2019届高考数学专题2.6.1坐标系与参数方程ppt课件.pptx

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1、第1课时坐标系与参数方程热点考向一热点考向一 极坐标方程及其应用极坐标方程及其应用考向剖析考向剖析: :本考向考查形式为解答题本考向考查形式为解答题, ,主要考查极坐标主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程的应用方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程的应用. .考查考查抽象概括能力和运算求解能力抽象概括能力和运算求解能力, ,为中档题为中档题, ,分值为分值为1010分分. .20192019年的高考仍将以解答题形式出现年的高考仍将以解答题形式出现, ,主要考查主要考查求极坐标方程及其应用、特别是与极径几何意义有关求极坐标方程及其应用、特别是与极径几何意义有关的问题的问题. .【典例

2、典例1 1】在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中, ,以坐标原点为极点以坐标原点为极点,x,x轴轴正半轴为极轴建立极坐标系正半轴为极轴建立极坐标系, ,曲线曲线C C1 1:cos =3,:cos =3,曲线曲线C C2 2:=4cos :=4cos (1)(1)求求C C1 1与与C C2 2交点的极坐标交点的极坐标. .(2)(2)设点设点Q Q在在C C2 2上上, , ,求动点求动点P P的极坐标方程的极坐标方程. .(0).2 2OQQP3uuu ruur【审题导引审题导引】(1)(1)看到求看到求C C1 1与与C C2 2交点的极坐标交点的极坐标, ,联想到解联想到解_._.

3、(2)(2)看到看到 联想到联想到_相等相等. .2OQQP3uuu ruur方程组方程组对应坐标对应坐标【解析解析】(1)(1)联立联立 因为因为0 0 所以所求交点的极坐标为所以所求交点的极坐标为 cos33cos4cos2 ，2 326 ，(2 3).6，(2)(2)设设P(,),Q(P(,),Q(0 0,0 0) )且且0 0=4cos =4cos 0 0,0 0 由已知由已知 所以所以 =4cos ,=4cos ,点点P P的极坐标方程为的极坐标方程为=10cos , =10cos , 02， )，0022OQQP53 uuu ruur，得，250).2，【名师点睛名师点睛】1.1.

4、极径的几何意义及其应用极径的几何意义及其应用(1)(1)几何意义几何意义: :极径极径表示极坐标平面内点表示极坐标平面内点M M到极点到极点O O的的距离距离. .(2)(2)应用应用: :一般应用于过极点的直线与曲线相交一般应用于过极点的直线与曲线相交, ,所得的所得的弦长问题弦长问题, ,需要用极径表示出弦长需要用极径表示出弦长, ,结合根与系数的关结合根与系数的关系解题系解题. .2.2.极坐标化直角坐标的常用技巧极坐标化直角坐标的常用技巧(1)(1)通常要用通常要用去乘方程的两边去乘方程的两边, ,使之出现使之出现2 2, ,cos ,sin cos ,sin 的形式的形式. .(2)

5、(2)含关于含关于tan tan 的方程用公式的方程用公式tan = tan = y.x提醒提醒:(1):(1)根据题目的需要可规定根据题目的需要可规定R,R,此时此时(-,)(-,)与与(,)(,)关于极点对称关于极点对称. .(2)(2)极坐标方程与直角坐标方程互化时极坐标方程与直角坐标方程互化时, ,要注意变形的要注意变形的等价性等价性. .【考向精炼考向精炼】在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中, ,曲线曲线C C1 1的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数),),直线直线C C2 2的方程为的方程为y= x,y= x,以以O O为极点为极点,x,x轴轴的正半轴为极轴建立极坐标系

6、的正半轴为极轴建立极坐标系. .(1)(1)求曲线求曲线C C1 1和直线和直线C C2 2的极坐标方程的极坐标方程. .(2)(2)若直线若直线C C2 2与曲线与曲线C C1 1交于交于A,BA,B两点两点, ,求求 x2cosy2sin，311.OAOB【解析解析】(1)(1)曲线曲线C C1 1的普通方程为的普通方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1,=1,则则C C1 1的极坐标方程为的极坐标方程为2 2-4cos -4sin +7=0.-4cos -4sin +7=0.由于直线由于直线C C2 2过原点过原点, ,且倾斜角为且倾斜角为 , ,故其极坐标为

7、故其极坐标为= (R (= (R (或或tan = )tan = )333(2)(2)由由 得得2 2-(2 +2)+7=0,-(2 +2)+7=0,故故1 1+2 2=2 +2,=2 +2,1 12 2=7,=7,所以所以 24 cos4 sin703 ，331212OAOB112 32.OAOBOA OB7 g【易错警示易错警示】解答本题容易忽视以下两点解答本题容易忽视以下两点: :(1)(1)根据图象直观判断直线根据图象直观判断直线C C2 2的方程的方程, ,极坐标方程极坐标方程是是= ;= ;(2)(2)忽视极径的几何意义忽视极径的几何意义1 1=|OA|,=|OA|,2 2=|OB

8、|.=|OB|.3【加练备选加练备选】1.(20181.(2018吉林梅河口五中一模吉林梅河口五中一模) )已知圆已知圆O:xO:x2 2+y+y2 2=4,=4,将将圆圆O O上每一点的横坐标保持不变上每一点的横坐标保持不变, ,纵坐标变为原来的纵坐标变为原来的 , ,得到曲线得到曲线C.C.12(1)(1)写出曲线写出曲线C C的参数方程的参数方程. .(2)(2)设直线设直线l:x-2y+2=0:x-2y+2=0与曲线与曲线C C相交于相交于A,BA,B两点两点, ,以坐标以坐标原点为极点原点为极点,x,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ,直线直线m m过线段

9、过线段ABAB的中点的中点, ,且倾斜角是直线且倾斜角是直线l的倾斜角的的倾斜角的2 2倍倍, ,求求直线直线m m的极坐标方程的极坐标方程. .【解析解析】(1)(1)设曲线设曲线C C上任意一点上任意一点P(x,y),P(x,y),则点则点Q(x,2y)Q(x,2y)在圆在圆O O上上, ,所以所以x x2 2+(2y)+(2y)2 2=4,=4,即即 +y+y2 2=1,=1,所以曲线所以曲线C C的参数方程是的参数方程是 (为参数为参数) )2x4x2cosysin .，(2)(2)解解 得得,A(-2,0),B(0,1),A(-2,0),B(0,1),所以线段所以线段ABAB的中点的

10、中点N N的坐标为的坐标为 设直线设直线l的倾斜角为的倾斜角为,则则tan = tan = 22x2y20,xy141( 1).2 ，21212tan42tan 2121tan314 ，所以直线所以直线m m的方程为的方程为y= (x+1)+ ,y= (x+1)+ ,即即8x-6y+11=0,8x-6y+11=0,所以直线所以直线m m的极坐标方程为的极坐标方程为8cos -6sin+11=0.8cos -6sin+11=0.43122.(20182.(2018合肥三模合肥三模) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,直线直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数)

11、,),圆圆C C的方程的方程为为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=5.=5.以原点以原点O O为极点为极点,x,x轴正半轴为极轴正半轴为极轴建立极坐标系轴建立极坐标系. .2x1t,22y1t2 (1)(1)求直线求直线l及圆及圆C C的极坐标方程的极坐标方程. .(2)(2)若直线若直线l与圆与圆C C交于交于A,BA,B两点两点, ,求求cosAOBcosAOB的值的值. .【解析解析】 (1) (1)由直线由直线l的参数方程的参数方程 得得, ,其普通方程为其普通方程为y=x+2,y=x+2,所以直线所以直线l的极坐标方程为的极坐标方程为sin =cos +2.s

12、in =cos +2.又因为圆又因为圆C C的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=5,=5,2x1t,22y1t2 将将 代入并化简得代入并化简得=4cos +2sin ,=4cos +2sin ,所以圆所以圆C C的极坐标方程为的极坐标方程为=4cos +2sin .=4cos +2sin .xcosysin ，(2)(2)将直线将直线l:sin =cos +2,:sin =cos +2,与圆与圆C:=4cos +2sin C:=4cos +2sin 联立联立, ,得得(4cos +2sin )(sin -cos )=2,(4cos +2sin )(sin

13、 -cos )=2,整理得整理得sin cos =3cossin cos =3cos2 2,所以所以= ,= ,或或tan =3.tan =3.2不妨记点不妨记点A A对应的极角为对应的极角为 , ,点点B B对应的极角为对应的极角为,且且tan =3.tan =3.于是于是,cosAOB=cos ,cosAOB=cos 23 10()sin.210 3.3.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,抛物线抛物线C C的方程为的方程为x x2 2=4y+4.=4y+4.(1)(1)以坐标原点为极点以坐标原点为极点,x,x轴正半轴为极轴建立极坐标系轴正半轴为极轴建立极坐标系, ,求求

14、C C的极坐标方程的极坐标方程. .(2)(2)直线直线l的参数方程是的参数方程是 (t(t为参数为参数),),l与与C C交于交于A,BA,B两点两点,|AB|=8,|AB|=8,求求l的斜率的斜率. .xtcos ,ytsin【解析解析】(1)(1)由由x=cos ,y=sin x=cos ,y=sin 可得抛物线可得抛物线C C的的极坐标方程极坐标方程2 2coscos2 2-4sin -4=0.-4sin -4=0.(2)(2)在在(1)(1)中建立的极坐标系中中建立的极坐标系中, ,直线直线l的极坐标方程为的极坐标方程为=(R),=(R),设设A,BA,B所对应的极径分别为所对应的极

15、径分别为1 1,2 2, ,将将l的极坐标方程代的极坐标方程代入入C C的极坐标方程得的极坐标方程得2 2coscos2 2-4sin-4=0,-4sin-4=0,因为因为coscos2 20(0(否则否则, ,直线直线l与抛物线与抛物线C C没有两个公共点没有两个公共点),),于是于是1 1+2 2= ,= ,1 12 2= = |AB|=|AB|=|1 1-2 2|= |= 由由|AB|=8|AB|=8得得coscos2 2= ,tan = ,tan = =1,1,所以所以l的斜率为的斜率为1 1或或-1.-1.24sincos24,cos21212()4 222216cos16sin4,

16、coscos124.4.以平面直角坐标系的原点为极点以平面直角坐标系的原点为极点,x,x轴的正半轴为极轴的正半轴为极轴轴, ,建立极坐标系建立极坐标系, ,两种坐标系中取相同的单位两种坐标系中取相同的单位, ,已知已知圆圆C C的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数),),直线直线l的极坐的极坐标方程为标方程为= = 点点P P在在l上上. .x2cos ,y2sin4,sincos(1)(1)过过P P向圆向圆C C作切线作切线, ,切点为切点为F,F,求求|PF|PF|的最小值的最小值. .(2)(2)射线射线OPOP交圆交圆C C于于R,R,点点Q Q在在OPOP上上, ,且满足且满足

17、|OP|OP|2 2= =|OQ|OR|,|OQ|OR|,求求Q Q点轨迹的极坐标方程点轨迹的极坐标方程. .【解析解析】(1)(1)圆圆C C的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数),),可得圆可得圆C C的普通方程为的普通方程为x x2 2+y+y2 2=4,=4,直线直线l的极坐标方程为的极坐标方程为= = 即有即有sin +cos =4,sin +cos =4,即直线即直线l的直角坐标方程为的直角坐标方程为x+y-4=0.x+y-4=0.x2cos ,y2sin4,sincos由由|PO|PO|2 2=|PF|=|PF|2 2+|OF|+|OF|2 2, ,由由P P到圆心到圆心O(

18、0,0)O(0,0)的距离的距离d d最小时最小时, ,|PF|PF|取得最小值取得最小值. .由点到直线的距离公式可得由点到直线的距离公式可得d dminmin= = 可得可得|PF|PF|最小值为最小值为 0042 2,222(2 2)22.(2)(2)设设P,Q,RP,Q,R的极坐标分别为的极坐标分别为(1 1,),(,),(,),(,),(2 2,),),由由1 1= ,= ,2 2=2,=2,又又|OP|OP|2 2=|OQ|=|OQ|OR|,|OR|,可得可得 =2 2, ,4sincos21即有即有= = 即即Q Q点轨迹的极坐标方程为点轨迹的极坐标方程为= = 2122161(

19、sincos )22288.sincos2sin cos1 sin 28.1 sin 2热点考向二参数方程及其应用热点考向二参数方程及其应用考向剖析考向剖析: :本考向考查形式为解答题本考向考查形式为解答题, ,主要考查直线、主要考查直线、圆、椭圆的参数方程及其应用圆、椭圆的参数方程及其应用. .考查抽象概括能力和运考查抽象概括能力和运算求解能力算求解能力, ,为中档题为中档题, ,分值为分值为1010分分. .20192019年的高考仍将以解答题形式出现年的高考仍将以解答题形式出现, ,主要考查主要考查参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数几参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数

20、几何意义的应用何意义的应用. .【典例典例2 2】(2018(2018全国卷全国卷)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,O O的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数),),过点过点 且倾斜角为且倾斜角为的直线的直线l与与O O交于交于A,BA,B两点两点. .(1)(1)求求的取值范围的取值范围. .(2)(2)求求ABAB中点中点P P的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程. .xcosysin，(02)，【审题导引审题导引】(1)(1)看到求看到求的取值范围的取值范围, ,联想到根据联想到根据l与与O O相交求相交求_的取值范围的取值范围. .(2)(2)看到求线段看到求线段

21、ABAB中点中点P P的轨迹的参数方程的轨迹的参数方程, ,联想到联想到点点P P对应的对应的_,_,代入直线代入直线l的的_方程方程. .斜率斜率参数参数参数参数【解析解析】(1)(1)O O的直角坐标方程为的直角坐标方程为x x2 2+y+y2 2=1.=1.当当= = 时时, ,l与与O O交于两点交于两点. .当当 时时, ,记记tan =k,tan =k,则则l的方程为的方程为y=kx- .y=kx- .l与与O O交于两点当且仅当交于两点当且仅当 1,1,解得解得k-1k1,k1,即即 或或 . .综上综上,的取值范围是的取值范围是 22222|1k(,)4 2 3(,)243(,

22、).44(2)(2)l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数, , ). ).设设A,B,PA,B,P对应的参数分别为对应的参数分别为t tA A,t,tB B,t,tP P, ,则则t tP P= = 且且t tA A,t,tB B满足满足t t2 2-2 tsin +1=0.-2 tsin +1=0.xtcos ,y2tsin , 434ABtt2，2于是于是t tA A+t+tB B=2 sin ,t=2 sin ,tP P= sin .= sin .又点又点P P的坐标的坐标(x,y)(x,y)满足满足 所以点所以点P P的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是 (为参数为参数,

23、)., 0,t0,则则 的方向向上的方向向上; ;若若t0,t0,则则 的方向向下的方向向下; ;若若t=0,t=0,则点则点M M与与M M0 0重合重合. .0M Muuuur0M Muuuur(2)(2)应用应用: :一般应用于过定点的直线与圆锥曲线交于一般应用于过定点的直线与圆锥曲线交于A,BA,B两点两点, ,与弦长与弦长|AB|AB|及其相关的问题及其相关的问题, ,解决的方法是首先解决的方法是首先用用t t表示出弦长表示出弦长, ,再结合根与系数的关系构造方程、函再结合根与系数的关系构造方程、函数式等解决问题数式等解决问题. .【考向精炼考向精炼】在平面直角坐标系在平面直角坐标系

24、xOyxOy中中, ,曲线曲线C C1 1过点过点P(a,1),P(a,1),其参数方其参数方程为程为 (t(t为参数为参数,aR),aR),以坐标原点为极点以坐标原点为极点, ,以以x x轴正半轴为极轴轴正半轴为极轴, ,建立极坐标系建立极坐标系, ,曲线曲线C C2 2的极坐标方的极坐标方程为程为coscos2 2+2cos -=0.+2cos -=0.2xat,22y1t,2 (1)(1)写出曲线写出曲线C C1 1的普通方程和曲线的普通方程和曲线C C2 2的直角坐标方程的直角坐标方程. .(2)(2)已知曲线已知曲线C C1 1和曲线和曲线C C2 2交于交于A,BA,B两点两点(P

25、(P在在A,BA,B之间之间),),且且|PA|=2|PB|,|PA|=2|PB|,求实数求实数a a的值的值. .【解析解析】(1)C(1)C1 1的参数方程的参数方程 消参得普通方程为消参得普通方程为x+y-a-1=0,x+y-a-1=0,C C2 2的极坐标方程为的极坐标方程为coscos2 2+2cos -=0,+2cos -=0,两边同乘两边同乘得得2 2coscos2 2+2cos -+2cos -2 2=0,=0,即即y y2 2=2x.=2x.2xat,22y1t,2 (2)(2)将曲线将曲线C C1 1的参数方程代入曲线的参数方程代入曲线C C2 2:y:y2 2=2x=2x

26、得得 t t2 2+2 t+1-2a=0,+2 t+1-2a=0,设设A,BA,B对应的参数为对应的参数为t t1 1,t,t2 2, ,由题意得由题意得|t|t1 1|=2|t|=2|t2 2| |且且P P在在A,BA,B之间之间, ,则则t t1 1=-2t=-2t2 2, ,由题意得由题意得 解得解得a= a= 12212121 2t2ttt4 2t t21 2a , ，（）33.2【加练备选加练备选】1.(20181.(2018湖北八校第二次联考湖北八校第二次联考) )在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中, ,直线直线l的参数方程为的参数方程为: : 为参数为参数,00,),00

27、,),以坐标原点为极点以坐标原点为极点, ,以以x x轴的正半轴为极轴轴的正半轴为极轴, ,建立极坐建立极坐标系标系, ,圆圆C C的极坐标方程为的极坐标方程为:= := x1tcosty3tsin ，8sin().6(1)(1)在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中, ,求圆求圆C C的圆心的直角坐标的圆心的直角坐标. .(2)(2)设点设点P(1, ),P(1, ),若直线若直线l与圆与圆C C交于交于A,BA,B两点两点, ,求求证证:|PA|PB|:|PA|PB|为定值为定值, ,并求出该定值并求出该定值. .3【解析解析】(1)(1)圆圆C:xC:x2 2+y+y2 2-4x-4

28、y=0,-4x-4 y=0,圆心坐标圆心坐标C(2,2 ).C(2,2 ).33(2) (2) 将将 代入代入C:xC:x2 2+y+y2 2-4x-4 y=0,-4x-4 y=0,所以所以t t2 2-(2 sin +2cos )t-12=0,-(2 sin +2cos )t-12=0,设点设点A,BA,B所对应的参数为所对应的参数为t t1 1,t,t2 2, ,则则t t1 1t t2 2=-12,=-12,所以所以|PA|PA|PB|=|t|PB|=|t1 1t t2 2|=12.|=12.x1tcosy3tsin ，332.(20172.(2017衡水一模衡水一模) )已知直线已知直

29、线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数),),圆圆C C的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数).).(1)(1)若直线若直线l与圆与圆C C的相交弦长不小于的相交弦长不小于 , ,求实数求实数m m的取的取值范围值范围. .(2)(2)若点若点A A的坐标为的坐标为(2,0),(2,0),动点动点P P在圆在圆C C上上, ,试求线段试求线段PAPA的中点的中点Q Q的轨迹方程的轨迹方程. .xt,ymtxcos ,y1 sin 2【解析解析】(1)(1)直线直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数),),普通方程为普通方程为y=mx,y=mx,圆圆C C的参数方程

30、为的参数方程为 (为参数为参数),),普通方程为普通方程为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1.=1.圆心到直线圆心到直线l的距离的距离d= d= xt,ymtxcos ,y1 sin 21,m1相交弦长相交弦长= = 所以所以 所以所以m-1m-1或或m1.m1.212 1,m1212 12,m1(2)(2)设设P(cos ,1+sin ),Q(x,y),P(cos ,1+sin ),Q(x,y),则则x= (cos +2),y= (1+sin ),x= (cos +2),y= (1+sin ),消去消去,整理可得线段整理可得线段PAPA的中点的中点Q Q的轨迹方程的轨迹方程(x-

31、1)(x-1)2 2+ + 1212211(y).243.(20173.(2017惠州一模惠州一模) )已知曲线已知曲线C C的极坐标方程是的极坐标方程是=4cos ,=4cos ,以极点为平面直角坐标系的原点以极点为平面直角坐标系的原点, ,极轴极轴为为x x轴的正半轴轴的正半轴, ,建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系, ,直线直线l的参数的参数方程是方程是 (t(t是参数是参数).).x1tcos ,ytsin (1)(1)将曲线将曲线C C的极坐标方程化为直角坐标方程的极坐标方程化为直角坐标方程. .(2)(2)若直线若直线l与曲线与曲线C C相交于相交于A,BA,B两点两点, ,且且

32、|AB|= ,|AB|= ,求直线求直线l的倾斜角的倾斜角的值的值. .14【解析解析】(1)(1)因为因为cos =x,sin =y,cos =x,sin =y,2 2=x=x2 2+y+y2 2, ,所以曲线所以曲线C C的极坐标方程的极坐标方程=4cos =4cos 可化为可化为2 2=4cos ,=4cos ,所以所以x x2 2+y+y2 2=4x,=4x,所以所以(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4.=4.(2)(2)将将 代入圆的方程代入圆的方程(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4=4得得: :(tcos -1)(tcos -1)2 2+(tsin )+(tsin

33、 )2 2=4,=4,化简得化简得t t2 2-2tcos -3=0.-2tcos -3=0.设设A,BA,B两点对应的参数分别为两点对应的参数分别为t t1 1,t,t2 2, ,则则 x1tcos ,ytsin 121 2tt2cos ,t t3 ，所以所以|AB|=|t|AB|=|t1 1-t-t2 2| | 因为因为|AB|= ,|AB|= ,所以所以 所以所以cos =cos = . .22121 2tt4t t4cos12,1424cos1214.22因为因为0,),0,),所以所以= = 或或= .= .所以直线的倾斜角所以直线的倾斜角= = 或或= .= .434434热点考向

34、三热点考向三 极坐标与参数方程的综合应用极坐标与参数方程的综合应用高频考向高频考向考情考情分析分析20162016年年20172017年年20182018年年T23T23T23T23T23T23T22T22T22T22T22T22T22T22T22T22T22T22考向考向解读解读本考向考查形式为解答题本考向考查形式为解答题, ,主要考查极坐标方程、参数主要考查极坐标方程、参数方程的应用方程的应用, ,特别是极径的几何意义与解三角形等知识特别是极径的几何意义与解三角形等知识的综合应用的综合应用, ,参数方程换元求最值等问题参数方程换元求最值等问题. .考查抽象概考查抽象概括能力和运算求解能力括

35、能力和运算求解能力, ,为中档题为中档题, ,分值为分值为1010分分. .20192019年的高考仍将以解答题形式出现年的高考仍将以解答题形式出现, ,主要考查极径几主要考查极径几何意义和参数方程的灵活应用何意义和参数方程的灵活应用. .类型一极径和参数几何意义的灵活应用类型一极径和参数几何意义的灵活应用【典例典例3 3】在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,曲线曲线C C的参数方程的参数方程为为 (为参数为参数),A,B),A,B在曲线在曲线C C上上, ,以坐标原点以坐标原点O O为极点为极点,x,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中轴的正半轴为极轴的极坐标系中,A,B,A,B

36、两点两点的极坐标为的极坐标为 x35cosy45sin，12A()B().62， ，(1)(1)求曲线求曲线C C的极坐标方程的极坐标方程. .(2)(2)设曲线设曲线C C的中心为的中心为M,M,求求MABMAB的面积的面积. .【大题小做大题小做】难点难点拆解拆解第第(1)(1)问问根据极角和极坐标方程求点根据极角和极坐标方程求点A,BA,B的坐的坐标标; ;用余弦定理求用余弦定理求ABAB的长的长; ;根据圆的性质求根据圆的性质求ABAB边上的高边上的高【解析解析】(1)(1)由由 消去消去, ,得得(x-3)(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=25,=25,即即x x2 2

37、+y+y2 2-6x-8y=0,-6x-8y=0,将将x=x=cos cos ,y=,y=sin sin , ,代入得曲线代入得曲线C C的极坐标方程为的极坐标方程为2 2-6-6cos cos - -8 8sin sin =0,=0,即即-6cos -6cos -8sin -8sin =0.=0.x35cosy45sin，(2)(2)将将 代入代入(1)(1)所得的极坐标方程所得的极坐标方程, ,得得1 1=4+3 ,=4+3 ,2 2=8,=8,所以所以|AB|= |AB|= 曲线曲线C C的中心的中心M M到弦到弦ABAB的距离为的距离为d= d= 所以所以S SMABMAB= = 12

38、A()B()62， ，32212122cos5 3.3 25 3525()22，1525 35 3.224类型二求最值或取值范围问题类型二求最值或取值范围问题 【典例典例4 4】(2018(2018信阳二模信阳二模) )已知直线已知直线l的参数方程为的参数方程为 ( (其中其中t t为参数为参数),),曲线曲线C C1 1:2 2coscos2 2+332 2sinsin2 2-3=0,-3=0,以坐标原点为极点以坐标原点为极点,x,x轴正半轴为极轴正半轴为极轴轴, ,建立极坐标系建立极坐标系, ,两种坐标系中取相同长度单位两种坐标系中取相同长度单位. .2x1t,22yt,2 (1)(1)求

39、直线求直线l的普通方程及曲线的普通方程及曲线C C1 1的直角坐标方程的直角坐标方程. .(2)(2)在曲线在曲线C C1 1上是否存在一点上是否存在一点P,P,使点使点P P到直线到直线l的距离最的距离最大大? ?若存在若存在, ,求出距离的最大值及点求出距离的最大值及点P P的直角坐标的直角坐标; ;若不若不存在存在, ,请说明理由请说明理由. .【审题导引审题导引】(1)(1)要求直线要求直线l的普通方程需要用加减消去参数的普通方程需要用加减消去参数t,t,要求要求曲线曲线C C1 1的直角坐标方程需要根据的直角坐标方程需要根据_,_,_进行转化进行转化.(2)(2)要求点要求点P P到

40、直线到直线l的距离最大的距离最大, ,需要借助曲线需要借助曲线C C1 1的的_方程方程, ,转化为三角函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. .x=cosx=cosy=siny=sin参数参数【解析解析】(1)(1)直线直线l的普通方程为的普通方程为x-y+1=0,x-y+1=0,曲线曲线C C1 1的直角坐标方程为的直角坐标方程为 +y+y2 2=1.=1.2x3(2)(2)由由(1)(1)可知可知C C1 1: (: (其中其中为参数为参数),),所以点所以点P P到直线到直线l的距离的距离d= d= 所以所以d dmaxmax= = 此时此时cos =1,cos =1,即即+ =2k

41、(kZ),+ =2k(kZ),x3cosysin，|2cos() 1|3cossin1|6.2233 2,22()66即即=2k- (kZ),=2k- (kZ),所以所以x xP P= cos = cos = ,y= ,yP P=sin =sin =- ,=- ,即即P P（ ，- - ）. .故存在这样的点故存在这样的点P P （ ，- - ）, ,使点使点P P到直线到直线l的的距离最大且为距离最大且为 . .633212321232123 22【探究追问探究追问】1.1.若将例若将例4 4直线直线l的方程改为的方程改为“ ”“ ”, ,曲线曲线C C1 1的方程改为的方程改为“2 2co

42、scos2 2+4+42 2sinsin2 2-4=0”,-4=0”,其他条件不变其他条件不变, ,试求点试求点P P到直线到直线l的距离的最大值的距离的最大值. .2x1t22yt2 【解析解析】将曲线将曲线C C1 1的极坐标方程的极坐标方程2 2coscos2 2+4+42 2sinsin2 2-4=0-4=0化为普通方程为化为普通方程为 +y+y2 2=1,=1,化为参数方程为化为参数方程为 (为参数为参数),),直线直线l的普通方程为的普通方程为x+y+1=0.x+y+1=0.2x4x2cosysin设设P P到直线到直线l的距离为的距离为d,d,d= d= 所以所以P P到直线到直

43、线l的距离的最大值为的距离的最大值为 . .51|2cossin1|102222，10222.2.若将例若将例4 4曲线曲线C C1 1的方程改为的方程改为“2 2coscos2 2+3+32 2sinsin2 2-9=0”,9=0”,曲线曲线C C2 2 的极坐标方程是的极坐标方程是=2cos ,P,Q =2cos ,P,Q 分别分别是曲线是曲线C C1 1和和C C2 2 上的任意点上的任意点, ,求求|PQ| |PQ| 的最小值的最小值. .【解析解析】曲线曲线C C1 1的直角坐标方程为的直角坐标方程为 =1,=1,参数方程是参数方程是 (为参数为参数),),曲线曲线C C2 2 的直

44、角坐标方程为的直角坐标方程为(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1,=1,曲线曲线C C2 2中中, ,因为因为=2cos ,=2cos ,所以所以2 2=2cos ,=2cos ,所以所以x x2 2+y+y2 2=2x,=2x,即即(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1.=1.22xy93x3cos ,y3sin设设C C1 1上任意点上任意点P P 所以所以P P到到C C2 2圆心圆心(1,0)(1,0)的距离的距离所以所以|PQ|PQ|minmin= -1.= -1.(3cos3sin )，2222d(3cos1)3sin6cos6cos415106(cos)222 ，1

45、02【名师点睛名师点睛】1.1.巧解与三角形知识的综合问题巧解与三角形知识的综合问题(1)(1)数形结合明确极径和极角的几何意义数形结合明确极径和极角的几何意义, ,并表示三角并表示三角形的有关元素形的有关元素. .(2)(2)利用正弦、余弦定理找到变量利用正弦、余弦定理找到变量,的关系的关系. .2.2.三角换元求最值问题三角换元求最值问题(1)(1)适用情景适用情景涉及直线与圆、直线与椭圆位置关系的最值问题涉及直线与圆、直线与椭圆位置关系的最值问题. .(2)(2)两种方法两种方法三角换元转化为三角函数求最值问题三角换元转化为三角函数求最值问题转化为普通方程或直角坐标方程转化为普通方程或直

46、角坐标方程, ,利用直线与圆、椭利用直线与圆、椭圆的知识直接解答圆的知识直接解答. .【考向精炼考向精炼】1.(20181.(2018宜宾二模宜宾二模) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,曲线曲线C C1 1的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数).).以平面直角以平面直角坐标系的原点坐标系的原点O O为极点为极点,x,x轴的非负半轴为极轴建立极轴的非负半轴为极轴建立极坐标系坐标系, ,直线直线C C2 2的极坐标方程为的极坐标方程为sin = sin = x22cosy2sin，3.(1) (1) 求曲线求曲线C C1 1的极坐标方程的极坐标方程. .(2) (2)

47、设设C C1 1和和C C2 2的交点为的交点为A,B,A,B,求求AOBAOB的面积的面积. .【解析解析】(1)(1)曲线曲线C C1 1的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数) )消去参数的消去参数的C C1 1的直角坐标方程为的直角坐标方程为x x2 2-4x+y-4x+y2 2=0,=0,所以所以C C1 1的极坐标方程为的极坐标方程为=4cos .=4cos .x22cosy2sin，(2)(2)解方程组解方程组 有有4sin cos = 4sin cos = 得得sin 2= ,sin 2= ,所以所以=2k+ (kZ)=2k+ (kZ)或或=2k+ (kZ),=2k+ (kZ

48、),当当=2k+ (kZ)=2k+ (kZ)时时,=2 ,=2 ,当当=2k+ (kZ)=2k+ (kZ)时时,=2,=2,4cossin3 ，33266333所以所以C C1 1和和C C2 2交点的极坐标交点的极坐标 所以所以S SAOBAOB= |AO|BO|sinAOB= = |AO|BO|sinAOB= 2 2 2sin = .2sin = .故故AOBAOB的面积为的面积为 . .A(2 3 2k),B(2,2k)(kZ),63，121236332.2.在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中, ,曲线曲线C C1 1的参数方程为的参数方程为 ( (其中其中为参数为参数),),曲线

49、曲线C C2 2: =1,: =1,以原点以原点O O为极点为极点, ,x x轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系. . 世纪金榜导学号世纪金榜导学号x1 cosysin ，22xy84(1)(1)求曲线求曲线C C1 1,C,C2 2的极坐标方程的极坐标方程. .(2)(2)射线射线l:=(0):=(0)与曲线与曲线C C1 1,C,C2 2分别交于点分别交于点A,BA,B( (且且A,BA,B均异于原点均异于原点O),O),当当0 00,(t0,为参数为参数),),以坐标原点以坐标原点O O为极点为极点,x,x轴的正半轴为极轴轴的正半轴为极轴, ,取相同的取相同的长度单

50、位建立极坐标系长度单位建立极坐标系, ,直线直线l的极坐标方程为的极坐标方程为xtcosysin，2 sin()3.4(1)(1)当当t=1t=1时时, ,求曲线求曲线C C上的点到直线上的点到直线l的距离的最大值的距离的最大值. .(2)(2)若曲线若曲线C C上的所有点都在直线上的所有点都在直线l的下方的下方, ,求实数求实数t t的取的取值范围值范围. .【解析解析】(1)(1)直线直线l的直角坐标方程为的直角坐标方程为x+y-3=0,x+y-3=0,曲线曲线C:xC:x2 2+y+y2 2=1,=1,所以曲线所以曲线C C为圆为圆, ,且圆心且圆心O O到直线到直线l的距离的距离d=