos)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式)2(311sin1cos121222 xxxxxxx第三节 高阶导数一、高阶导数的定义二、高阶导数求导举例三、高阶导数的运算法则:一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义引例引例 变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(atfs求求加加速速度度，其其位位移移函函数数为为一一物物体体做做变变速速直直线线运运动动设设 )()(,),(tftvtfs 瞬瞬时时速速度度由由导导数数的的物物理理意意义义知知位位移移函函数数为为的变化率的变化

20、率对时间对时间是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统

21、称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf二、 高阶导数求法举例例例1 1).0(),0(,11)(2ffxxf 求求设设解解)11()(2 xxf22)1(2xx )1(2()(22 xxxf322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 例例2 2.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3

22、2)2)(1()1( xxy)1()1()1()( nxnynn则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例例3 3.),1ln()(nyxy求求设设 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn例例4 4.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得则则阶导数阶导数

23、具有具有和和设函数设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式三、高阶导数的运算法则三、高阶导数的运算法则:例例6 6.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 x

24、xxexexe)9520(22220 xxex第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例2 2.)323

25、, 2(, 191622处的切线方程处的切线方程在点在点求椭圆求椭圆 yx解解,求导求导方程两边对方程两边对x0928 yyx43169)323,2()323,2( yxy所求切线方程为所求切线方程为)2(43323 xy. 03843 yx即即例例3 3.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy二、对数

26、求导法二、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 例例4 4解解242)1(3111)4(

27、1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy2)4ln(2)1ln(31)1ln(ln 求导得求导得上式两边对上式两边对 x242)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(223yexxxyx 求求设设例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为

28、由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx , 0)(,)(),( ttytx且且都可导都可导设函数设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin

29、2 tdxdy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即第五节 函数的微分一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分形式不变性五、微分在近似计算中的应用六、小结一、微分的定义一、微分的定义实例实例: :正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量正方形均匀金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220

30、 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记记作作的的微微分分相相应应于于自自变变量量增增量量在在点点为为函函数数并并且且称称可可微微在在点点则则称称函函数数无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立如如果果在在这这区区间间内内及及在在某某区区间间内内有有定定义义设设函函数数.

31、的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00A

32、xfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可可微微可可导导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数例例1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微微商商导导数数也也叫叫该该函函数数的的导导数数之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分

33、分即即函函数数的的微微分分dxdy二、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对对应应的的增增量量就就是是切切线线纵纵坐坐标标坐坐标标增增量量时时是是曲曲线线的的纵纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 Q00)(tanxxdyxfxMQQP 三、基本初等函数的微分公式与微分三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则运算法则dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微

34、分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 3. 复合函数的微分法则复合函数的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc2. 函数和、差、积

35、、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则dxxgxgfdxxgufdxydyx)()()()( 例例2 2解解.),ln(sin2dyexyx求求设设 ,sin2cos22xxexxexy .sin2cos22dxexxexdyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyu 四、微分形式的不变性四

36、、微分形式的不变性;)(,)1(duufdyu 是自变量时是自变量时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(xguxu ),()(ufufy 有导数有导数设函数设函数dtxgufdy)()( ,)(dudxxg .)(duufdy duufdy)( 例例5 5解解.,sindybxeyax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例4 4解解.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12

37、()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx ?,05. 0,10问面积增大了多少问面积增大了多少厘米厘米半径伸长了半径伸长了厘米的金属圆片加热后厘米的金属圆片加热后半径半径五、微分在近似计算中的应用五、微分在近似计算中的应用1.计算函数增量的近似值, 0)()(00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy 例例6 6解解,2rA 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 1.函数的近似计算函数的近似计算;)(0附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf

38、)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例7 7.0330sin的近似值的近似值计算计算 o解解,sin)(xxf 设设)( ,cos)(为弧度为弧度xxxf ,360,6,360603300330000 xx所以取所以取化成弧度，得化成弧度，得把把.23)6(,21)6( ff)3606sin(0330sin o3606cos6sin 3602321 .5076. 0 常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度

39、为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例8 8.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(005. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 995. 0005. 01)2(005. 0 e2. 误差估计误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，等

40、各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：.,的的绝绝对对误误差差叫叫做做那那么么为为它它的的近近似似值值如如果果某某个个量量的的精精确确值值为为aaAaA .的的相相对对误误差差叫叫做做的的比比值值而而绝绝对对误误差差与与aaaAa 在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差通常无法求得，绝对误差与相对误差通常无法求得，怎么办？怎么办？.,的的相相对对误误差差限限叫叫做做测测量量而而的的绝绝对对误误差差限限叫叫做做测测量量那那末末即即又又知

41、知道道它它的的误误差差不不超超过过测测得得它它的的近近似似值值是是如如果果某某个个量量的的精精确确值值是是AaAaAaAAAAA 通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.例例9 9.,005. 041. 2误差误差并估计绝对误差与相对并估计绝对误差与相对求出它的面积求出它的面积米米正方形边长为正方形边长为 解解则则面面积积为为设设正正方方形形边边长长为为,yx.2xy ,41. 2时时当当 x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 241. 22 xxxy.82. 4 ,005. 0 x 边长的绝对误差为边长的绝对误

42、差为005. 082. 4 y 面积的绝对误差为面积的绝对误差为).(0241. 02m yy 面积的相对误差为面积的相对误差为8081. 50241. 0 %.4 . 0 例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt)c

43、os()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4