数理方程-特殊函数ppt课件.ppt

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1、1 数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数2 本章主要介绍利用格林函数法求解拉普拉斯方程与泊本章主要介绍利用格林函数法求解拉普拉斯方程与泊松方程的狄氏问题。松方程的狄氏问题。主要内容主要内容第六章第六章 格林函数法格林函数法(一一)、格林公式及调和函数性质、格林公式及调和函数性质(二二)、泊松方程狄氏问题格林函数法、泊松方程狄氏问题格林函数法(三三)、几种特殊区域上狄氏问题格林函数、几种特殊区域上狄氏问题格林函数(四四)、三类典型方程的基本解问题、三类典型方程的基本解问题授课时数：授课时数：10学时学时3本次课主要内容本次课主要内容(一一)、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题、拉普拉斯方程与泊松

2、方程三类边值问题(二二)、三个格林公式、三个格林公式格林公式及调和函数性质格林公式及调和函数性质(三三)、调和函数的概念与性质、调和函数的概念与性质4Laplace方程方程 :0,( , , )( , , ),(xxyyzzSSuuuux y zVux y z 连续）Poisson方程方程 :1、Dirichlet问题（第一类边值问题）问题（第一类边值问题） (一一)、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题、拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题( , , ),( , , )( , , ),(xxyyzzSSuuuuf x y zx y zVux y z 连续）5Laplace方程方程 :0,( ,

3、)( , ),(xxyyzzSSuuuux y zVux y zn连续）Poisson方程方程 :( , , ),( , , )( , , ),(xxyyzzSSuuuuf x y zx y zVux y zn 连续）2、Neumann问题（第二类边值问题）问题（第二类边值问题）6Lap lace方程方程 :0,( , )( , ),( , ),(xxyyzzSSSuuuux y zVux y zux y zn连续）连续）Poisson方程方程 :3、Robin问题（第三类边值问题）问题（第三类边值问题）( , ),( , )( , ),( , ),(xxyyzzSSSuuuufx y zx

4、y zVux y zux y zn连续）连续）7cos,cos,cos,VSPQRdVPn xQn yRn zdSxyz 借助于三个格林借助于三个格林公式，可以得到拉氏方程与泊松方程公式，可以得到拉氏方程与泊松方程洛平问题与狄氏问题解的积分表达式。三个格林公式可洛平问题与狄氏问题解的积分表达式。三个格林公式可以借助于高斯公式导出。以借助于高斯公式导出。(二二)、三个格林公式、三个格林公式高斯公式：高斯公式： 设空间区域设空间区域V是由分片光滑的闭曲面是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数所围成，函数P,Q,R在在V上具有一阶连续偏导数，上具有一阶连续偏导数，S的方向取外侧，则：的方向取外侧，则：

5、或或VSPQRdVPdydzQdzdxRdxdyxyz8 设设u (x, y, z), V (x, y, z)在在SSV上有一阶连续偏导数，它上有一阶连续偏导数，它们在们在V中有二阶偏导，则：中有二阶偏导，则：SVVu v dSuvdVu vdV 1、第一格林公式、第一格林公式证明：证明：0SSu v dSu v n dS coscoscosSvvvudSxyz9Svvvudydzudzdxudxdyxyz由高斯公式：由高斯公式：SvvvudydzudzdxudxdyxyzVvvvuuudVxxyyzzVVuvdVu vdV 10 设设u(x,y,z),V(x,y,z)在在SSV上有一阶连续偏

6、导数，它们在上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则：中有二阶偏导，则：SVu vv udSu vv u dV 2、第二格林公式、第二格林公式证明：由第一格林公式得：证明：由第一格林公式得：(1)SVVu v dSuvdVu vdV (2)SVVv u dSuvdVv udV 用用(1)-(2)得第二格林公式。得第二格林公式。11 设设M0是是V内一点，内一点，M是是V中的动点，中的动点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MMMMMMSVuu MudSudVrnnrr3、第三格林公式、第三格林公式M0

7、MSVxyz12证明：证明：球面：球面： S球心：球心：0M0011()()M MM MVKu Mu MdVrr半径：半径：由高斯公式可得：由高斯公式可得：0011()()MMMMS Su Mu MdSn rrn通过直接计算得：通过直接计算得：010M MrM0MSVxyz1311SSudSudSnrrr 002144SudSuu M 01()M MVKu MdVrSS 又因球面方向指向内侧，与又因球面方向指向内侧，与r方向正好相反，所以：方向正好相反，所以：21SudSr又由于：又由于：110(0)SSuudSdSrnr1401114()VSuu dVudSu Mrn rrn 011111(

8、)44SVuu MudSu dVrnn rr所以，当所以，当0 0时，得到时，得到：于是得到第三格林公式于是得到第三格林公式：4、泊松方程洛平问题解的积分表达式、泊松方程洛平问题解的积分表达式定理定理1 1：泊松方程洛平问题：泊松方程洛平问题15的解为：的解为：(,), (,)(,), (,), (xxyyzzSSSuuuufxyzxyzVuxyzuxyzn 连 续 ）连 续 ）011111()()()()44SVu MMMdSf MdVrnrr其中，其中，n n为曲面为曲面S S的外法线。的外法线。16推论推论1 1：拉氏方程洛平问题：拉氏方程洛平问题0, (,)(,), (,), (xxy

9、yzzSSSuuuuxyzVuxyzuxyzn 连 续 ）连 续 ）0111()()()4Su MMMdSrnr的解为：的解为：n为曲面为曲面S的外法线。的外法线。171、定义：如果函数、定义：如果函数u(x,y,z)满足满足:(1) 在在 上具有二阶上具有二阶连续偏导数；连续偏导数；(2) (三三)、调和函数的概念与性质、调和函数的概念与性质VS0u称称u为为V上的调和函数。上的调和函数。2、调和函数的性质。、调和函数的性质。性质性质1 设设 u(x,y,z) 是区域是区域 V 上的调和函数，则有上的调和函数，则有 0Sud Sn证明：第二证明：第二Green公式公式 :SVvuuvdSuv

10、v u dVnn 181v取取 0, ( )0,0vuvn 则：则： 所以所以 :0Sud Sn推论推论1：拉氏牛曼问题：拉氏牛曼问题0 xxyyzzSuuuuun 有解的必要条件是：有解的必要条件是：0SdS19证明：若定解问题有解，因证明：若定解问题有解，因u为为V上调和函数，由性质上调和函数，由性质1，0SSudSdSn性质性质2 设设u(x,y,z) 是区域是区域V上的调和函数，则有上的调和函数，则有 :0111()4Suu MudSrnn r证明：由第三格林公式，注意到证明：由第三格林公式，注意到u是调和函数，即得：是调和函数，即得：0111()4Suu MudSrnn r20性质性

11、质3 : (平均值定理平均值定理) 设设u (x, y, z)是区域是区域V 上的调和函数，上的调和函数，M0是是V中任意一点，中任意一点，SR是以是以M0为心，为心，R为半径的球面，且该球完为半径的球面，且该球完全落在全落在V的内部，则有：的内部，则有：021()()4RSu Mu M dSRM0SRVxyz21证明证明:把性质把性质2和性质和性质1用到用到vR上有：上有：0111()4RSuu MudSrnnr111144RRSSudSudSrnnr 22111444RRRSSSudSudSudSRnRRM0SRVxyz22性质性质4(极值原理极值原理) 设设u(x,y,z)是有界闭区域是

12、有界闭区域 V内的调和函数，内的调和函数， 在在V上连续上连续, 且且u ( M )常数，常数，则则 u(M)的最大值和最小值只能的最大值和最小值只能在边界面在边界面S上取得。上取得。 证明：若不然，设证明：若不然，设u在在V内某点内某点M1取得最大值。我们可以取得最大值。我们可以推出在推出在V上，上， u ( M )=常数，从而产生矛盾。常数，从而产生矛盾。 首先：以首先：以M1为心，为心，R为半径在为半径在V内作球内作球VR，其球面设为，其球面设为SR.M1SRVxyz23可以证明：在可以证明：在SR上，有上，有u(M)=u(M1) 若不然，设球面上有点若不然，设球面上有点M，使得，使得u

13、(M)u(M1),则由则由连续函数保号性，存在连续函数保号性，存在M的一个邻域，使得在该邻域内的一个邻域，使得在该邻域内有有u(M)u(M1),于是：于是：112211()()()44RRSSu M dSu M dSu MRR 但是，由平均值定理：但是，由平均值定理：121()()4RSu M dSu MR 于是，产生矛盾！于是，产生矛盾！ 于是，对于以于是，对于以M1为心，在任意的为心，在任意的rR为半径的球面为半径的球面上有上有u(M)=u(M1)24 所以，我们得到：在所以，我们得到：在VR上有上有u(M)=u(M1) 其次，可以证明：在其次，可以证明：在V上任何一点上任何一点T，有，有

14、u(M)=u(M1)。 先用折线把先用折线把M1和和T连接起来，并设整个折线与连接起来，并设整个折线与V的边界的边界的最短距离为的最短距离为d.VM1T 以以M1为心为心,小于小于d的任意数为半径作球的任意数为半径作球K1。设该球与折。设该球与折线相交于线相交于M2，则：，则：u(M1)=u(M2)；25 又以又以M2为心为心,小于小于d的任意数为半径作球的任意数为半径作球K2。设该球与。设该球与折线相交于折线相交于M3，则：，则：u(M3)=u(M1)；VM1T 如此推下去，得到球如此推下去，得到球Kn，使得它包含点使得它包含点T,且有：且有：u(T)=u(M1)； 这样，我们推出了这样，我

15、们推出了u(M)在在V上为常数。与条件矛盾！上为常数。与条件矛盾！26由调和函数极值原理，可以推出如下几个结论：由调和函数极值原理，可以推出如下几个结论： 推论推论1 设设u为有界闭区域为有界闭区域V 内的调和函数，在闭区域内的调和函数，在闭区域V 上连续，如果还在边界面上连续，如果还在边界面S上为常数上为常数K，则它在内各点则它在内各点 的值也等于常数的值也等于常数K。证明：由极值原理：证明：由极值原理：u在在V上的最大值最小值都只能上的最大值最小值都只能在在S上取得，所以：上取得，所以：u|V=k.27 推论推论2 设设u是在有界区域是在有界区域 V上的调和函数，且在闭区上的调和函数，且在

16、闭区域域 V上连续，如果还在边界面上连续，如果还在边界面S上恒为零，则它在内上恒为零，则它在内各点处的值都等于零。各点处的值都等于零。证明：由推论证明：由推论1即得证明。即得证明。推论推论3 设在有界区域设在有界区域V内的两个调和函数，在闭区域内的两个调和函数，在闭区域V 上连续，如果它们还在区域的边界面上连续，如果它们还在区域的边界面S上取相等的值，上取相等的值，则它们在则它们在V内所取的值也彼此相等。内所取的值也彼此相等。 证明：设两个函数分别为证明：设两个函数分别为u(x,y,z)与与v(x,y,z).作函数：作函数：( , )( , )( , )F x y zu x y zv x y

17、z28则则F(x,y,z)在边界在边界S上取值为上取值为0。由推论。由推论2即可得结论。即可得结论。应用举例应用举例例例1 求定解问题：求定解问题：0,( , )1,0SSux y zVuun解：这是拉普拉斯方程洛平问题。由调和函数极值原理，解：这是拉普拉斯方程洛平问题。由调和函数极值原理，在在V上上u=1,同时，当同时，当u=1时，显然满足定解问题。所以定解时，显然满足定解问题。所以定解问题解应为问题解应为u=1。29例例2 求定解问题：求定解问题：( , ),( , )( , ),0SSux y zx y zVuux y zn 解：这是泊松方程洛平问题，其解为：解：这是泊松方程洛平问题，其

18、解为：011111()()()()44SVu MMMdSf MdVrnrr1111()()44SVMdSMdVnrr 30例例3 求定解问题：求定解问题：22222224,()xyauxyaua 解：这是泊松方程狄氏问题。解：这是泊松方程狄氏问题。采用特解法先把泊松方程化为拉普拉斯方程。采用特解法先把泊松方程化为拉普拉斯方程。容易知道，该泊松方程的一个特解为：容易知道，该泊松方程的一个特解为：22( , )()W x yxy 于是令：于是令：( , )( , )( , )u x yV x yW x y31得到：得到：2( , )V x ya由极值原理：由极值原理：222( , )( , )(

19、, )()u x yV x yW x yaxy22222220,()xyaVxyaVa所以，原定解问题的解为：所以，原定解问题的解为：32例例4 求证：求证：212( ),(2)nCf rCnr是是n维调和函数。其中：维调和函数。其中：2221212( ,)( ),nnu x xxf r rxxxC1,C2是常数。是常数。121( )ln,(2)f rCCnr证明：证明：(1) n=2时时1112( )xxxufr rr 1 1212412x xxurr 33同理：同理：2 2222412x xxurr 所以：所以：0u (2) n2时时.2(2)( )iiixxnC nxufr rr 222

20、2(2)(2),(1)i iix xnnC n nxC nuinrr 所以：所以：10i inx xiu0u 34Thank You !35性质性质4(极值原理极值原理) 设设u(x,y,z)是有界闭区域是有界闭区域 V内的调和函数，内的调和函数， 在在V上连续上连续, 且且u ( M )常数，常数，则则 u(M)的最大值和最小值只能的最大值和最小值只能在边界面在边界面S上取得。上取得。 证法二：若不然，设证法二：若不然，设u在在V内内P0(x0,y0,z0)取得最大值为取得最大值为M0，而而u在在S上的最大值为上的最大值为M*,则：则：M*0,于是得到：于是得到：则在则在S上有：上有：又因为又因为v(x0,y0,z0)=M0,说明说明v(x,y,z)必在必在V内取最大值。内取最大值。0,0,0 xxyyzzvvv370202*2*02xxyyzzxxyyzzMMvvvuuuRMMR这就产生矛盾！这就产生矛盾！ 但另一方面：由但另一方面：由v(x,y,z)的定义可以算出：的定义可以算出：