同济版大一高数下第七章第二节可分离变量的微分方程ppt课件.ppt

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1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1高等数学 第二十九讲“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2转化 可分离变量的微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）

2、、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 )(yG)(xF则有称为方程的隐式通解, 或通积分.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解:

3、分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5例例2. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy(

4、C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y1ln2xC“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。622()d()d0 xxyxx yyy解解:xxxyyyd1d122 分离变量 例例3 求下列方程的通解 :原式化为yxyxyxd) 1(d)1 (222222d1111xxyyd22ln 1ln1yCx通解：通解：2211yCx22“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“

5、群众性治安防控工程”。7有些微分方程需要通过适当的变量代换，化为变量可分离的方程。例例4 求微分方程为常数）aaxdydyx(22的通解。解解 令yxu则1xdudxdyd代入原方程得221axdudu即222uaxdudu分离变量得xduduau222xduduaa2221cxauau arctan通解为cayxayarctan“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8例例5. 求下述微分方程的通解:) 1(sin. 12yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu

6、2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:uu2sin1uu2cos“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9例例5. 求下述微分方程的通解:yxyyyxlnln. 2解解: 观察可将方程整理为:yxyyxln令 xyu 代入上式得:uxuulnxxduuudln分离变量后得:xxduudlnlnln lnlnuCxxCeuCxuln通解:xCeyx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台

7、、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10例例6:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令dxdydxdu1则故有uedxdu1积分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11,0) 1 ,0(,1FCF

8、例例7 已知曲线积分与路径无关, 其中求由确定的隐函数解解:因积分与路径无关 , 故有xFxFxsincosxFxyFysinsin即因此有dcosdsin),(yxxxyyxFL0),(yxF. )(xfy xyFFyxtanxyytan10 xyxycos1xsecsin),(cos),(xyyxFyxyxFxy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12内容小结内容小结1. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13思考与练习思考与练习 求下列方程的通解 :提示提示:)sin()sin(yxyxy方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln)sin()sin(yxyxy2sin2cos2sinsinBABABAxdxydycos2sin