数值传热学第五章-数值计算ppt课件.ppt

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1、yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学1 /70 ThermalThermal第五章第五章 对流与扩散对流与扩散 主要内容：主要内容： 5.1 任务任务 5.2 一维稳态对流与扩散一维稳态对流与扩散 5.3 二维问题的离散化方程二维问题的离散化方程 5.4 三维问题的离散化方程三维问题的离散化方程 5.5 单向空间坐标单向空间坐标 5.6 假扩散假扩散yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学2 /70 ThermalThermal5.1 任任 务务1、上章内容总结、上章内容总结 在通用微分方程中忽略了对流项，给出了非稳态项、在通用微分方程中忽略了对流项，给出了非稳态项、扩

2、散项及源项的离散化方法，阐述了求解代数方程扩散项及源项的离散化方法，阐述了求解代数方程组的方法。组的方法。只要对流项的加入不改变离散化方程的只要对流项的加入不改变离散化方程的形式，方程组的求解方法仍然适用。形式，方程组的求解方法仍然适用。 2、本章任务、本章任务 在在已知流场已知流场（V分量及分量及）的情况下，求）的情况下，求解解 分布。分布。对流项与扩散项之间有不可分割的关系，因此需要对流项与扩散项之间有不可分割的关系，因此需要把这两项处理成一个单位，其它项可以作为陪衬把这两项处理成一个单位，其它项可以作为陪衬.yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学3 /70 ThermalTh

3、ermal3、通用方程的改写形式、通用方程的改写形式 获得流场的方法获得流场的方法：可以得知于实验；也可以由一个解：可以得知于实验；也可以由一个解析解给定；或通过流动的数值计算获得；或干脆由猜析解给定；或通过流动的数值计算获得；或干脆由猜测估计得知。测估计得知。 “扩散扩散”的广义解释：的广义解释：不仅限于表示由浓度梯度引起不仅限于表示由浓度梯度引起的一种化学组分的扩散，由的一种化学组分的扩散，由 的梯度引起的扩散流是的梯度引起的扩散流是 ，即方程中的，即方程中的 二阶导数项为扩散项。二阶导数项为扩散项。xxx()jjjjuSxxxjjjjjjxuxuux)(yyyy-M-d太太 原原 理理

4、工工 大大 学学4 /70 ThermalThermaljjjjjjxuxuux)(两式相加得两式相加得jjjjjjjj( u )uuxxxux原通用方程可改写为原通用方程可改写为Sxxxujjjj)(对于已知的对于已知的、uj、及及S（常量常量）的分布，任何解）的分布，任何解 及及 +c 将同时满足方程，故系数和的法则仍然适用。将同时满足方程，故系数和的法则仍然适用。yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学5 /70 ThermalThermal5.2 一维稳态对流与扩散一维稳态对流与扩散讨论只有对流项和扩散项存在时的一维稳态问题，控讨论只有对流项和扩散项存在时的一维稳态问题，控制

5、方程为：制方程为：ddd()ddduxxx 连续方程：连续方程：d0duxconstu任务：导出相应方程的离散化形式任务：导出相应方程的离散化形式()jjjjuSxxxyyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学6 /70 ThermalThermal5.2-1 预备性的推导预备性的推导 （中心差分格式）（中心差分格式）选三点网格群见右图。控制选三点网格群见右图。控制容积界面容积界面e、w的实际位置的实际位置不会影响最终的公式。在此不会影响最终的公式。在此1、离散化方程的导出、离散化方程的导出 设定其位于节点中间，这样还是比较方便的。设定其位于节点中间，这样还是比较方便的。在控制容积内对

6、微分方程积分在控制容积内对微分方程积分ddddewewuuxx 对流项及扩散项中的对流项及扩散项中的 均采用分段线性的函数表示均采用分段线性的函数表示WwPeEx x( x)w( x)ePdddddduxxx yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学7 /70 ThermalThermalPEe21PW21w(e、w位于节点中间位于节点中间)对于不同的界面位置，则需要采用其它的内插因子。对于不同的界面位置，则需要采用其它的内插因子。式式 wWPwePEePWwPEexxuu2121e、w可以用算术平均法或调和平均法求得。可以用算术平均法或调和平均法求得。、可可负负，由由流流动动方方向

7、向定定对对流流或或流流动动强强度度，可可正正uF.扩散传导性扩散传导性xD整理后的离散化方程整理后的离散化方程WWEEPpaaa其中：其中：2eeEFDa2wwWFDa定义：定义：可写成可写成ddddewewuuxx yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学8 /70 ThermalThermal由于连续性，由于连续性，Fe=Fw， （只是在流（只是在流场满足连续性条件时才具有这一性质）；场满足连续性条件时才具有这一性质）；方程方程 隐含着隐含着 分段线性分布的含分段线性分布的含义，也是熟知的中心差分格式（用左右节点值表示义，也是熟知的中心差分格式（用左右节点值表示界面上的值以及界面

8、上的导数值）；界面上的值以及界面上的导数值）；方程必须遵守四项基本法则，否则会产生灾难性的方程必须遵守四项基本法则，否则会产生灾难性的结果。结果。 weEWeewwPFFaaFDFDa222、对方程的几点说明、对方程的几点说明EWPaaaWWEEPPaaayyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学9 /70 ThermalThermal例如：例如：41weweFFDD，设设若若 E、 W给定，即可由离散方程求得给定，即可由离散方程求得 P 。50100,200PWE若若250200,100PWE若若两个值均不两个值均不符合实际符合实际违违背背了了正正系系数数规规则则1212eeEFDa

9、3212wwWFDa431, 231nbWEPaaaa而而主对角占优）主对角占优）违反了斯卡巴勒准则（违反了斯卡巴勒准则（这样，这样，,nbPaa产生不切实际的结果产生不切实际的结果为负为负或或时，有可能使时，有可能使即，即，WEaaDF2yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学10 /70 ThermalThermal0Pa扩散项为零（扩散项为零（=0），中心差分格式导致），中心差分格式导致 于是方程于是方程 不适用于逐点迭代法求解不适用于逐点迭代法求解了，也不适用于采用其它的了，也不适用于采用其它的迭代解法迭代解法了。了。 nbnbPPTaTa这就是中心差分格式求解对流换热问题时

10、仅限于低这就是中心差分格式求解对流换热问题时仅限于低Re(低的低的F/D)的原因的原因.2eeEFDa2wwWFDaweEWeewwPFFaaFDFDa22PnbnbPaTaTweEWeewwPFFaaFDFDa22yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学11 /70 ThermalThermal为解决中心差分在为解决中心差分在 之后产生解失去物理上之后产生解失去物理上真实性的问题，提出了上风方案。真实性的问题，提出了上风方案。以后介绍的格式，除特殊说明，扩散项均采用中心以后介绍的格式，除特殊说明，扩散项均采用中心差分格式离散。因此差分格式离散。因此离散格式的不同是指对流项离离散格式

11、的不同是指对流项离散方法的不同。散方法的不同。上风方案充分考虑了上风方案充分考虑了流动方向流动方向对导数差分计算式及对导数差分计算式及界面上函数取值方法的影响。界面上函数取值方法的影响。5.2-2 上风方案上风方案DF2yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学12 /70 ThermalThermal1、上（迎）风格式两种离散方式的定义、上（迎）风格式两种离散方式的定义. 泰勒级数展开法定义（泰勒级数展开法定义（第第一类一类迎风格式）迎风格式）WPEi-1i+1i0iu0iu(a)WwPeEi+1ii-10iu0iu一阶上（迎）风的构造方式一阶上（迎）风的构造方式 以流动方向而言，以

12、流动方向而言，P 点的点的一阶导数是一阶导数是该方向的向后差该方向的向后差分分，即永远是，即永远是从上游获得从上游获得构构造一阶导数的造一阶导数的信息信息，公式表，公式表示：示：1d0diiiiwuxx1d0diiiieuxx(b)yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学13 /70 ThermalThermal 控制容积积分法定义（控制容积积分法定义（第第二类二类迎风格式）迎风格式）控制容积控制容积界面上界面上 值的规定：值的规定：界面上的界面上的 值等于界面上风侧值等于界面上风侧网格节点上的网格节点上的 值。值。WwPeEi+1ii-10iu0iu00eEeePeFF类似地，类似

13、地，w界面上界面上00wPwwWwFF上述条件语句紧凑格式的写法：上述条件语句紧凑格式的写法：0 ,0 ,eEePeeFFFBABA中的大者，则：、代表定义0 ,0 ,wPwWwwFFFyyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学14 /70 ThermalThermal2、离散化方程、离散化方程WWEEPpaaaddddewewuuxx PweWwEeWPwPEewweeDDDDDDFF采用一阶上风方案采用一阶上风方案00，eEePeeFFF00，wPwWwwFFF代入上式整理得代入上式整理得0000，wwWeeEwweePFDFDFDFDdddddduxxx yyyy-M-d太太 原

14、原 理理 工工 大大 学学15 /70 ThermalThermal0，eeEFDa0，wwWFDa式中：式中：00000000PeewweeeewwwwEWewaDFDFDFFFDFFFaaFF ，WWEEPpaaaweWEPFFaaa即：即：yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学16 /70 ThermalThermal 此类格式的离散化方程不会产生负系数（因格式须此类格式的离散化方程不会产生负系数（因格式须满足连续方程满足连续方程 Fe=Fw ，故，故aP0）, 解总是在物理上解总是在物理上真实的解，同时斯卡巴勒准则也将得到满足；真实的解，同时斯卡巴勒准则也将得到满足； 在对

15、流项中心差分的数值解不会出现振荡的参数范在对流项中心差分的数值解不会出现振荡的参数范围内，在相同的网格节点数下，采用围内，在相同的网格节点数下，采用中心差分的计中心差分的计算结果比采用上风方案的结果更精确；算结果比采用上风方案的结果更精确； 为构造更为优良的离散格式，应当在迎风方向获取为构造更为优良的离散格式，应当在迎风方向获取比背风方向更多的信息，以较好地反映对流过程的比背风方向更多的信息，以较好地反映对流过程的物理本质；物理本质； 一阶上风格式由于其绝对稳定的特性，使其在过去一阶上风格式由于其绝对稳定的特性，使其在过去半个世纪中得到广泛的应用，至今仍有其应用价值半个世纪中得到广泛的应用，至

16、今仍有其应用价值3 3、几点说明、几点说明yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学17 /70 ThermalThermal5.2-3 精精 确确 解解1 1、方程的精确解、方程的精确解控制方程控制方程连续方程连续方程d0duxconstu令：令：const上述方程上述方程22dddduxx由边界条件确定、2121cceccxuLLxx000201exp()1exp()exp()1LLcPePecPeuLPe式中：dddddduxxx yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学18 /70 ThermalThermalLxPePePePeLLexp1)exp(1)exp()e

17、xp(00方程的解为方程的解为整理得整理得:1)exp(1exp00PeLxPeL比对流强度与扩散强度之DFLuuLPeyyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学19 /70 ThermalThermal2、精确解随、精确解随x 及及Pe 变化关系讨论变化关系讨论Pe10LxL-Pe1Pe=0Pe=11Pe0不同不同Pe下下 随随x 变化的关系曲线变化的关系曲线 当当Pe=0时，时， 与与x 呈线性关系，呈线性关系，成为常物性的纯扩散问题。成为常物性的纯扩散问题。00exp10exp10expexpLPe x L( Pe)Pe x Lx Lx( Pe)L线性关系线性关系LxL00yyy

18、y-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学20 /70 ThermalThermal当当Pe到中等数值（小于到中等数值（小于5），整个求解区域内曲线），整个求解区域内曲线的变化仍是平稳的；当的变化仍是平稳的；当Pe继续增大（如大于继续增大（如大于10），），精确解越来越呈现出精确解越来越呈现出边界层类型的特性边界层类型的特性。在。在x=0到到x=L的大部分范围内，上游的的大部分范围内，上游的 0占了优势，仅在靠近占了优势，仅在靠近x=L的薄层内上升到的薄层内上升到 L。这时，。这时，对流的作用就把上游对流的作用就把上游的信息一直带到下游。的信息一直带到下游。Pe2,扩散作用消扩散作用消失；失

19、；E点在点在P点下游，点下游，对流不起作用对流不起作用0Ea对流与扩散影响均按中对流与扩散影响均按中心差分处理心差分处理Pe-2,扩散作用消扩散作用消失；失；E点在点在P点上游，点上游，对流起作用对流起作用eEFa2eeEFDa2、差分格式的特征、差分格式的特征-2Pe2, 混合方案同中心差分格式；在该范围之外，混合方案同中心差分格式；在该范围之外，简化为上风格式。所谓简化为上风格式。所谓“混合混合”是指是指中心差分格式中心差分格式与上风格式的组合。与上风格式的组合。yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学28 /70 ThermalThermal3、离散化方程、离散化方程WWEEP

20、paaa0 , 2,eeeEFDFa0 , 2,wwwWFDFa式中式中weWEPFFaaa对界面位于节点间任意位置的情况均适用对界面位于节点间任意位置的情况均适用yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学29 /70 ThermalThermal5.2-6 幂函数方案幂函数方案eEDaPeDaeEPe121PeDaeE0eEDa2-2当当Pe=2时，混合方案偏时，混合方案偏离准确曲线距离较大，表离准确曲线距离较大，表示在示在Pe数绝对值刚超过数绝对值刚超过2就马上把扩散效应置为就马上把扩散效应置为0的做法有些早了。本节给的做法有些早了。本节给出的出的幂函数方案是一个对幂函数方案是一个

21、对准确曲线的更好近似。准确曲线的更好近似。yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学30 /70 ThermalThermaleEDa100101 . 011001 . 0110055PePePePePePePePe1、格式系数的构成、格式系数的构成系数的紧凑形式系数的紧凑形式eeEFPeDa, 01 . 01, 052、格式的特点、格式的特点幂函数方案较混合方案复杂一些（幂函数方案较混合方案复杂一些（四条线四条线逼近），逼近），但幂函数表达式中系数的计算并非特别费时，且表但幂函数表达式中系数的计算并非特别费时，且表达式极好地代表着指数状态。此格式与混合格式的达式极好地代表着指数状态。

22、此格式与混合格式的差异很小，差异很小， 后两种方案一致。因幂函数格式后两种方案一致。因幂函数格式计算省时被推荐为计算省时被推荐为对流对流-扩散公式采用方案。扩散公式采用方案。10Peyyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学31 /70 ThermalThermal5.2-7 一个通用化的公式一个通用化的公式为了便于处理对流和扩散问题以及编制通用的计算为了便于处理对流和扩散问题以及编制通用的计算机程序，本节将讨论上述几种格式的通用形式。机程序，本节将讨论上述几种格式的通用形式。离散方程实际上是守恒定律的一种离散形式，而守恒离散方程实际上是守恒定律的一种离散形式，而守恒定律是一种通量定律

23、是一种通量(密度密度)的平衡式，即在一维、稳态、的平衡式，即在一维、稳态、无内热源的对流扩散问题中，对流与扩散总通量无内热源的对流扩散问题中，对流与扩散总通量(密度密度)处处相等。处处相等。 曾由曾由J 的平衡式导出了以的平衡式导出了以aE、aW表示的离表示的离散形式，讨论散形式，讨论aE、aW的关系时用的关系时用aE/De、 aW/Dw表示。表示。下面将由此思路寻求几种格式都适用的表达式。下面将由此思路寻求几种格式都适用的表达式。yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学32 /70 ThermalThermal1、J*、通量密度及其离散表达式、通量密度及其离散表达式设总流量密度设总

24、流量密度*ddddJuPJ Dxx *1111d1diiiiiiiiJPPxPPPBA i+1i JPPAPBPAB可以看出可以看出A和和B均是均是P 的函数，且的函数，且yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学33 /70 ThermalThermal2、系数、系数A、B间的关系分析间的关系分析. 和差性和差性由系数由系数A、B的定义式可得：的定义式可得：PAB. 对称性对称性i+1i JBAi+1i JBA如果将坐标轴的方向反转如果将坐标轴的方向反转, 得得到右侧两图，到右侧两图，P将显示为将显示为-P，A与与B将相互交换其角色，所将相互交换其角色，所以有如下关系：以有如下关系：

25、 对界面而言对界面而言PAPBPAPByyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学34 /70 ThermalThermal以指数格式为例验证上述结论以指数格式为例验证上述结论指数格式通量表达式指数格式通量表达式1)exp(eEPPeePeFJ1*1)exp(11)exp()exp(iiPPPPDJJ1)exp()exp(PPPPB1)exp(PPPAPBPPPPPPA)exp(1)exp(1)exp(PBPPPPPPPPA1)exp()exp(1)exp(见图见图5.6所示所示yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学35 /70 ThermalThermal.系数特性的重要推

26、论系数特性的重要推论PPAPPAPPBPA时，时，当当0P时，时，当当0PPAPA两式合并两式合并0 ,PPAPAPPPAPPAPB0 ,则：则：0000A PP ,P ,P ,PA PP , 0 ,PPAPByyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学36 /70 ThermalThermal3、通用离散化方程的导出、通用离散化方程的导出1*iiABJ将将A、B的表达式代入此方程的表达式代入此方程1*0 ,0 ,iiPPAPPAJ*eeePEJJDA PP ,0A PP ,0 *wwwWPJJDA PP ,0A PP ,0 中整理得：中整理得：代入代入、将上式的将上式的0weweJJJ

27、JWWEEPpaaayyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学37 /70 ThermalThermal0 ,eeeEFPADa0 ,wwwWFPADaweWEPFFaaa可见，对于不同的格式，只是可见，对于不同的格式，只是 表达式不同而表达式不同而已。各种不同格式的已。各种不同格式的 函数关系式已由表函数关系式已由表5.2给出。可以通过与相应的精确解比较来评判每一种给出。可以通过与相应的精确解比较来评判每一种函数的满意程度。函数的满意程度。PAPAyyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学38 /70 ThermalThermal5.2-8 各种方案各种方案(格式格式)结果比

28、较结果比较为了比较对给定的为了比较对给定的 E 和和 W 值用上述几种格式计算值用上述几种格式计算得到的得到的 P值，且不失一般性，取：值，且不失一般性，取：PefxxPweWE，显然，显然, 0, 1结果示于图结果示于图5-8中，由图可以看出：中，由图可以看出：用幂函数格式得到的结果，对任何用幂函数格式得到的结果，对任何Pe数都与精确解符数都与精确解符合得很好，以致在图中很难分开，只好用一条线表示。合得很好，以致在图中很难分开，只好用一条线表示。中心差分格式的解在小中心差分格式的解在小Pe时与精确解很符合，但在时与精确解很符合，但在Pe=2，误差明显增大；绝对值大于，误差明显增大；绝对值大于

29、2后结果均已超后结果均已超出边界值所限定的范围，违反了物理上的真实性。出边界值所限定的范围，违反了物理上的真实性。yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学39 /70 ThermalThermal上风格式对任何上风格式对任何Pe数都能得到物理上真实的解，即数都能得到物理上真实的解，即 P都落在边界值范围内，但在整个都落在边界值范围内，但在整个Pe数范围内都有数范围内都有较大的误差存在。这是由于小较大的误差存在。这是由于小Pe时，对流项用了上时，对流项用了上游节点计算，而在大游节点计算，而在大Pe时，扩散项仍用中心差分格时，扩散项仍用中心差分格式离散所致。式离散所致。混合格式所得结果在

30、混合格式所得结果在-2Pe2时时, 与中心差分格式相与中心差分格式相同；在该范围之外（同；在该范围之外（-5Pe5），比上风格式有较大），比上风格式有较大改进，因为此时将扩散项取成了零，因此与精确解改进，因为此时将扩散项取成了零，因此与精确解符合得很好。符合得很好。yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学40 /70 ThermalThermal5.3 二维问题的离散化方程二维问题的离散化方程在二维直角坐标系中，对流扩散方程的通用形式在二维直角坐标系中，对流扩散方程的通用形式Syyxxyvxut引入引入 x 及及y 方向的对流方向的对流-扩散通量密度扩散通量密度SyvyxuxtSyJ

31、xJtyxyyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学41 /70 ThermalThermal二维问题的控制容积二维问题的控制容积1、用控制容积法进行离散、用控制容积法进行离散法一：直接对给定方程离散法一：直接对给定方程离散yxSSJJJJyxtPPCsnwePP0格式为全隐式格式为全隐式SyJxJtyxdexJJy代表整个控制容积面上的积分代表整个控制容积面上的积分总流量，其它的类同。总流量，其它的类同。除了时间项外尚未引入离散格除了时间项外尚未引入离散格式，为使上式最终化为相邻节式，为使上式最终化为相邻节点上未知值间的代数方程，需点上未知值间的代数方程，需要对界面上的总通量建立起节

32、点值的表达式要对界面上的总通量建立起节点值的表达式离散格式离散格式 (1)yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学42 /70 ThermalThermal依界面上导数离散方式及函数插值方式的不同形成依界面上导数离散方式及函数插值方式的不同形成了多种格式。除了指数及乘方格式外，界面上扩散了多种格式。除了指数及乘方格式外，界面上扩散项的导数都采用分段线性的型线来构造，因而项的导数都采用分段线性的型线来构造，因而主要主要的区别在于界面函数的插值方法不同。的区别在于界面函数的插值方法不同。法二：将连续方程加入后再进行离散法二：将连续方程加入后再进行离散0yvxut对连续方程对连续方程也在图

33、示控制容积上积分也在图示控制容积上积分00snwePPFFFFtyx (2)yuFeeyuFwwnnFvxxvFssyyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学43 /70 ThermalThermalyxSSJJJJyxtPPCsnwePP0 (1)00snwePPFFFFtyx (2) (1) 式式-(2) 式式 P 得：得： yxSSFJFJFJFJyxtPPCPssPnnPwwPeePPP00 (3)PABABJii及及由由1* 消除消除B得：得：1*iiiAPJ (4)）式得：）式得：代入（代入（将将40 ,PPAPAyyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学44 /7

34、0 ThermalThermal1*0 ,iiiPPAPJEPEEPePeeaPPADFJ0 ,同理：同理：PWWPwwaFJNPNPnnaFJPSSPssaFJ ) 3(00yxSSFJFJFJFJyxtPPCPssPnnPwwPeePPP将上述将上述J的表达式代入（的表达式代入（3） 式并整理得：式并整理得：baaaaaSSNNWWEEPpyyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学45 /70 ThermalThermal式中：式中：0 ,eeeEFPADa0 ,wwwWFPADa0 ,nnnNFPADa0 ,sssSFPADatyxaPP0000PPCayxSbyxSaaaaaa

35、PPSNWEp0yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学46 /70 ThermalThermaleeexyD式中热导的定义分别为：式中热导的定义分别为：wwwxyDnnnyxDsssyxD贝克列数定义：贝克列数定义：eeeDFPwwwDFPnnnDFPsssDFPyuFeeyuFwwnnFvxxvFssyyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学47 /70 ThermalThermal先将动量方程和连续方程分别离散，然后合并在一先将动量方程和连续方程分别离散，然后合并在一起得到离散方程；或者将连续方程引入动量方程后起得到离散方程；或者将连续方程引入动量方程后再进行离散，所得

36、结果应该是一样的，且都满足邻再进行离散，所得结果应该是一样的，且都满足邻近系数之和的规则。近系数之和的规则。当已知的速度与密度恰恰满足连续性离散化方程时，当已知的速度与密度恰恰满足连续性离散化方程时，由由法一法一和和法二法二得到的离散化方程相同；当已知的流得到的离散化方程相同；当已知的流场不满足连续性方程时，这两种推导将给出不同的场不满足连续性方程时，这两种推导将给出不同的结果，这时建议采用由第二种方法导出的离散化方结果，这时建议采用由第二种方法导出的离散化方程，因为它满足邻近节点系数和的规则。程，因为它满足邻近节点系数和的规则。2、几点说明、几点说明yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大

37、大 学学48 /70 ThermalThermal不满足连续性流场的产生：不满足连续性流场的产生：由于流场常常不是实际由于流场常常不是实际给定的，而是通过迭代算得的。在迭代中间阶段的给定的，而是通过迭代算得的。在迭代中间阶段的不完善的流场可能并不满足连续性方程。正因如此，不完善的流场可能并不满足连续性方程。正因如此，需要特别留意满足法则需要特别留意满足法则4（系数和的规则）。（系数和的规则）。相邻节点系数相邻节点系数代表四个控制容积面上对流与扩散的代表四个控制容积面上对流与扩散的影响，影响， 表示在时刻表示在时刻t 控制容积内的控制容积内的 含量除以时含量除以时间步长。间步长。00PPayyy

38、y-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学49 /70 ThermalThermal5.4 三维问题的离散化方程三维问题的离散化方程与二维离散化方程的写法相同，只是增加了一个坐与二维离散化方程的写法相同，只是增加了一个坐标，用标，用T、B表示此坐标方向的相邻点。表示此坐标方向的相邻点。三维离散化方程：三维离散化方程：baaaaaaaBBTTSSNNWWEEPp0 ,tttTFPADa0 ,bbbBFPADatzyxaPP0000PPCazyxSbeeexzyDzyuFeezyxSaaaaaaaaPPBTSNWEp0yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学50 /70 Thermal

39、Thermal5.5 单向空间坐标单向空间坐标前面曾提到，在一般情况下，空间坐标具有双通道前面曾提到，在一般情况下，空间坐标具有双通道性质。但在对流性质。但在对流-扩散问题中，如果存在扩散问题中，如果存在主要流动方主要流动方向向，且该方向对流强度远大于扩散强度，且该方向对流强度远大于扩散强度(P 很大很大)，下，下游邻点系数将变得很小。对于混合格式来说游邻点系数将变得很小。对于混合格式来说, 下游邻点系数即取为下游邻点系数即取为0；而对乘方格式；而对乘方格式 取为取为0。在此情况下，给定点的状态不再受下游状态变化。在此情况下，给定点的状态不再受下游状态变化的影响，即该方向的空间坐标具有了单通道

40、性质。的影响，即该方向的空间坐标具有了单通道性质。2P10P同上风格式的思想同上风格式的思想yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学51 /70 ThermalThermal5.5-1 使空间坐标成为单向坐标的条件使空间坐标成为单向坐标的条件如图所示的二维问题中，假定沿如图所示的二维问题中，假定沿x方向有较高流率方向有较高流率P 数很大数很大，对于沿一根对于沿一根y方向的所有网格点，方向的所有网格点，系数系数aE=0，即图中，即图中 P与与 E无关，无关，x 就成为一个单向坐标，这样在就成为一个单向坐标，这样在 x 方向就有可能构成一个方向就有可能构成一个“前进前进解解”的程序。的程

41、序。* * * * *WESNPxyyyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学52 /70 ThermalThermal5.5-2 出流边界条件出流边界条件第四章所述边界条件处理的方法同样适用于对流第四章所述边界条件处理的方法同样适用于对流- -扩散问题。扩散问题。不过不过出口边界是最难处理的边界条件，出口边界是最难处理的边界条件，因为在出口边界处，因为在出口边界处，通常通常 值以及它的流量值以及它的流量均是未知的。但按微分方程理论，应均是未知的。但按微分方程理论，应给定出口截面上的条件。给定出口截面上的条件。1. 边界的处理方法边界的处理方法通常假定出口截面上的节点对第一内节点通常假

42、定出口截面上的节点对第一内节点已无影响，因而可以令边界节点对内节点已无影响，因而可以令边界节点对内节点的影响系数为的影响系数为0 0，出口截面上的信息对内，出口截面上的信息对内WESNP部节点的计算就不起作用，也就部节点的计算就不起作用，也就无需知道出口边界之值了，无需知道出口边界之值了，其物理实质相当于出口界面附近的区域流动方向的坐标是局其物理实质相当于出口界面附近的区域流动方向的坐标是局部单向的。部单向的。 令令 aE=0 见图所示。见图所示。yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学53 /70 ThermalThermal2. 出流边界位置的选择出流边界位置的选择为了在数值计算

43、中应用这一简化处理方法而又不致引为了在数值计算中应用这一简化处理方法而又不致引起过大误差，计算区域边界位置应满足以下条件：起过大误差，计算区域边界位置应满足以下条件：出口边界上无回流。因为有回流，出口边界的一出口边界上无回流。因为有回流，出口边界的一部分有部分有“入流入流”（参见图（参见图5.11、5-12）出口截面应离开感兴趣的计算区域较远。出口截面应离开感兴趣的计算区域较远。 在实际计算中，可以通过改变出口截面的位置，在实际计算中，可以通过改变出口截面的位置，计算并检查其结果是否受到影响，从而判断所取计算并检查其结果是否受到影响，从而判断所取的位置是否合适。的位置是否合适。yyyy-M-d

44、太太 原原 理理 工工 大大 学学54 /70 ThermalThermal3. 对流对流-扩散问题的边界条件扩散问题的边界条件只要只要没有流体流过没有流体流过计算区域的边界，那么经过该计算区域的边界，那么经过该边界的流量密度就是纯粹的扩散流（第四章）；边界的流量密度就是纯粹的扩散流（第四章）；流体流入计算区域的那些边界部分（流体流入计算区域的那些边界部分（入口条件入口条件），）， 的值通常是已知的（若不知道流体携带入的的值通常是已知的（若不知道流体携带入的 值值时，问题是不确定的）；时，问题是不确定的）；流体离开计算域的那些边界形成流体离开计算域的那些边界形成出流边界出流边界，用本，用本节提

45、出的方法处理。节提出的方法处理。yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学55 /70 ThermalThermal5.6 假扩散假扩散假扩散是对流项离散假扩散是对流项离散过程中所引入的一个重要误差。过程中所引入的一个重要误差。由于对流由于对流- -扩散方程中一阶导数项的离散格式的截断扩散方程中一阶导数项的离散格式的截断误差小于二阶而引起较大数值计算误差的现象称为假误差小于二阶而引起较大数值计算误差的现象称为假扩散。扩散。对假扩散研究的目的对假扩散研究的目的是要查明如何来构造对流项的差是要查明如何来构造对流项的差分格式分格式, , 才能在不过分细密的网格下得到没有振荡且才能在不过分细密

46、的网格下得到没有振荡且具有足够准确度的解。具有足够准确度的解。yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学56 /70 ThermalThermal5.6-1 关于假扩散的一般观点关于假扩散的一般观点关于假扩散问题的讨论始于对上风与中心差分格式关于假扩散问题的讨论始于对上风与中心差分格式精度的讨论中。精度的讨论中。1. 上风与中心差分格式的比较上风与中心差分格式的比较. 系数系数中心差分中心差分2eeEFDa2wwWFDa上风格式上风格式0，eeEFDa0，wwWFDa2F上风格式的系数都比中心差分格式的系数大上风格式的系数都比中心差分格式的系数大 ，相当于上风格式在真实的扩散系数相当于

47、上风格式在真实的扩散系数D上增加了一个大上增加了一个大小为小为 的虚假扩散系数。的虚假扩散系数。2Fyyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学57 /70 ThermalThermal. 精度精度中心差分具有二阶精度，而上风格式只有一阶精度。中心差分具有二阶精度，而上风格式只有一阶精度。上风格式精度低，并被认为增加了一个不真实的扩上风格式精度低，并被认为增加了一个不真实的扩散系数。因此认为上风格式似乎不好，这种说法是散系数。因此认为上风格式似乎不好，这种说法是不正确的。不正确的。 2. 关于假扩散的一些观点关于假扩散的一些观点在处理大在处理大Pe的对流问题时，的对流问题时，CD格式本身

48、就不能给出格式本身就不能给出物理上真实的解，不能把它作为一种精确的参考系统物理上真实的解，不能把它作为一种精确的参考系统来评价来评价FUD。否则，其它格式（由精确解构造的幂函。否则，其它格式（由精确解构造的幂函数数-Power格式）都带有虚假扩散了，这显然是不能接格式）都带有虚假扩散了，这显然是不能接受的，即这种含义的虚假扩散是不正确的。受的，即这种含义的虚假扩散是不正确的。yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学58 /70 ThermalThermal相反，所谓的假扩散系数相反，所谓的假扩散系数 实际上是在大实际上是在大Pe数条数条件下的一种理想补充，它修正了由中心差分格式可件下

49、的一种理想补充，它修正了由中心差分格式可能带来的错误结果。能带来的错误结果。 2F在在Pe很小时，很小时，CD格式比格式比FUD格式准确，且其它格式格式准确，且其它格式在小在小Pe时与时与CD格式相符，即在小格式相符，即在小Pe数时，假扩散不数时，假扩散不会是个严重问题。会是个严重问题。 对大对大Pe以及上风格式应予以重以及上风格式应予以重视。视。yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学59 /70 ThermalThermal5.6-2 有关假扩散的正确看法有关假扩散的正确看法 虚假扩散是一种虚假扩散是一种多维的多维的问题，在稳态的一维问题问题，在稳态的一维问题中绝对不会有相应形式

50、的假扩散，但非稳态的一维中绝对不会有相应形式的假扩散，但非稳态的一维问题确实也存在某种形式假扩散的干扰。以下讨论问题确实也存在某种形式假扩散的干扰。以下讨论稳态问题。稳态问题。1. 一般格式中是否包含虚假扩散？一般格式中是否包含虚假扩散？2. 如何检验数值解方案会引起假扩散？如何检验数值解方案会引起假扩散？ 把真实扩散系数定为把真实扩散系数定为0，其数值解产生一个逐渐，其数值解产生一个逐渐变化的温度分布就可以得出结论变化的温度分布就可以得出结论该数值方案引起该数值方案引起了假扩散。了假扩散。 举例说明举例说明.见图见图5.13yyyy-M-d太太 原原 理理 工工 大大 学学60 /70 Th