概率论§2.4-随机变量函数的分布ppt课件.ppt

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1、12.4 2.4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在实际应用中，人们常常对随机变量的在实际应用中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣。函数更感兴趣。24d 求截面面积求截面面积 A = 的分布的分布例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，2方法：方法：将与将与Y 有关的事件转化成有关的事件转化成 X 的事件的事件问题：问题：设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) ( (设设g是连续函数），如何由是连续函数），如何由X 的分布的分布求出求出Y 的分布？的分布？3求求: : (1) Y=3X+2的分布律的分布律 (2) Y=(X 1)2的分布律

2、的分布律 例例1 1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为 X 1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布 4解解: :(1) X分别取值分别取值 1, 0, 1, 2时时 Y相应的取值互不相同相应的取值互不相同: : 1, 2, 5, 8 故故 P(Y= 1) =P(X=-1)=0.2P(Y=2)=P(X=0)=0.3P(Y=5)=P(X=1)=0.1P(Y=8)=P(X=2)=0.4即即Y的分布律为的分布律为: :Y 1 2 5 8 P 0.2 0.3 0.1 0.4 5(2) Y的所有取值的所有取值: : 0,

3、1, 4 P(Y=0)=P(X=1)=0.1P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.3+0.4=0.7P(Y=4)=P(X= 1)=0.2即即 Y的分布律为的分布律为: :Y 0 1 4 P0.1 0.7 0.26 一般一般, ,设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布的分布律为律为: : P(X=xk)=pk (k=1,2,) 令令 Y=g(X) 是一元单值实函数是一元单值实函数, ,则则Y 也是也是一个离散型随机变量一个离散型随机变量: : kiyxgikpyYP)()(离散型随机变量函数分布一般求法离散型随机变量函数分布一般求法7即即 Y= g(X )1212()()()kkg x

4、g xg xppp 如果如果 g(xk) 中有一些是相同的，那么把这中有一些是相同的，那么把这些相同的项合并（看作是一项），并把相应的些相同的项合并（看作是一项），并把相应的概率相加，即可得随机变量概率相加，即可得随机变量 Y =g(X) 的分布律。的分布律。8连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 已知已知 随机变量随机变量 X 的密度函数的密度函数 f(x) ( (或分布函数或分布函数) )求求 Y= g( X )的密度函数或分布函数。的密度函数或分布函数。方法：方法：I I 从分布函数出发从分布函数出发( (分布函数求导法分布函数求导法) ) II II 从密度函数出发从密度函

5、数出发( (用公式用公式) )Yg XI-先求的分布函数Yg XYg XI-利用的分布函数与密度函数之间的关系求的密度函数 YFyP YyP g Xy( )( )Xg xyfx dx9例例2 2 设设 XN(0,1), 试求试求 Y=eX 的概率密度的概率密度 解解: :(1) y0 , ,得得: :FY(y)=P(Yy)=P(aX+by)()(abyXPyFY dxxfabyX )(abtx dtaabtfyFyXY 1)()()(1)(abyfayfXY 12(2) a0 令令 即即 )()(abyXPyFY dxxfabyX )(abtx dtaabtfyFyXY 1)()(dtaabt

6、fyX 1)()(1)(abyfayfXY )(|1)(abyfayfXY 13应用应用：设：设X N ( , 2)，Y = a X +b, , 则则11( )()|YXfyfybaa222()212|y b aaea yY N (a +b, a2 2 )特别地，若特别地，若X N( , 2)(0,1)XYN 则有则有14方法方法II （用公式）（用公式）定理定理 设设X 是一个是一个连续型连续型随机变量，其概率密随机变量，其概率密度为度为fX(x). .若若y=g(x)为一严格单调函数为一严格单调函数，其反函，其反函数数 x=h(y) 有连续导数，则有连续导数，则Y=g(X )也是一个也是一

7、个连连续型续型随机变量，且概率密度为随机变量，且概率密度为 其它其它 , 0 |,)(|)()( yyhyhfyfXY其中其中 =ming( ), g(+ ) , =maxg( ), g(+ ) 15其反函数为其反函数为x= h(y) = lny . 注：注：当当 fX(x) 在有限区间在有限区间a, b之外取值为零时之外取值为零时, ,只只需假设在需假设在a, b上上 g(x) 严格单调可导严格单调可导, ,则上述定则上述定理同样成立理同样成立, ,此时此时 = ming(a), g(b) = maxg(a), g(b) 另解例另解例2 2: :y = g(x) = ex 严格单调增且可导严

8、格单调增且可导, ,2221)(xXexf 16则则 即即 0 , 00 |,)(|)()(yyyhyhfyfXY 0 , 00 |,1|212)(ln2yyyey 0 , 00 ,21)(2)(ln2yyeyyfyY 17解解I I：设设Y 的分布函数为的分布函数为 FY(y)例例4 4设设 X /8,04( )0,Xxxfx 其其它它求求 Y = 2X +8 的概率密度的概率密度. .FY(y)=P Yy = P (2X +8 y )=P X = FX ( )28y82y 于是于是Y 的密度函数的密度函数()81()()22YYXdFyyfyfdy 18所以可得所以可得8,816( )32

9、0,Yyyfy 其其它它注意到注意到 0 x 4 时，时， ()0Xfx 即即 8 y 0 FY(y)=P(Yy)=P(X2y)FY (y)=P(X2y)=0fY (y)=0)()(yXyPyFY dxeyyx 2221 21即即 )(21)(21)(22 yeyeyfyyY 221yey 0 , 00 ,21)(2yyeyyfyY 22解解II:II: y =x2 在在( (,0,0上严格单调减上严格单调减 在在(0,+(0,+ ) )上严格单调增上严格单调增 反函数反函数 反函数反函数 ( ( ,+,+ )=()=( ,0,0(0,+(0,+ ) ) x (,0时时, ,x (0,+ )时

10、时, ,1( )h yy 11( )()2hyyy 2( )hyy 21( )()2hyyy 23得得: : fY (y) 0 , 00 ,21)(21)(yyyyfyyfXX 0 , 00 ,212yyeyy 24定理定理 若若g(x)在不相重叠的区间在不相重叠的区间I I1 1, ,I I2 2, ,上逐段上逐段严格单调，其反函数分别为严格单调，其反函数分别为h1(y),h2(y),均为均为连续函数，那么连续函数，那么Y=g(X )是连续型随机变量，是连续型随机变量，其概率密度为其概率密度为: : fY(y) = fXh1(y) |h1 (y)| + fXh2(y) |h2 (y)| +

11、推广形式推广形式25小小 结结1 1 引进了引进了随机变量的概念随机变量的概念，要会用随机变量，要会用随机变量表示随机事件。表示随机事件。2 2 给出了给出了分布函数分布函数的定义及性质，要会利用的定义及性质，要会利用分布函数求事件的概率。分布函数求事件的概率。3 3 给出了给出了离散型随机变量离散型随机变量及其分布律的定义、性及其分布律的定义、性质，要会求离散型随机变量的分布律及分布函数，质，要会求离散型随机变量的分布律及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：掌握常用的离散型随机变量分布：(0-1)(0-1)分布、分布、二项分布、泊松分布、几何分布二项分布、泊松分布、几何分布。4 4 给出了给出了连续型随机变量连续型随机变量及概率密度的定义、及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间的关性质，要掌握概率密度与分布函数之间的关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：布：均匀分布、指数分布和正态分布均匀分布、指数分布和正态分布。5 5 会求随机变量的简单函数的分布。会求随机变量的简单函数的分布。