高等数学导数与微分ppt课件.ppt

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1、第四节第四节 隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导 相关变化率相关变化率 一、隐函数的导数隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 第二章第二章 导数与微分导数与微分31xy 一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程若由方程0),( yxF可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,由由)(xfy 表示的函数表示的函数 , 称为称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数可确定显函数03275 xxyy可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,但此隐函数不能但此隐函数不能显化显化 (即写成即写成 y = f (x)的

2、形式的形式).函数为函数为隐函数隐函数 .则称此则称此隐函数隐函数求导方法求导方法: 0),( yxF0),(dd yxFx两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程)y变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解解: 我们把方程两边分别对我们把方程两边分别对 x 求导数求导数, 注意注意 y = y(x) , 即即遇到遇到 y 时要将它看作时要将它看作 x 的函数的函数，得，得 0 eyxedxdy0 dxdyxydxdyey所以所以0 exyeydxdy例例1. 求由方程求由方程 确定

3、的隐函数的导数确定的隐函数的导数 .从而从而)0( yyexexydxdy上式右端分式中的上式右端分式中的 y = y(x) 是由方程是由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数.0 exyey例例2. 求由方程求由方程03275 xxyy)(xyy 在在 x = 0 处的导数处的导数.0dd xxy解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导 )32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd2 1 621x 0 25211dd46 yxxy因 x = 0 时时 y = 0 , 故故210dd xxy0确定的隐函数确定的隐函数例例3. 求椭圆求椭圆191622 yx在点在点)233,2(处的切线方

4、程处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy 920 y 2323 xyyx169 2323 xy43 故切线方程为故切线方程为233 y43 )2( x即即03843 yx另解：从椭圆方程解出另解：从椭圆方程解出 y = f (x)，求在已知点的导数，求在已知点的导数。变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例4.解解: 应用隐函数的求导方法应用隐函数的求导方法, 得得0cos211 dxdyydxdy于是于是ydxdycos22 再对再对 x 求导求导, 得得32

5、22)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd 上式右端分式中的上式右端分式中的 y = y(x) 是由方程是由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数.0sin21 yyx求由方程求由方程 所确定的隐函数的二阶所确定的隐函数的二阶导数导数0sin21 yyx.22dxyd例例5. 求求)0(sin xxyx的导数的导数 . 解解: 两边取对数两边取对数 , 化为隐式化为隐式xxylnsinln 两边对两边对 x 求导求导yy 1xx lncos xxsin )sinlncos(sinxxxxxyx 对数求导法对数求导法 1) 对幂指函数对幂指函数vuy 可用对数求导法求导可用

6、对数求导法求导 :uvylnln yy 1uv ln uvu )ln(uvuuvuyv vuuyv lnuuvv 1注意注意:或者将或者将 化为指数函数化为指数函数 再求导再求导. vuy uveyln 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0( babaaxxbbaybax两边取对数两边取对数 yln两边对两边对 x 求导求导 yybalnxa xb baxaxxbbaybalnxa xb baxln lnlnxbalnlnaxb 例例6. 求求)4)(3()2)(1( xxxxy 21ln y对对 x 求导求导 21 yy)4)(3(

7、)2)(1(21 xxxxy 41312111 xxxx先两边取对数先两边取对数)2ln()1ln( xx )4(ln)3ln( xx 11x21 x31 x 41 x的导数的导数. )()(| )(|lnxuxuxu 可以验证可以验证二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程若参数方程 )()(tytx 可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数)(, )(tt 可导可导, 且且,0 )( )(22 tt 则则0)( t 时时, 有有 xyddxttydddd txtydddd )()(tt 0)( t 时时, 有有 yxddyttxdddd tyt

8、xdddd )()(tt (此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数 )关系关系,若上述参数方程中若上述参数方程中)(, )(tt 二阶可导二阶可导, 22ddxy)(ddtGx)(2t )()(tt )()(tt )(t )()()()()(3ttttt )(ddtGt txdd)()(ddttxy )(tx 且且,0)( t 则由它确定的函数则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数可求二阶导数 .利用新的参数方程利用新的参数方程, 可得可得)( :tG 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部

9、分例例7.已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 tbytaxsincos求椭圆在求椭圆在 相应的点处的切线方程相应的点处的切线方程.4 t解解: 当当 时时, 椭圆上的相应点椭圆上的相应点 的坐标是的坐标是: 4 t0Mbbyaax224sin ,224cos00 4 tdxdy4)cos()sin( ttatb4sincos ttatbab 曲线在曲线在 点的切线斜率为点的切线斜率为:0M变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分由直线的点斜式公式，由直线的点斜式公式，得椭圆在点得椭圆在点 处的

10、切线方程处的切线方程0M)22(22axabby 化简后得化简后得02 abaybx )()(dd22ttxy ,)()(ddttxy 例如例如，, 且且,0)( tf求求.dd22xy dd xy)(tft )(tf , t dd22 xy1)(tf 已知已知解解:,1221 tytx xydd;1t 22ddxy21tt31t 解解:注意注意 :再例，再例，求求.dd22xy )()()(tftftytfxty d/dtx d/d 例例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向. 解解

11、: 先求速度大小先求速度大小.速度的水平分量为速度的水平分量为,dd1vtx 垂直分量为垂直分量为,dd2tgvty 故抛射体故抛射体速度大小速度大小22)dd()dd(tytxv 2221)(gtvv 再求再求速度方向速度方向(即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):设设 为切线倾角为切线倾角, tan xyddtyddtxdd12vtgv 则则yxo2212tgtvy 抛射体轨迹的参数方程抛射体轨迹的参数方程 22121 tgtvytvx速度的水平分量速度的水平分量,dd1vtx 垂直分量垂直分量,dd2tgvty tan12vtgv 在刚射出在刚射出 (即即 t = 0 )时时, 倾角为倾角

12、为12arctanvv 达到最高点的时刻达到最高点的时刻,2gvt 高度高度ygv2221 落地时刻落地时刻,22gvt 抛射抛射最远距离最远距离xgvv212 速度的方向速度的方向yxo2vt g22vt g变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例9.计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程 )cos1()sin(tayttax所确定的函数所确定的函数 y = y(x)的二阶导数的二阶导数.解解: dxdytaatacossin ttcos1sin 22222cotsin2cossin2ttt

13、t dtdxtdtddxyd1)2(cot22 )cos1(12sin212tat 2)cos1(1ta ),2(Znnt 三、相关变化率三、相关变化率)(, )(tyytxx 为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率相关变化率相关变化率问题相关变化率问题解法解法:找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率例例10. 当气球高度为当气球高度为 500 m 时时, 其速率为其速率为,minm140求此时求此时观察员视线的仰

14、角增加率是多少观察员视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h , 仰角为仰角为 ,则则 tan500h两边对两边对 t 求导求导 2sectdd thdd5001 已知已知,140dd500 hth 且且h = 500 时时,1tan 22tan1sec ,2sec2 故故tdd 140500121 14. 0 )minrad/(一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升,小结小结1. 隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2. 对数求导法对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连

15、乘、连适用于幂指函数及某些用连乘、连除表示的函数除表示的函数3. 参数方程求导法参数方程求导法4. 相关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于 t 的相关变量关系式的相关变量关系式对对 t 求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式求高阶导数时求高阶导数时, 从低到高每次都用参数方程求导公式从低到高每次都用参数方程求导公式课堂练习课堂练习,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx 求求.y 1y2y提示：提示： 分别用对数求导法求分别用对数求导法求.,21yy 答案答案: :21yyy )1sinln(sec)(sin2tan xxxx32ln)2(21xxxx )2(

16、32)2(3ln21xxxxx 1. 设设2. 设设)(xyy 由方程由方程eyxey 确定确定 , , )0(y 解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得0 yxyyey再求导再求导, 得得 2yey yxey)(02 y当当0 x时时,1 y故由故由 得得ey1)0( 再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y , 求求 01sin232ytettxy.dd0 txy解：解： txddye tydd0dd txy3. 设设方程组两边同时对方程组两边同时对 t 求导求导, 得得26 ttydd tsin 0dd tyteycos teteyysin1cos txtydddd

17、 0)26)(sin1(cos tyyttete2e 0 t作业作业P111-112 1/(2)(4) 2 3/(2) 4/(3) 5/(2) 8/(3) 9/(2) * 设由方程设由方程)10(1sin 222 yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故 xydd)cos1)(1(ytt tyddtxdd t 2yttycos12dd 22 tycos tydd0 )1(2dd ttxtyddtxdd试求当容器内水试求当容器内水Rhxhr* 有一底半径为有一底半径为 R cm , 高为高为 h cm 的圆锥容器的圆锥容器 ,今以今以 自顶部向容器内注水自顶部向容器内注水 ,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻设时刻 t 容器内水面高度为容器内水面高度为 x ,水的水的 VhR231)(231xhr xrh)(33322xhhhR 两边对两边对 t 求导求导tVdd22hR 2)(xh ,ddtx 而而,)(25222xhRh ,2时时当当hx hxhRr故故 txdd) scm(25dd3 tV) scm(100dd2Rtx 体积为体积为 V , 则则R