第6章多元函数微分学6-10(隐函数及其微分法)ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A6.2.36.2.3 隐函数及其微分法隐函数及其微分法 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物6.2.3 6.2.3 隐函数及隐函数及 其微分法其微分法隐函数及其微分法隐函数及其微分法内容小结内容小结思考题思考题一个方程所确定的隐函数及其导数一个方程所确定的隐函数

2、及其导数方程组所确定的隐函数组及其导数方程组所确定的隐函数组及其导数方程确定的隐函数及求导习例方程确定的隐函数及求导习例2-5方程组确定的隐函数及求导习例方程组确定的隐函数及求导习例6-11我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数),(yxF在点的某一邻域内满足),(00yxP;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函

3、数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个0),(00yxFy满足条件导数我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,

4、22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数 :)(yxFFxxyxxydd则还有我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1. 验证方程01sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx连续 ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 导的

5、隐函数 则xyFy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy3100yyx)(yex)(cosxy)(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyy

6、yxeyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理2.2. ;0),()3( ;0),()2( ;),(),()1( 0000000 zyxFzyxFPUzyxFz内有连续偏导数内有连续偏导数在在若若 .,)2( );,(),( ),(0),()1( 0000zyzxFFyzFF

7、xzyxfzyxfzPUzyxF 有连续偏导数有连续偏导数且且连续函数连续函数内唯一确定了单值内唯一确定了单值在在则则 注意注意: (1) 证明从略证明从略, 求导公式推导如下求导公式推导如下:我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物, 0),(, yxfyxF, 0 xzFFzx, 0 yzFFzy, 0 zF又又. ,zyzxFFyzFFxz 则则若若, 0 2)( xF. ,xzxyFFzxFFyx (3) 也可求二阶偏导也可求二阶偏导.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这

8、样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物方程确定的隐函数及求导习例方程确定的隐函数及求导习例., 04 222222xzzzyx 求求设设例例. , 0),(,),( 3dzzyzxFyxF求求已已知知方方程程具具有有连连续续偏偏导导数数设设例例 .,),( 5zyyxxzxyzzyxfz 求求设设例例.: ,0),(),( 4xyzyzyxzxxzyyzxFyxzz 证明证明所确定所确定由由函数函数例例我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2. 设,0

9、4222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解法解法2 利用公式设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到

10、愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物zxFFxz xz例例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则)()(2221zyzxFF 已知方程故我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物对方程两边求微分: 1F)dd(d2121yFxFF

11、yFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 微分法.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 xzyyzxFzyx,),(令令 2212211,FxzFxzFFx 2122211,FFyzyzFFy 解法解法1 1.: ,0),(),( 4xyzyzyxzxxzyyzxFyxzz 证明证明所确定所确定由由函数函数例例我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的

12、世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 21211111,FxFyxyFFz ,)()(21122FyFxxFxFzyxzzx )()(21221FyFxyFyFzxyzzy 代入所证等式的左边即可得结论代入所证等式的左边即可得结论.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解法解法20, xzyyzxF等式两边对等式两边对x求偏导得：求偏导得： 0111,221 xzxzxxzyFF 0)1()11(221 xzxzxFxzyF即即 xz 0)11()1(221 yzx

13、FyzyzyF同理可得同理可得yz 代入所证等式左边即可得结论成立代入所证等式左边即可得结论成立.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解法解法1,),(),(zxyzzyxfzyxF 令令,21yzffFx 则则,21xzffFy , 121 xyffFzzxFFxz 12121 xyffyzff;12121xyffyzff xyFFyx ;2121yzffxzff yzFFzy 21211xzffxyff .12121xzffxyff .,),( 5zyyxxzxyzzyxfz 求求设设例例我

14、吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解法解法2.,为为自自变变量量为为函函数数时时求求yxzxz 求求偏偏导导得得两两边边对对xxyzzyxfz),( xz )1(1xzf ),(2xzxyyzf ;12121xyffyzffxz .,为为自自变变量量为为函函数数时时求求zyxyx 求求偏偏导导得得两两边边对对yxyzzyxfz),( )1(01 yxf),(2yxyzxzf 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边

15、有一个活的生物;2121yzffxzffyx .,为为自自变变量量为为函函数数时时求求zxyzy 求求偏偏导导得得两两边边对对zxyzzyxfz),( )1(11 zyf),(2zyxzxyf .12121xzffxyffzy 解法解法3 3 利用两边全微分也可得到所求利用两边全微分也可得到所求.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数在此举例说明求偏导的方法在此举例说明求偏导的方法, 方程组确定的隐函数方程组确定的隐函数一般有以下

16、几种情形一般有以下几种情形: 0),(0),( . 1zyxGzyxF确定了两个一元函数确定了两个一元函数. 0),(0),( . 2vuyxGvuyxF确定了两个二元函数确定了两个二元函数. ),(),(),( . 3vuzzvuyyvuxx确定了一个以确定了一个以u,v为中间变量为中间变量x,y为自变量的二元函数为自变量的二元函数.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏导数组

17、成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足

18、:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；, ),(000yxuu ),(000yxvv 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理证明略.仅推导偏导数公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世

19、界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0故得系数行列式我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv

20、),(),(1yuGFJyv我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物方程组确定的隐函数及求导习例方程组确定的隐函数及求导习例.,),(),()2().,(),(),(),(),(),()1(0),(),(, ),(),(),(7的的偏偏导导数数对对求求数数的的反反函函数数连连续续且且具具有有连连续续偏偏导导组组单单值值某某一一邻邻域域内内唯唯一一确确定定一一的的对对应应的的点点在在与与点点证证明明方方程程组组且且有有连连续续的的偏偏导导数数的的某某一一邻邻域域内内在在点点设设函函数数例例yxyxvv

21、yxuuyxvvyxuu、yxvuvuyyvuxxvuyxvuvuyyvuxx 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物yzxzvuzvuyvux , 83322求求设设例例., ,),(),( 112xvxugfyvxugvyvuxfu 求求偏导数偏导数具有一阶连续具有一阶连续其中其中设设例例我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解1xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移

22、项得vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解2方程组两边对方程组两边对x求导得求导得 00 xvxvxuyxvyxuxu ,22yxyvxuxu 从从而而 22yxxvyuxv ., yvyuy 求求导导可可得得同同理理方方程程组组两两边边对对 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，

23、证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 (1) 令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG.,),(),()2().,(),(),(),(),(),()1(0),(),(, ),(),(),(7的的偏偏导导数数对对求求数数的的反反函函数数连连续续且且具具有有连连续续偏偏导导组组单单值值某某一一邻邻域域内内唯唯一一确确定定一一的的对对应应的的点点在在与与点点证证明明方方程程组组且且有有连连续续的的偏偏导导数数的的某某一一邻邻域域内内在在点点设设函函数数例例yxyxvvyxuuyxvvyxuu、yxvuvuyyvuxxvuyxvuvuyyvuxx 我吓了一跳，蝎子是多

24、么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对 x 求导, 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy则有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数. 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得

25、,1vxJyuuxJyv1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxJyuuxJyv1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 2233vuyvuxvuz确定了一个以确定了一个以u u, ,v v为中间变量为中间变量x x, ,y y为自变量的二元函数为自变量的二元函数. .方

26、程组两边对方程组两边对y y求偏导得求偏导得 yvvyuuyz2233yvyu 0yvvyuu 221.,yzyuyu 再代入即得再代入即得与与先求出先求出yzxzvuzvuyvux , 83322求求设设例例我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物同样地同样地:求偏导得求偏导得两边对两边对也可由也可由xvuzvuyvux 3322 xvvxuuxzxvvxuuxvxu22332201 xz我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没

27、有错：表里边有一个活的生物解解dxdzfdxdyffdxdu321 xyxyxyxeyedxdyye 10得得由由 xyy 12xezdxdzxzezz 得得由由0)1( zxz我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解 求导可得求导可得两边对两边对由由xxyezezyxfuzxy 00),( dxdzfdxdyffdxdu3210)( dxdzdxdyxyexy0)( dxdyxydxdzez dxdu我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快

28、，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解解方程组两边对方程组两边对x求偏导得求偏导得 2121)(,fxvfuxuxxvuxuxffxu 21212)1(21,gxvyvgxuxvyvxuggxv .,xvxu 由此可求得由此可求得., ,),(),( 112xvxugfyvxugvyvuxfu 求求偏导数偏导数具有一阶连续具有一阶连续其中其中设设例例我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物内容小结内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法

29、则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物)()(xzzxyy及,2 yxeyx思考题思考题.ddxu求分别由下列两式确定 :又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 ,1. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)解得因此

30、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 设)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数 , 求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(99考研考研)我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个

31、活的生物解法解法2 微分法.0),(),(zyxFyxfxz对各方程两边分别求微分:化简得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1可得我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积分中. 他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方程, 在分析力学, 动力学及数学物理方面也有贡献 . 他在哥尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.