大学数学PPT课件线性代数.ppt

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1、 随机现象有其偶然性的一面，也有其必然随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性统计规律性.而概率论正是研究随机现象统计而概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科规律性的一门学科. 现在，我们将步入这充满随机性的世界，现在，我们将步入这充满随机性的世界，开始第一步的探索和研究开始第一步的探索和研究.1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间 从观察试验开始从观察试验开始 研究随机现象，首先要对研究对研究随机现象，首先要对研究对象

2、进行观察试验象进行观察试验. 这里的试验，指的这里的试验，指的是随机试验是随机试验. 如果每次试验的可能结果不止一个，如果每次试验的可能结果不止一个，且事先不能肯定会出现哪一个结果，这样且事先不能肯定会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验的试验称为随机试验.1.1.1 随机试验随机试验H 例如例如, , 掷硬币试验掷硬币试验掷一枚硬币，观察出正还是反掷一枚硬币，观察出正还是反.T掷骰子试验掷骰子试验掷一颗骰子，观察出现的点数掷一颗骰子，观察出现的点数 寿命试验寿命试验 测试在同一工艺条件下生产测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命出的灯泡的寿命.下面我们来为随机试验建立一个下面我们来为随机试

3、验建立一个数学模型数学模型我们注意到我们注意到试验是在一定条件下进行的试验是在一定条件下进行的试验有一个需要观察的目的试验有一个需要观察的目的根据这个目的根据这个目的, 试验被观察到多个不同的结果试验被观察到多个不同的结果. 试验的全部可能结果，是在试验前就明试验的全部可能结果，是在试验前就明确的；或者虽不能确切知道试验的全部可能确的；或者虽不能确切知道试验的全部可能结果，但可知道它不超过某个范围结果，但可知道它不超过某个范围. 而且，而且，每次试验的结果事先不可预言每次试验的结果事先不可预言. 现代集合论为表述随机试验提供了一现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具个方便的工具 .1.1

4、.2 样本空间与随机事件样本空间与随机事件 我们把随机试验的每个基本结果称为我们把随机试验的每个基本结果称为样本点样本点，记作，记作e 或或. 全体样本点的集合称为全体样本点的集合称为样本空间样本空间. 样本空间用样本空间用S或或表示表示.样本点样本点e. S 如果试验是将一枚硬币抛掷两次，如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：则样本空间由如下四个样本点组成： S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中其中 样本空间在如下样本空间在如下意义上提供了一个理意义上提供了一个

5、理想试验的模型：想试验的模型： 在每次试验中在每次试验中必有必有一个样本点出一个样本点出现现且仅有且仅有一个样本一个样本点出现点出现 .如果试验是如果试验是测试某灯泡的寿命测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，一个可能结果，S = t ：t 0故样本空间故样本空间 调查城市居民（以户为单位）烟、调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数分别是烟、酒年支出的元数. 也可以

6、按某种标准把支出分为高、也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档中、低三档. 这时，这时，样本点有（高样本点有（高,高）高）,（高（高,中），中），(低低,低）等低）等9种，样本空种，样本空间就由这间就由这9个样本点构成个样本点构成 .这时，样本空间由坐标平这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内面第一象限内一定区域内一切点构成一切点构成 .随机事件：随机事件： 在一次试验中可能发生也可能不发在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件生的事件称为随机事件，简称事件. 在随机试验中，我们往往会关心某个在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现或某些结果是否会出现.

7、 这就是这就是例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出掷出1点点”“掷出掷出2点点”事事件件基本事件基本事件复合事件复合事件（相对于观察目的相对于观察目的不不 可再分解的事件可再分解的事件）（两个或一些基本事件并在一（两个或一些基本事件并在一起，就起，就 构成一个复合事件）构成一个复合事件）事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点如在掷骰子试验中，如在掷骰子试验中，观察掷出的点数观察掷出的点数 . 事件事件 Ai =掷出掷出i点点 i =1,2,3,4,5,6两个特殊的事件：两个特殊的事件：必件然事例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于掷出点数小于7”是必然事件是必然事

8、件;即在试验中必定发生的事件，常用即在试验中必定发生的事件，常用S或或表示表示; 不件可事能即在一次试验中不可能发生的事件，即在一次试验中不可能发生的事件，常用常用表示表示 .而而“掷出点数掷出点数8”则是不可能事件则是不可能事件. 引入样本空间后，随机事件便可以表引入样本空间后，随机事件便可以表示为样本空间的子集示为样本空间的子集 .例如，掷一颗骰子，观察出现的点数例如，掷一颗骰子，观察出现的点数S = i ：i=1,2,3,4,5,6样本空间：样本空间：事件事件B就是就是S的一个子集的一个子集B = 1,3,5B发生当且仅当发生当且仅当B中的样本点中的样本点1，3，5中的某一个出现中的某一

9、个出现.1.1.3 事件的关系与运算事件的关系与运算 参见教材 : P3P4 事件的包含与相等 事件的和(或并) 事件的积(或交) 事件的差 事件互不相容(或互斥) 对立(或逆)事件为了研究事件的关系与运算为了研究事件的关系与运算,引入事件的集合表示引入事件的集合表示；按定义，按定义，样本空间样本空间S是随机试验的是随机试验的结果结果(样本点样本点)的全体，的全体，故样本空间就是所有样故样本空间就是所有样本点构成的集合，本点构成的集合，每一样本点是该集合的元素每一样本点是该集合的元素.一个事件是由具有该事件一个事件是由具有该事件些可能结果所构成，些可能结果所构成，故一个事件是对应于故一个事件是

10、对应于 中中S具有相应特征的样本点具有相应特征的样本点(元素元素)构成的集合，构成的集合，它它所有可能所有可能所要求的特征的那所要求的特征的那是是S的一个子集的一个子集. 于是，于是，任何一个事件都可以任何一个事件都可以用用 S 的某一子集来表示的某一子集来表示，表示表示.某事件某事件A发生，发生，就是属于该集合的某一样本就是属于该集合的某一样本点在试验中出现点在试验中出现. 若记若记s为试验中出现的样本为试验中出现的样本点，点，常用字母常用字母,BA等等则则事件事件A发生发生.As 称仅含一个样本点的事件为称仅含一个样本点的事件为基本事件基本事件；称含有两称含有两个或两个以上样本点的事件为个

11、或两个以上样本点的事件为复合事件复合事件.显然，显然，样本空间样本空间S作为事件是必然事件，作为事件是必然事件，作为一个事件是不可能事件作为一个事件是不可能事件.空集空集1.:BA 事件事件B包含事件包含事件A 或或 事件事件A包含于事包含于事件件B 或或 A是是B 的子事件的子事件，其含义：其含义：然导致事件然导致事件B发生发生. 显然显然.SA 2.BA (即即,BA 且且:)AB AB相等相等.3. BAAee |或或Be ：与事件与事件B的的和事件和事件.4. BAAee |且且Be ：称为事件称为事件A与事件与事件B的的积事件积事件.称为事件称为事件A称为事件称为事件与事件与事件事件

12、事件A发生必发生必5.称为事件称为事件A与事件与事件B的的差事件差事件.例如，例如，在抛掷骰子的试验中，在抛掷骰子的试验中，记事件记事件:A“点数为奇数点数为奇数”，:B“点数小于点数小于5”.则则 BA1，2，3，4，5； BA1，3；Aee |且且Be ： - - BA.5 - - BA6. 若若, BA则称事件则称事件A与与B是是互不相互不相容的容的(或或互斥的互斥的).7.若若SBA 且且, BA事件事件B互互为对立事件为对立事件，为为逆事件逆事件. A的对立事件记为的对立事件记为,A于是于是件或可数无限个事件的情形件或可数无限个事件的情形.ASA- - 注注：事件的关系与运算可用维恩

13、图形象表之事件的关系与运算可用维恩图形象表之事件的和与积的运算可推广到事件的和与积的运算可推广到则称事件则称事件A与与或事件或事件A与事件与事件B互互(1)(2)有限个事有限个事.ABBA 事件的和与积的另一记法：事件的和与积的另一记法：,BABA (3)事件的和（并）、积（交）、差、对立事事件的和（并）、积（交）、差、对立事件及互不相容（互斥）事件的图示：件及互不相容（互斥）事件的图示：BBAABBAABABBA-AAABAABABAB. 完备事件组完备事件组设设,21nAAA是有限或可数个事件，是有限或可数个事件，满足：满足：若其若其;, 2 , 1,)1( jijiAAji.)2(SAi

14、i 则称则称,21nAAA是一个是一个完备事件组完备事件组.显然，显然，A与与A构成一个完备事件组构成一个完备事件组.9.事件的运算规律事件的运算规律由集合的运算律，由集合的运算律，易给出事件间的运算律易给出事件间的运算律. 设设CBA,为同一随机试验为同一随机试验E中的事件，中的事件，则有则有(1) 交换律交换律,ABBA ;ABBA (2) 结合律结合律),()(CBACBA );()(CBACBA (3) 分配律分配律),()()(CBCACBA (4) 自反律自反律;AA (5) 对偶律对偶律.)(BABA 注注：上述各运算律可推广到上述各运算律可推广到件的情形件的情形.,)(BABA

15、有限个或可数个事有限个或可数个事 对于一个具体事件，要学会用数学符对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么件，要清楚其具体含义是什么.也就是说，要正确无误地也就是说，要正确无误地“互译互译”出来出来.A 是是A的对立事件，的对立事件， A=两件产品不都是合格品两件产品不都是合格品在概率论中，常常叙述为：在概率论中，常常叙述为：A=两件产品中至少有一个是不合格品两件产品中至少有一个是不合格品?AA=两件产品都是合格品两件产品都是合格品， 例如，从一批产品中任取两件，观察合例如，从一批产品中任取两件，观察合格

16、品的情况格品的情况. 记记问：问：A=两件产品中至少有一个是不合格品两件产品中至少有一个是不合格品它又可写为两个互斥事件之和它又可写为两个互斥事件之和A=两件产品中恰有一个是不合格品两件产品中恰有一个是不合格品 两件产品中都是不合格品两件产品中都是不合格品 从一批产品中任取两件，观察合格品的从一批产品中任取两件，观察合格品的情况情况. 记记 A=两件产品都是合格品两件产品都是合格品， 若记若记 Bi =取出的第取出的第 i 件是合格品件是合格品，i=1,2212121BBBBBB21BBA 21BB A=两件产品中至少有一个是不合格品两件产品中至少有一个是不合格品 A=B1B2 问如何用问如何

17、用 Bi 表示表示A和和 ？A 互斥与互逆的区别：互斥与互逆的区别： 两事件两事件A、B互斥：互斥：AB两事件两事件A、B互逆或互为对立事件互逆或互为对立事件即即A与与B不可能同时发生不可能同时发生.除要求除要求A、B互斥互斥( )外，还要求外，还要求 ABA+B=S n个事件互斥与个事件互斥与 两两互斥：两两互斥： 若若n个事件个事件A1，A2， ，An中任意两中任意两个事件都互斥个事件都互斥,则称这则称这n个事件互斥个事件互斥. 所以，若所以，若n个事件互斥，则其中任个事件互斥，则其中任意两个事件都互斥意两个事件都互斥.1. A发生发生, B与与C不发生不发生设设A、B、C为三个事件，用为

18、三个事件，用A、B、C的的运算关系表示下列各事件运算关系表示下列各事件.CBACBA-或或2. A与与B都发生都发生,而而C不发生不发生CBACBA-或或3. A、B、C中至少有一个发生中至少有一个发生A+B+C4. A、B、C都发生都发生CBACBACBACBACBACBA或或ABC恰有1个发生恰有2个发生+ABC3个都发生5. A、B、C中至少有两个发生中至少有两个发生 AB+BC+AC 或或 6. A、B、C都不发生都不发生CBACBACBA+ABC恰有恰有2个发生个发生3个都发生个都发生CBACBA或或7. A、B、C中不多于一个发生中不多于一个发生CBACBACBACBA恰有恰有2个

19、不发生个不发生3个都不发生个都不发生CACBBA或或至少有至少有2个不发生个不发生 8. A、B、C 中不多于两个发生中不多于两个发生ABCCBACBACBACBACBACBACBACBA或或或或至少有至少有1个不发生个不发生ABCCBA注意注意: 例例1甲甲, , 乙乙, , 丙三人各射一次靶丙三人各射一次靶, , 记记A- -“甲种甲种靶靶”, ,B - -“乙中靶乙中靶”, ,“丙中靶丙中靶”, ,C - -则可用上述则可用上述三个事件的运算三个事件的运算(1)(3)(4)(2)“甲未中靶甲未中靶”: :;A;AB“甲中靶而乙未中靶甲中靶而乙未中靶”: :“三人中只有丙未中靶三人中只有丙

20、未中靶”: :;ABC;ABCABCABC“三人中恰好有一人中靶三人中恰好有一人中靶”: :(5)(6)“三人中至少有一人中靶三人中至少有一人中靶”: :“三人中恰有两人中靶三人中恰有两人中靶”: :ABC或或;ABC;ABCABCABC来分别表示下列各事件来分别表示下列各事件: :(9)(8)(7) “三人中至少有两人未中靶三人中至少有两人未中靶”: :;ABACBC“三人中均未中靶三人中均未中靶”: :;ABC;ABCABCABC“三人中至多一人中靶三人中至多一人中靶”: :(10)“三人中至多两人中靶三人中至多两人中靶”: :ABC或或.ABC注注: : 用其它事件的运算来表示一个事件用

21、其它事件的运算来表示一个事件, , 方法往往方法往往不唯一不唯一, , 如本例中的如本例中的 (6)和和 (10)实际上是同一事件实际上是同一事件, ,我们应学会我们应学会特别在解决特别在解决具体问题时具体问题时, , 往往要更具需要往往要更具需要方法方法. .(6)“三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”: :ABC或或;ABC用不同方法表达同一事件用不同方法表达同一事件, ,选择一种恰当的表示选择一种恰当的表示例例4指出下列各等式命题是否成立指出下列各等式命题是否成立, , 并说明理由并说明理由: :(1);)(BBABA (2);BABA (3);CBACBA (4).)( BA

22、AB解解 (1) 成立成立. .BBA)(SBA)( (分配律分配律)(2) 不成立不成立. . 若若A发生发生, ,A则必有则必有BA发生发生, ,发生发生, ,A必有必有不发生不发生, , 从而从而BA不发生不发生, ,故故BABA 不成立不成立. .)()(BBBA .BA BA发生发生, ,即必然有即必然有C发生发生. . 由于由于C发生发生, , 故故C必然不发生必然不发生, ,从而从而CBA不发生不发生, ,立立. .故故 (3) 不成不成(4) 成立成立. .)(BAABABBA)( (3);CBACBA (4).)( BAAB解解 (3) 不成立不成立. . 若若CBA发生发生

23、, , 即即C发生且发生且例例4指出下列各等式命题是否成立指出下列各等式命题是否成立, , 并说明理由并说明理由: :)(ABAB AA)( A . 事件在一次试验中是否发生具有随机性，事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发生的可能性大小是其本身所固有的它发生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率是度量某事件发生可能性大性质，概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标小的一种数量指标. .它介于它介于0与与1之间之间. . 在这一讲中，我们简要介绍了在这一讲中，我们简要介绍了随机试验随机试验样本空间样本空间随机事件随机事件给出了事件集合表示给出了事件集合表示 那么要问那么要问: 如何求得某事件的概率呢如何求得某事件的概率呢?下面几节就来回答这个问题下面几节就来回答这个问题. 研究随机现象，不仅关心试验中会出研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是的可能性大小，也就是事率件概的