工程力学-组合变形ppt课件.ppt

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1、2022-8-312022-8-328-1 概述概述构件同时发生两种或两种以上的基本变构件同时发生两种或两种以上的基本变形的情况，称为组合变形。形的情况，称为组合变形。烟囱烟囱yF1zF1zF22F传动轴传动轴 吊车立柱吊车立柱2022-8-332022-8-342022-8-35 斜弯曲斜弯曲梁变形后，轴线位于外力所在的梁变形后，轴线位于外力所在的平面之外平面之外。8-2 斜弯曲斜弯曲 平面弯曲：平面弯曲：外力施加在梁的对称面（或主平面）外力施加在梁的对称面（或主平面）内时，梁将产生平面弯曲。内时，梁将产生平面弯曲。对称弯曲：平面弯曲的一种。对称弯曲：平面弯曲的一种。即梁变形后，轴线位于外力

2、所在的即梁变形后，轴线位于外力所在的平面之内平面之内。2022-8-36 在集中力在集中力F F1 1 、 F F2 2 作用下（作用下（双对称截面梁在水平双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时受横向外力作用），和垂直两纵向对称平面内同时受横向外力作用），梁将分别在水平纵对称面梁将分别在水平纵对称面( (OxzOxz) )和铅垂纵对称面和铅垂纵对称面( (OxyOxy) )内发生对称弯曲。内发生对称弯曲。 在梁的任意横截面在梁的任意横截面m-mm-m上，上，F F1 1 、 F F2 2引起的弯矩为引起的弯矩为 )(,21axFMxFMzyxyzC(y,z)OyzmmF1Fa2MmmzO

3、yzMy2022-8-37 在在F2 2 单独单独作用下，梁在竖直平面内发生平面弯作用下，梁在竖直平面内发生平面弯曲，曲，z z轴为中性轴。轴为中性轴。 在在F1 1 单独单独作用下，梁在水平平面内发生平面弯作用下，梁在水平平面内发生平面弯曲，曲，y y轴为中性轴轴为中性轴。 斜弯曲是斜弯曲是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。(2) (2) F1 1单独作用下单独作用下求应力求应力：m-m截面上第一象限某点截面上第一象限某点C(y，z)(1) (1) F2 2单独作用下单独作用下)(2axFMzyIMZZxFMy1zIMyy2022-8-38(3) (3) 当当

4、F F1 1 和和F F2 2共同作用时，应用共同作用时，应用叠加法叠加法所以所以,C,C点的点的x x方向正应力为方向正应力为压压yIMzIMzzyyzyBD中性轴EFzMF2F1和共同作用时F2单独作用时F单独作用时1My2022-8-39强度条件强度条件：B、D角点处的切应力为零，按角点处的切应力为零，按单向应力单向应力状态状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为同，则斜弯曲时的强度条件为max中性轴中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程正应力为零处，即求得中性轴方程0yIMzIMzzyy危险点危险点：m-m截面上截面

5、上角点角点 B 有最大拉应力，有最大拉应力，D 有最大压应力；有最大压应力； E、F点的正应力为零，点的正应力为零，EF线即是中性轴。线即是中性轴。可见可见B、D点就是危险点，离中性轴最远点就是危险点，离中性轴最远2022-8-310 上式可见，中性轴是一条通过横截面形上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线心的直线, , E、F点的正应力为零，点的正应力为零，EF线线即是中性轴。其与即是中性轴。其与y轴的夹角轴的夹角 为为 tantan00zyzyyzzyyzIIIIMMIIMMyz 是横截面上合成弯矩是横截面上合成弯矩 M 矢量与矢量与 y 轴间的夹角。轴间的夹角。 22zyMMM 一般

6、，截面一般，截面Iy Iz，即，即 ，因而中性轴与合成弯矩，因而中性轴与合成弯矩M M所所在的平面并不相互垂直。所以挠曲线将不在合成弯矩所在在的平面并不相互垂直。所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内，即是斜弯曲。的平面内，即是斜弯曲。对圆形、正方形等对圆形、正方形等Iy=Iz的截面，得的截面，得 = = ，即是平面弯曲即是平面弯曲Ozy2022-8-311例例8-18-1 20a号号工工字钢悬臂梁承受均布载荷字钢悬臂梁承受均布载荷 q q 和集中和集中力力 F = q a / 2 如 图 。 已 知 钢 的 许 用 弯 曲 正 应 力如 图 。 已 知 钢 的 许 用 弯 曲 正 应 力 =1

7、60MPa, =160MPa, a=1=1m。试求梁的许可载荷集度。试求梁的许可载荷集度 q 解解：作计算简图：作计算简图, ,将自由将自由端截面端截面B上的集中力沿两上的集中力沿两主轴分解为主轴分解为 qaFFqaFFozoy321. 040sin383. 040cosyqzaa40FOCBAFyzqaaABCDFzyx2022-8-312危险截面危险截面：由：由弯矩图弯矩图 ，可确定，可确定A、D两截面为危险截面两截面为危险截面 A、D截面在截面在xoz、 xoy平面的弯曲截面系数，平面的弯曲截面系数，可查表得可查表得3636m105 .31,m10237yzWW 在在xoz主轴平面内的主

8、轴平面内的弯矩图弯矩图( (y轴为中性轴轴为中性轴) ) 在在xoy主轴平面内的主轴平面内的弯矩图弯矩图 ( (z轴为中性轴轴为中性轴) )0.642qa0.444qa0.321qa222ADCByM图(N m)0.617aADCBMz图0.456qa0.383qa0.266 qa222(N m)2022-8-313 可见，梁的危险点在截面可见，梁的危险点在截面A的棱角处。危险点处的棱角处。危险点处是单轴应力状态，强度条件为是单轴应力状态，强度条件为 max即即Pa10160)m105 .21()(613maxqA解得解得 kN/m44. 7N/m1044. 73q 按叠加法，在按叠加法，在x

9、oz主轴平面内、主轴平面内、 xoy主轴平面内的主轴平面内的弯曲正应力，在弯曲正应力，在x方向叠加方向叠加qWMWMAzzAyyAA)m105 .21()(:截面13maxqWMWMDzzDyyDD)m1002.16()(:13max截面2022-8-3148-3 拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲组合与弯曲组合F力作用在杆自由端形心处，作用线力作用在杆自由端形心处，作用线位于位于xy面内，与面内，与x轴夹角为轴夹角为 . F力既非轴向力，也非横向力，所力既非轴向力，也非横向力，所以变形不是基本变形。以变形不是基本变形。LxyF2022-8-315Fy=Fsin y为对称轴，引起平面弯曲为对称轴，引起

10、平面弯曲Fx=Fcos 引起轴向拉伸引起轴向拉伸lxFxFyyFxFN=FxMz=Fy(l x)只有一个方向的弯矩，只有一个方向的弯矩，就用平面弯曲的弯矩就用平面弯曲的弯矩符号规定。符号规定。+xFyFxFNMzFyll2022-8-316FN对应的应力对应的应力Mz对应的应力对应的应力AFNyIMzz 叠加：叠加：yIMAFzzN yz2022-8-317|zzNWMAF|zzNWMAF|zzNWMAF由于忽略了剪切应力，横截面上只有正应力，于是叠加由于忽略了剪切应力，横截面上只有正应力，于是叠加后，横截面上正应力分布规律只可能为以下三种情况：后，横截面上正应力分布规律只可能为以下三种情况：

11、中性轴中性轴(零应力线零应力线)发生平移危险点的位置很容易确发生平移危险点的位置很容易确定，在截面的最上缘或最下缘。定，在截面的最上缘或最下缘。由于危险点的应力状态为简单应力状态由于危险点的应力状态为简单应力状态(单向拉伸单向拉伸或单向压缩或单向压缩)，故：强度条件，故：强度条件 max 2022-8-318例例 8-2已知：已知：W = 8kN，AB为工字钢，材料为为工字钢，材料为Q235钢，钢， = 100MPa。求求: 工字钢型号工字钢型号。解：解： AB受力如图受力如图这是组合变形问这是组合变形问题题 压弯组合。压弯组合。NF40kNmkN12M0)(FAMkN42FkN,40 xFk

12、N8 .12yFyFxFFWABC作出作出AB杆的弯矩图和轴力图杆的弯矩图和轴力图W2022-8-319根据内力图：危险截面为根据内力图：危险截面为C 截面截面kNm,12CMkN40NFl 设计截面的一般步骤设计截面的一般步骤u 先根据先根据弯曲正应力弯曲正应力选择工字钢型号；选择工字钢型号；u 再按组合变形的再按组合变形的最大正应力最大正应力校核强度，必要校核强度，必要时选择大一号或大二号的工字钢；时选择大一号或大二号的工字钢；u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。若剪力较大时，还需校核剪切强度。2022-8-320maxcWMAFCNMPa5 .100可以使用可以使用l 本题不需要校核剪切

13、强度本题不需要校核剪切强度拉拉(压压)弯组合变形时，危险点的弯组合变形时，危险点的应力状态应力状态是是单向单向应力状态应力状态。l 按按弯曲正应力弯曲正应力选择工字钢型号选择工字钢型号WMC3cm120CMW 选选16号工字钢号工字钢,cm1413W即2cm13.26A2022-8-321 当直杆受到与杆的轴线平行当直杆受到与杆的轴线平行但不重合但不重合的拉力或的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。F1F2二、偏心拉伸与偏心压缩二、偏心拉伸与偏心压缩2022-8-322 以横截面

14、具有两对称轴的等直杆承受距离截面形以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为心为 e ( (称为偏心距称为偏心距) )的偏心拉力的偏心拉力F为例，来说明为例，来说明. . 将偏心拉力将偏心拉力 F 用用静力等静力等效力系效力系来代替。把来代替。把A A点处点处的拉力的拉力F向截面形心向截面形心O1 1点点简化，得到轴向拉力简化，得到轴向拉力F和和两个在纵对称面内的力两个在纵对称面内的力偶偶Meyey、Mezez。FezFeyFyMFzM, 因此，杆将因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面发生轴向拉伸和在两个纵对称面O1xy、O1xz内的纯弯曲。内的纯弯曲。 z1yOeFA(y ,z )FF

15、O1yzFFMeyzF=eMz=FyFOnnzy, yC( z)2022-8-323轴力轴力FN=F 引起的正应力引起的正应力AFFAN弯矩弯矩My=Mey 引起的正应力引起的正应力yFyyIzFzIzM弯矩弯矩Mz=Mez 引起的正应力引起的正应力zFzzIyFyIyM 按叠加法，得按叠加法，得C点的点的正应力正应力zFyFIyFyIzFzAFA为横截面面积；为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对分别为横截面对y轴、轴、z轴的轴的惯性矩。惯性矩。 在任一横截面在任一横截面n-n上任一点上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为处的正应力分别为2022-8-324利用惯性矩与惯性半径间的关系利用

16、惯性矩与惯性半径间的关系 22,zzyyiAIiAIC点的点的正应力表达式变为正应力表达式变为221zFyFiyyizzAF 取取 =0 ，以，以y0、z0代代表中性表中性轴上任一点的坐轴上任一点的坐标，标，则可得则可得中性轴方程中性轴方程010202yiyzizzFyFyOz中性轴2022-8-325 可见，在偏心拉伸可见，在偏心拉伸( (压缩压缩) )情况下，中性轴是一条情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。不通过截面形心的直线。 求出中性轴在求出中性轴在y、z两轴上的截距两轴上的截距 FyzFzyziayia22,对于对于周边无棱角的截面周边无棱角的截面，可作两条，可作两条与与中性轴

17、平行的直线中性轴平行的直线与横截面的周与横截面的周边相切，两边相切，两切点切点D1、D2，即为横截即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在面上最大拉应力和最大压应力所在的的危险点危险点。相应的应力即为最大拉。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。应力和最大压应力的值。 中性轴D (y ,z2 22 )2azayOzyD (y ,z )1112022-8-326 对于周边对于周边具有棱角的截面具有棱角的截面，其危险点必定在截面，其危险点必定在截面的的棱角处棱角处。如，矩形截面杆受偏心拉力。如，矩形截面杆受偏心拉力F作用时，作用时，若杆任一横截面上的内力分量为若杆任一横截面上的内力分量为FN=F

18、、 My=FzF， Mz=FzF，则与各内力分量相对应的正应力为：，则与各内力分量相对应的正应力为：按叠加法叠加得按叠加法叠加得OD2D1 AFyzyOzhbD1D2 FWzFyzyOD2D1 FyFWz中性轴yzOD1 t,maxD2c,max2022-8-327 可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的棱角棱角D1、D2处，其值为处，其值为zFyFWFyWFzAFmaxcmaxt危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为 cmaxc,tmaxt,2022-8-328补充例题补充例题 图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件

19、上、下图示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下表面的轴向正应变分别为表面的轴向正应变分别为a a1 110103 3、 b b 0.40.410103 3，材料的弹性模量，材料的弹性模量E E210GPa 210GPa 。(1).(1).试绘出横截面上试绘出横截面上的正应力分布图；的正应力分布图；(2).(2).求拉力求拉力F F及偏心距及偏心距的距离。的距离。abFF525aaEMPa210bbEMPa84MPa210MPa84WMAFNa26bhFbhFWMAFNb26bhFbhFbabhF2Fbhba122kN38.18mm786. 12022-8-329 当偏心拉（压）作用点位于当偏心

20、拉（压）作用点位于某一个区域某一个区域时，横时，横截面上只出现截面上只出现一种性质的应力一种性质的应力( (偏心拉伸时为拉应偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力力，偏心压缩时为压应力) )，这样一个，这样一个截面形心附截面形心附近的区域近的区域就称为截面核心。就称为截面核心。 对于砖、石或混凝土等材料（如对于砖、石或混凝土等材料（如桥墩桥墩），由于），由于它们的它们的抗拉强度较低抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压，在设计这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定截面核心是很有实际意义的。截面核心是很有实际意义的。 为此，应使

21、中性轴不与横截面相交。为此，应使中性轴不与横截面相交。2022-8-330作作一系列与一系列与截面周边相切的直线截面周边相切的直线作为中性轴，作为中性轴，由由每每一条中性轴在一条中性轴在 y、z 轴上的轴上的截距截距ay1、az1，即可求得，即可求得与其与其对应的偏心力作用点的坐标对应的偏心力作用点的坐标( (yF1,zF1)。有了一系。有了一系列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）前面前面偏心拉（压）偏心拉（压）计算的中性轴计算的中性轴截距表达式截距表达式FyzFzyziayia2121,121121zyFyzFaizaiyOzyaay1z12211

22、4433552022-8-331例例8-4 8-4 求矩形截面的截面核心求矩形截面的截面核心 边边长为长为h和和b的矩形截面，的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性两对称轴为截面的形心主惯性轴。轴。zyaha, 2/得得62/12/22hhhaiyyzF 若中性轴与若中性轴与AB 边重合，则中边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为兴轴在坐标轴上的截距分别为 012/22baiZzyFb66hCzybhBAD h66bOa13d4b12022-8-332例例8-5 8-5 求圆截面核心求圆截面核心 对于圆心对于圆心 O 是极对称的，截是极对称的，截面核心的边界对于圆心也应是面核心的边界对于

23、圆心也应是极对称的，即为一圆心为极对称的，即为一圆心为 O 的的圆。圆。 11, 2/zyada得得0,82/16/12121FyzFzdddaiy 作一条与圆截面周边相切于作一条与圆截面周边相切于A点的直线点的直线，将其看作为中性轴，将其看作为中性轴，并取并取OA为为y轴，于是，该中性轴轴，于是，该中性轴在在y、z两个形心主惯性轴上的截两个形心主惯性轴上的截距分别为距分别为dzyO8d8d1A12022-8-333 同理，分别将与同理，分别将与BC、CD和和DA边相切的直线边相切的直线、看作是中性轴，可求得对应的截面核心边界看作是中性轴，可求得对应的截面核心边界上点上点2、3、4的坐标依次为

24、的坐标依次为 0,6;6, 03322FFFFzhybzy6, 044bzyFF 当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其相邻边时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条其相邻边时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点连接点1、2的直线。的直线。 于是，将于是，将1 1、2 2、3 3、4 4四点中相邻的两点连以直线，四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中央的菱形，央的菱形， 2022-8-334ABAB段为等直实心圆截面杆段为等直实心圆截面杆, ,作受力简化作受力简化, ,作

25、作M、MxFABMe=Fa以圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题以圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题8-4 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合AFlBR_FlxM_FaMFR2022-8-335 F力使力使AB杆发生弯曲，外力偶矩杆发生弯曲，外力偶矩Me=FR使它发生使它发生扭转。扭转。 由弯矩、扭矩图知，由弯矩、扭矩图知，危险截面危险截面为固定端截面为固定端截面A危危险截面上与弯矩和扭矩对应的险截面上与弯矩和扭矩对应的正应力、切应力正应力、切应力为为A截面的上、下两个点截面的上、下两个点C1 1和和C2 2是是危险点危险点C1 1点的应力状态，取点的应力状态，取单元体单元体得得-二向应力状态二向

26、应力状态C12CCC34A1C2C3CC4C12022-8-336可用相应的强度理论对其校核，可用相应的强度理论对其校核，如第四强度理论，第三强度理论。在这种特定的平面如第四强度理论，第三强度理论。在这种特定的平面应力状态下，这两个强度理论的相当应力的表达式可应力状态下，这两个强度理论的相当应力的表达式可得得按应力状态分析的知识，按应力状态分析的知识， C1 1点三个主应力为点三个主应力为 2231421202 222132322214223133214rr2022-8-337注意到注意到 =M/W、 = Mx/Wp, 相当应力改写为相当应力改写为WMMWMWMxxr222p234WMMWMW

27、Mxxr222p2475. 03 上式同样适用于上式同样适用于空心圆截面杆空心圆截面杆，对其它的弯，对其它的弯扭组合，可同样采用上面的分析方法扭组合，可同样采用上面的分析方法。WW2p2022-8-338例例8-68-6 图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C C 上作用上作用有铅垂切向力有铅垂切向力5kN5kN，径向力，径向力1.82kN1.82kN；齿轮；齿轮 D D 上作用有上作用有水平切向力水平切向力10kN10kN，径向力，径向力3.64kN3.64kN。齿轮。齿轮 C C 的节圆直径的节圆直径d dC C=400mm=400mm，齿轮，齿轮D D的节圆直径

28、的节圆直径d dD D=200mm=200mm。设许用应力。设许用应力 =100MPa=100MPa，试按第四强度理论求轴的直径。，试按第四强度理论求轴的直径。 解解：将每个齿轮上的：将每个齿轮上的切向外力向该轴的切向外力向该轴的截截面形心简化。面形心简化。ABxyzCD5kN1.82kN10kN3.64kN300300100AB1.82kNC5kN1kN.mD10kN3.64kN1kN.m2022-8-339 作出轴在作出轴在xy、xz两纵对两纵对称平面内的两个弯矩图以称平面内的两个弯矩图以及扭矩图及扭矩图 对于圆截面杆，通过对于圆截面杆，通过圆轴轴线的任一平面都是圆轴轴线的任一平面都是纵向

29、对称平面，可将纵向对称平面，可将My、Mz按矢量和求得总弯矩。按矢量和求得总弯矩。 并用总弯矩来计算该横并用总弯矩来计算该横截面上的正应力。截面上的正应力。 横截面横截面B上的总弯矩最上的总弯矩最大。再考虑扭矩图，得大。再考虑扭矩图，得B截面是截面是危险截面危险截面. . 1kN.m0.227kN.mM图z0.568kN.m0.364kN.mM图y_T图1kN.mBxyzMyBzBMMzByBMMBByz2022-8-340mN1064)mN1000()mN364(2222zByBBMMM 按按本节本节等直实心圆截面杆在弯扭组合下的强度条件等直实心圆截面杆在弯扭组合下的强度条件mN1000 xBMmN137275. 0224WWMMxr323dW 解得解得51.9mm0519. 0)Pa10(100mN13723236d2022-8-341拉伸（压缩）弯曲斜弯曲弯曲扭转拉伸（压缩）曲弯扭转NFMyMzMMxM复杂应力状态单向应力状态强度理论强度条件 max r