高等数学12.2数项级数的收敛性判别法ppt课件.ppt

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1、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分高高 等等 数数 学学主讲人主讲人 宋从芝宋从芝河北工业职业技术学院河北工业职业技术学院变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分本讲概要本讲概要正项级数的收敛性判别法正项级数的收敛性判别法交错级数的收敛性判别法交错级数的收敛性判别法绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛1212. .2 2 数项级数的收敛性判别法数项级数的收敛性判别法变电站电气主接线是指变电站的变压器

2、、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 根据这根据这一准则，一准则，, 1中各项均为非负中各项均为非负若级数若级数 nnu则称该级数为则称该级数为正项级数正项级数 . 由于由于,1 nnnSSu即正项级数的部分和数列是一个单调增的数列即正项级数的部分和数列是一个单调增的数列.我们知道，单调有界数列必有极限我们知道，单调有界数列必有极限. 我们可得到判定正项级数收敛性的一个我们可得到判定正项级数收敛性的一个定理定理 .因此有因此有nnnuSS 1,1 nS, ),3,2 ,1( nnu即即0一一. .正项级数的收敛性判别法正项级数的

3、收敛性判别法定义定义1 1变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分定理定理1 1 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界列有界. .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例 1 试判定正项级数试判定正项级数. 22sin1的的收收敛敛性性 nnn变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成

4、中一个重要组成部分n21814121 .1211)211(21 n即其部分和数列有界，即其部分和数列有界， 因此正项级数收敛。因此正项级数收敛。nnnS22sin86sin44sin21 例例 1 试判定正项级数试判定正项级数. 22sin1的的收收敛敛性性 nnn解解 由于该级数为正项级数由于该级数为正项级数，且部分和且部分和 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分定理定理 2 ( (比较判别法比较判别法) ) 设有两个正项级数设有两个正项级数 1nnu. 1 nnv和和那么那么:, )1(1收

5、收敛敛若若级级数数 nnv; 1也收敛也收敛则级数则级数 nnunu如如果果,),3,2,1(成成立立 nvn,)2(1发发散散若若级级数数 nnu. 1也发散也发散则级数则级数 nnv变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例 2 讨论级数讨论级数, 11的收敛性的收敛性 npn此级数称为此级数称为 p 级数级数. 其中其中 p 为正常数。为正常数。变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解解 当当

6、p =1 时时 ， p 级数级数发散发散.当当 p 1 时，时，观察其前观察其前 n 项和项和.131211pppnnS 对于每一个确定的对于每一个确定的 p 值值 ，,1 为为底底个个以以可可以以看看成成是是 nSn, 1 和和逐渐递减的小矩形面积逐渐递减的小矩形面积高为高为pn变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 于是由定理于是由定理 1 可知，这时可知，这时 p 级数收敛级数收敛 .根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义 ，显然显然nS)11(111d)1(11112 pnpnpxx.1

7、11111 ppnpppp所以部分和数列有界所以部分和数列有界.综上所述可知综上所述可知: p 级数当级数当 p 1 时发散时发散; p 1 时时收敛收敛 .变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例 3 . 251 12发散发散试证明正项级数试证明正项级数 nnnn证证 利用比较判别法利用比较判别法. 注意到注意到 2512nnn, ),3,2,1(18182 nnnn，是是发发散散的的因因调调和和级级数数 1 1 nn 根据级数性质根据级数性质 2 知道，知道，,81后仍发散后仍发散调和级数各

8、项乘以调和级数各项乘以. 251 12发散发散所以正项级数所以正项级数 nnnn变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例 4 试判定试判定. 11 1的收敛性的收敛性正项级数正项级数 nnn解解, ),3 ,2 ,1(111 2/3 nnnn因因为为所给正项级数收敛所给正项级数收敛.正正而而 , 23 1 12/3级级数数时时的的是是项项级级数数ppnn 它是收敛的，它是收敛的， 所以由比较判别法可知，所以由比较判别法可知，变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完

9、成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分仔细分析例仔细分析例 3 与例与例 4，我们就会发现，我们就会发现，或无理式时，或无理式时，该正项级数收敛，该正项级数收敛， 否则发散否则发散.如如果果是分式，是分式，正项级数的通项正项级数的通项nu 而其分子分母都是而其分子分母都是n 的多项式的多项式 ( 常数是零次多项式常数是零次多项式 )只要分母的最高次数高出分子最高次数一次以上只要分母的最高次数高出分子最高次数一次以上(不包括一次不包括一次)，变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组

10、成部分例例 5 5 判定判定11.!nn 收收敛敛性性变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分练习练习 试判定以下正项级数的收敛性试判定以下正项级数的收敛性 :;)1)(12()1(1 nnnn分子是分子是 n 的一次多项式，的一次多项式， 解解 (1) 因为通项的分母中，因为通项的分母中，n 的最高次数的最高次数为二次，为二次， 分母仅比分分母仅比分子高一次，子高一次， 故该级数发散故该级数发散. )11()2(133 nnn变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完

11、成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分,11233 nn11 )2(33 nn因因为为通通项项 .,123故级数收敛故级数收敛 23 其中分母其中分母 n 的最高次数为的最高次数为 次，分子是零次，分次，分子是零次，分母比分子高母比分子高 次，次，23 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分定理定理 3 ( (达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法) ) 设有正项级数设有正项级数,1 nnu nnnuu1lim如果极限如果极限存在存在， 那么那么( (1) ) 当当 1 时

12、级数发散时级数发散;( (3) ) 当当 = 1 时级数可能收敛时级数可能收敛，也，也可能发散可能发散.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例 6 试证明正项级数试证明正项级数. 3tan21收敛收敛 nnn证证 利用比值审敛法，利用比值审敛法，因为因为 nnnuu1limnnnnn3tan23tan2lim11 .1323232lim11 nnnnn所以级数收敛所以级数收敛.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成

13、中一个重要组成部分, 1中中如果在任意项级数如果在任意项级数 nnu这样的任意项级数就叫做这样的任意项级数就叫做交错级数交错级数 .,)1(1321 nnuuuu. ), 3 , 2 , 1(0 nun其其中中它的一它的一般形式为般形式为正负号相间出正负号相间出现，现，二、交错级数收敛性判别法二、交错级数收敛性判别法 在级数在级数 中，总含有无穷多个正项和负项中，总含有无穷多个正项和负项叫任意项级数叫任意项级数. 1nnu变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 设交错级数设交错级数111() :n

14、nnu 满满足足定理定理 4 ( (莱布尼茨收敛判别法莱布尼茨收敛判别法) ) (1)nu ;, 3 , 2 , 11) )( ( nun,0lim(2) nnu , )1(11收收敛敛则则级级数数nnnu S 且且其其和和.1u变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例7 试判定交错级数试判定交错级数. 2)1(11的的收收敛敛性性nnnn 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例 7 试判定交错

15、级数试判定交错级数. 2)1(11的的收收敛敛性性nnnn 解解2 ,nnnu 因因为为,2111 nnnu而而 1 nnuu.02limlim nnnnnu又因为又因为所以由交错级数判别法可知，所以由交错级数判别法可知，1112 () .nnnn 收收敛敛1121212 nnnnnn, ),3,2,1(0 n. ),3,2,1( nnu 所所以以1 nu变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例 7 试判定交错试判定交错的的级数级数21112)1( nnnn . 收收敛敛性性变电站电气主接线是指

16、变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解解 在利用交错级数判别法时，在利用交错级数判别法时，.lim nnu 所以我们先来求所以我们先来求.012limlim 2 nnunnn对于条件对于条件 (1)，有时可利用导数工具来判断有时可利用导数工具来判断 .,12)(2xxxf 设函数设函数因为因为.)1(2)(3xxxf 条件条件 (2)往往比较容易判断，往往比较容易判断，例例8 试判定交错试判定交错121211 ()nnnn 级级数数的的. 收收敛敛性性变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接

17、，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分由此可以推得由此可以推得. 12)1( 211收收敛敛交交错错级级数数因因此此nnnn 212)(xxxf 即即函函数数. 单调减小单调减小 x所以当所以当, 1时时)(xf .0212nn ,),3,2,1()1(1)1(22 nnnnu 即即.),3,2,1(1 nun变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分的各项取绝对值后的各项取绝对值后将级数将级数 1nnu, 1收收敛敛如如果果 nnu 1 nnu就就称称原原级级数数绝

18、对收敛绝对收敛.定理定理51 , nnu 若若级级数数 绝绝对对收收敛敛则则.1必必收收敛敛 nnu,1 nnu级数级数得得到到正正项项三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义3 3变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例 9 试判定级数试判定级数解解 考察级数考察级数 .22112122)1( nnnnnnnn nnnn212423222122)1(423222. 的收敛性的收敛性变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是

19、电力系统接线组成中一个重要组成部分因此由定理因此由定理 5 可知该级数收敛可知该级数收敛 ., 1发发散散级级数数如如果果 nnu, 1收收敛敛但但级级数数 nnu为为则则称称该该级级数数 1 nnu条件收敛条件收敛 . 绝绝对对收收敛敛 122)1(21nnnnn即即任任意意项项级级数数 122 nnn不不难难判判定定级级数数利用正项级数比值判别法，利用正项级数比值判别法，是收敛的，是收敛的，变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分小结小结 正项级数的收敛性判别法正项级数的收敛性判别法 交错级数的收敛性判别法交错级数的收敛性判别法 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 作业作业 习题习题1212. .2 12 1，2 2，3 3变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分