概率论与数理统计第四章方差ppt课件.ppt

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1、一、问题的引入一、问题的引入五、例题讲解五、例题讲解三、方差的性质三、方差的性质六、小结六、小结 四、重要概率分布的数学期望与方差四、重要概率分布的数学期望与方差二、方差的概念二、方差的概念 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量现用甲、乙两台仪器各测量1010次，将测量结次，将测量结果果X用坐标上的点表示如图：用坐标上的点表示如图：乙仪器测量结果乙仪器测量结果a a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如又如, ,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙

2、两门炮同时向一目标射击1010发发炮弹，其落点距目标的位置如图：炮弹，其落点距目标的位置如图： 中心中心中心中心 由于它与由于它与E E( (X)具有相同的度量单位，具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用在实际问题中经常使用. . (1)(XD()X 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 21()(),kkkD XxE Xp 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差2()()( )d ,D XxE Xf xx (1) (1) 利用定义计算利用定义计算 其中其中PX=xk=pk，k=1，2，是是X的分布律的分布律. .22()()() .D XE XE X证明证明2()() D XEXE

3、X222()() E XXE XE X22()2 ()()()E XE X E XE X22()()E XE X22()().E XEX证明证明22()()()D CE CE C(1) (1) 设设 C 是常数是常数, , 则有则有()0.D C 22CC0. (2) (2) 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, , C 是常数是常数, , 则有则有2()().D CXC D X 证明证明()D CX22() C EXE X2().C D X 2() E CXE CX()()( ).D XYD XD Y2()()() D XYEXYE XY2() ( )EXE XYE Y22()( )2

4、()( )E XE XE YE YEXE XYE Y()( ).D XD Y推广推广1212()()()().nnD XXXD XD XD X 1.P XC1. 两点分布两点分布 ()10E Xpq Xkp101pp 则有则有, p 22()()()D XE XE X22210(1)ppp.pq ppq(1),(0,1,2, ),kn knP Xkppknk 01.p0()nkE Xk P Xk 0(1)nkn kknkppk 0!(1)!()!nkn kkknppknk 1(1) (1)1(1)!(1)(1)!(1)(1)!nknkknp nppknk 1(1)nnp pp .np 1(1)

5、 (1)1(1)!(1)(1)!(1)(1)!nknkknnpppknk np2()(1)E XE X XX(1)()E X XE X0(1)(1)nkn kkkk kppnpn 0(1) !(1)!()!nkn kkk knppnpknk 22(1)(1)nn npppnp 22().nn pnp22()()()D XE XE X222()()nn pnpnp(1).npp22(2) (2)2(2)!(1)(1)()!(2)!nknkknn npppnkknp (1)npp e,0,1,2,0.!kP Xkkk 0()e!kkE Xkk 11e(1)!kkk ee . 设设 ，且分布律为，且

6、分布律为 ( )X 2()(1)E XE X XX(1)()E X XE X0(1)e!kkk kk 222e(2)!kkk 2ee 2.22()()()D XE XE X22. 泊松分布的期望和方差都等于参数泊松分布的期望和方差都等于参数 . . 则有则有()( )dE Xxf xx 1dbaxxba 1().2ab1,( )0,.axbf xba 其其他他1().2ab 设设X U(a, b)，其概率密度为，其概率密度为22()()()D XE XE X221d2baabxxba 2().12ba 2()12ba ()( )dE Xxf xx 01edx xx . 00eedx x xx

7、10000 x e,x,f(x).,x. 22()()()D XE XE X2201edx xx 2222. 2指数分布的期望和方差分别为指数分布的期望和方差分别为和和2 则有则有()( )dE Xxf xx 22()21ed .2x xx xt 令令,xt22()21( )e,0,.2x f xx 2( ,)XN 设设 ，其概率密度为，其概率密度为. 22221eded22ttttt22()21()ed2x E Xxx 所所以以221()ed2t tt 22()221()ed .2x xx 2()()( )dD Xxf xx ,xt 令令得得2222()ed2tD Xtt 22222eed2

8、tttt 20222. 2正态分布的期望和方差分别为两个参数正态分布的期望和方差分别为两个参数 和和 2 22112212222211221122,(,),(,).,(,).X YXN YN Zc Xc YZN c c c c 一一般般 设设相相互互独独立立且且则则仍仍然服然服从从正正态态分分布 且布 且有有01pp(1)pp 1,01np np(1)npp 0 ab () 2ab 2()12ba 0 2参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布0, 21,10,( )1,01,0,.().xxf xxxD

9、X 其其他他求求解解0110()(1)d(1)dE Xxxxxxx 0, 0122210()(1)d(1)dE Xxxxxxx 1,6 于是于是22()()()D XE XE X21061.6 22(22.40,0.03 ),(22.50, 0.04 ),XNYN( 0.10,0.0025),XYN0P XYP XY故故有有()( 0.10)0( 0.10)0.00250.0025XYP (2) 0.9772. 设活塞的直径设活塞的直径( (以以cmcm计计) )XN(22.40,0.032),汽缸的直径汽缸的直径YN(22.50,0.042), X,Y相互独立，任相互独立，任取一只活塞，任取

10、一只汽缸，求活塞能装入汽取一只活塞，任取一只汽缸，求活塞能装入汽缸的概率缸的概率. .).(,., 020,cos)(2YDXYxxxf的方差的方差求随机变量求随机变量其他其他 22()( )dE Xx f xx 2220cos d2,4xxx 44()( )dE Xx f xx 420cos dxxx 22()()() ,D XE XE X24223242164 2202. 42324,16 2422()()()D XE XE X2013 111132121233(25)(2)(5)DXDXD34 ()D X 6324()() E XE X666661111()( 2)013321212E

11、X 493,6 3(25).DX 求求Xkp23233331111()( 2)013321212E X 3(25)DX 故故1,9 6324()() E XE X2954.9 证明证明22P X取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明. . 契比雪夫不等式契比雪夫不等式2 22.P X221()( )dxf xx 221. 22( )dx xf xx 22P X221.P X得得P X( )dx f xx 22()()() ,D XE XE X2. 2. 方差的计算公式方差的计算公式21()(),kkkD XxE Xp 2()()( )d .D XxE Xf xx 3. 3. 方差的性质方差的性质oo2o1()0;2()();3()()( ).D CD CXC D XD XYD XD Y 22P X221.P X4. 4. 契比雪夫不等式契比雪夫不等式