定积分的换元积分法和分部积分法ppt课件.ppt

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1、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第第6章章 定定 积积 分分 6.1 定积分概念与性质定积分概念与性质6.2 微积分基本公式微积分基本公式6.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法6.4 定积分的应用定积分的应用6.5 反常积分初步反常积分初步目目 录录变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分6.3 定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的

2、换元积分法 .由牛顿莱布尼茨公式知道，计算定积分 ( )dbaf xx的方法是求它的一个原函数.定理定理1 设函数 ( )f x在区间 , a b上连续，函数 ( )xt满足条件：(1) 当 ,t （或 , ）时， ( ),atb且 ( ), ( ),ab (2) ( ) t在 , (或 , )上具有连续导数，则有 ( )d( ( )( )dbaf xxfttt（6-4）变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 公式(6-4)叫做定积分换元公式定积分换元公式应用换元公式时有两点值得注意：(1)(

3、)xtxtxt 把 变成 的换元时候，必须相应的将 的积分限变成必换限的积分限.(2) 求出 ( ( )( )ftt( ) tx后，不用再还原为 的表达式的原函数变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 的上、下限分别代入 ( ) t中，然后相减就行了 例例1 计算 220daaxx0 .a解解 设 sinxt,则 dcos dxat t,且当 0 x时， 0;t当 xa时， .2t于是 2222200dcosdaaxxat t22201sin2.224aattt量220(1cos2 )d2att

4、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 例例2 计算 402d .21xxx解解 设 21tx,则 21,2txddxt t当 0 x 时， 1;t当 4x 时， 3.t于是33432101211d(3)d(3 )22 321xtxtttx127122(9)(3).2333变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 例例3 计算 520cossin d .xx x解解 设 costx，则 dsin d

5、 txx；且当 0 x 时， 1;t当 时， 于是2x0.t1615001d.66ttt在例3中，如果不明显地写出新变量 t，直接用凑微分法求解，那末定积分的上、下限就不要变更552200cossin dcosd(cos ) xx xxx260cos11(0).666 x055201cossin dd xx xtt变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分练习：练习：P195页：题页：题1（3）（4） 2535-4,dx,42ttxtxdt 令则1,3,1,1,xtxt 1331311113 1=1.

6、2222tdtdttt原式变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 342200411=-coscoscos;44d 方法一：原式cos,0,1;,0,2ttt方法二：令01333422001011=-coscos-.44dt dtt dtt原式变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 例例4 设函数 ( )f x在区间 , a a上连续，试证： 0( )d()( ) d ;aaaf x xfxf xx

7、(1) (2) 当 ( )f x为奇函数时， ( )d0;aaf x x(3) 当( )f x为偶函数时， 0( )d2( )d .aaaf x xf xx证证 (1) 由于00( )d( )d( )d ,aaaaf x xf x xf xx在 0( )daf x x中，设 xt ，则 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 000( )d()d()d . aaaf x xfttfxx故00( )d()d( )daaaaf x xfxxf x x(2) 当 ( )f x是奇函数时， ()( )0

8、fxf x，因此 ( )d0.aaf xx(3) 当 ( )f x是偶函数时， ()( )2 ( )fxf xf x，因此 0( )d2( )d .aaaf x xf xx利用例4的结论，常可简化在对称区间上的定积分的计算0()( ) d .afxf xx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 例例5 求下列定积分 44d.1 sinxx解解 由于被积函数为非奇非偶函数，由例8(1)知4404d11()d1 sin1 sin1 sinxxxxx例例6 试证：2200sindcosdnnx xx

9、x( 为非负整数) n证证设 2xt，则 dd xt；当 0 x 时， ;2t402402secd2tan2x xx变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 于是有： 2200cos dcosd .nnt tx x例例7 设函数 )(xf21, 101 cose,0 xxxxx ,求 41(2)d .f xx解解 设 2ux，则当 1x时， 1; u4x 时， 当2u 于是 4211(2)d( )df xxf u u0202sindsin ()d()22nnx xtt变电站电气主接线是指变电站的变

10、压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 20210ded1cosuuuuu202101tan22uue4111tan.222e变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分练习：练习：P196页页. 题题3（1）（2）题3（1）：答案是0； 3 2.： 答 案 是变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分.6.3.2 定定 积积 分分 的的 分

11、分 部部 积积 分分 法法利用不定积分的分部积分公式及牛顿莱布尼茨公式，即可得出定积分的分部积分公式设函数 ( ),( )uu x vv x在区间 , a b上具有连续导数，按不定积分的分部积分法，有( )d ( )( )( )( )d ( )u xv xu xv xv xu x从而得( )d ( )( )( )( )d ( ).bbbaaau xv xu xv xv xu x(6-5)这就是定积分的分部积分公式分部积分公式变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 例例8 计算 120arcsin

12、 d .x x解解 1201122200arcsin darcsind1xx xxxxx112222011(1)d(1)2 62xx1202311.12122x例例9 计算 0d.xex解解 先用换元法令 xt，则 2,d2 d ,xtxt t变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 当 0 x 时， 0t ；当 1x 时， 1;t1t 于是00e d2e d .xtxtt再用分部积分法，因为10000dddttttte tt etee t因此 00d2d2.xtexte t101.tee变电站电

13、气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 例例10 计算 0cos d .xx x解解 0000cos ddsinsinsin dxx xxxxxx x00sin dcos2. x xx例例11 计算 20sind .nnIx x( 为正整数) n解解 12200sindsindcos nnnIx xxx201220( sincos )cos(1)sincos d nnxxxnxx x变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一

14、个重要组成部分. 2220(1)sin(1 sin)dnnxx x2(1)(1),nnnInI由此得到递推公式：21nnnIIn而200d,2Ix210sin d1.Ix x故当 n为偶数时： 133 1,24 2 2nnnInn变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分. 当n为大于 1 的正奇数时:134 2.25 3nnnInn由例6知 20cosdnx x20sindnx x与有相同的结果.例如: 4203 13sind;4 2 216x x7206 4 216cosd.7 5 335x x变

15、电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分234练习： 题 ：（ ）（ ） 14421111442211ln22ln2lnlnxdxxdxxxxx dx1144221111241124ln402 2ln42 2ln42 2ln42411128ln24.xdxxdxxx 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 332443344344cotsincotcotcoscotcot3344sinxdxxdxxxxx

16、dxxdxx 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分34343sin334sin3ln sin9436ln.942dxxx 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分定积分积分方法总结(1)( )( )( )baf x dxF bF a基本公式法和凑微分法，然后应用牛顿-莱布尼茨公式： 直接求原函数( )(2)( )( ( )( )xtbaf x dxft dt换第二类换元积分法，记得： 换 元必限变电站

17、电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分(3)( )d ( )( )( )( )d ( ).bbbaaau xv xu xv xv xu x分部积分法，直接代入下边公式： (4), ,( )d0( )aaa af x xf x对积分限是对称区间的，如应该首先考虑是否为奇函数，若是，则有： （为奇函数时）变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分作业：习题作业：习题6-3 题题1 (2)(6),题题2（1）（）（2）题）题3(3)(4)