材料力学之能量法ppt课件.ppt

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1、1FFyzxFF第一章第一章 能量法能量法2第一章第一章 能量法能量法 1-1 杆件应变能的计算杆件应变能的计算 1-2 杆件应变能的普遍表达式杆件应变能的普遍表达式 1-3 卡氏定理卡氏定理 1-4 莫尔积分莫尔积分 1-5 图形互乘法图形互乘法 1-6 虚功原理虚功原理 1-7 剪力对弯曲变形的影响剪力对弯曲变形的影响 1-8 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理目录3l1-1 杆件应变能的计算杆件应变能的计算一、拉压一、拉压EAlFlFWVNS2212LFOABLFEAlFlN 在弹性范围内外力所作的功，全部转变为弹性在弹性范围内外力所作的功，全部转变为弹性体的应变能。即

2、体的应变能。即 W=VSllF1-1 杆件应变能的计算杆件应变能的计算4二、扭转二、扭转PSGIlTTWV2212TOABTPGIlTlTTl1-1 杆件应变能的计算杆件应变能的计算5三、弯曲三、弯曲EIlMMWVS2212MOABMEIlMZEIM1ll1-1 杆件应变能的计算杆件应变能的计算MMl6拉压拉压扭转扭转弯曲弯曲 对于外力比较复杂，沿杆件轴线方向的内力为变量，或对于外力比较复杂，沿杆件轴线方向的内力为变量，或横截面面积沿轴线是变化的，则先求出横截面面积沿轴线是变化的，则先求出dx微段的应变能。微段的应变能。再积分求出杆件的应变能。再积分求出杆件的应变能。 dxxEAxFdVNS2

3、2 dxxEAxFVlNS22 dxxGIxTdVPS22 dxxGIxTVlPS22 dxxEIxMdVS22 dxxEIxMVlS22l1-1 杆件应变能的计算杆件应变能的计算7 杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外力做的功统一写成力做的功统一写成FW21式中式中 F广义力；广义力； 与广义力对应的位移，即为广义力作用与广义力对应的位移，即为广义力作用 点且与广义力方向一致的位移。称为广义位移。点且与广义力方向一致的位移。称为广义位

4、移。l1-1 杆件应变能的计算杆件应变能的计算8 FxxMx解：解： 求图示截面上的内力。即弯矩求图示截面上的内力。即弯矩积分求出梁的应变能积分求出梁的应变能Vs EIlFdxFxEIdxEIxMVllS621232022在变形过程中，外载荷所做的功为在变形过程中，外载荷所做的功为求图示悬臂梁的应变能求图示悬臂梁的应变能Vs和自由端的挠度和自由端的挠度yA。已知梁的抗弯刚度为。已知梁的抗弯刚度为EI。FBAlAFyW21由于应变能由于应变能Vs等于外载荷所做的功等于外载荷所做的功W。即。即VS=WAFyEIlF21632由该式得自由端的挠度由该式得自由端的挠度EIlFyA33 由该例题可以看出

5、，只有当弹性体上仅作用一个广义力，且所求由该例题可以看出，只有当弹性体上仅作用一个广义力，且所求位移为相应的广义位移时，才可直接利用功能原理计算。位移为相应的广义位移时，才可直接利用功能原理计算。l1-1 杆件应变能的计算杆件应变能的计算例题例题1-19 在组合变形时，杆件横截面上同时有几种内力分在组合变形时，杆件横截面上同时有几种内力分量作用，为计算杆件的应变能，可取量作用，为计算杆件的应变能，可取dx微段来研究。微段来研究。 xM xFN xTdx xM xFN xT 这些内力对所研究微段来说，这些内力对所研究微段来说，都是外力。由于各组力做功相互都是外力。由于各组力做功相互独立，互不影响

6、，该微段上的外独立，互不影响，该微段上的外力做功可写为力做功可写为 dxMdxTldxFdWN212121l1-2 杆件应变能的普遍表达式杆件应变能的普遍表达式1-2 杆件应变能的普遍表达式杆件应变能的普遍表达式10积分求出整个杆件的应变能为积分求出整个杆件的应变能为 dxEIxMdxGIxTdxEAxFVllPlNS222222该功等于微段内的应变能。即该功等于微段内的应变能。即 dxEIxMdxGIxTdxEAxFPN222222 dxMdxTldxFdVdWNS212121l1-2 杆件应变能的普遍表达式杆件应变能的普遍表达式11F1F2F3F41234 弹性体上作用载荷时，它的作弹性体

7、上作用载荷时，它的作用点也因物体变形产生位移，载荷用点也因物体变形产生位移，载荷在此位移上做功，其值等于弹性体在此位移上做功，其值等于弹性体的应变能。所以可用载荷做功来求的应变能。所以可用载荷做功来求应变能。应变能。nniiSFFFFWV212121212211 其中其中1，2 ， i ， n为为F1，F2， Fi，Fn共同共同作用下引起的各载荷作用点的位移。这一结论称为作用下引起的各载荷作用点的位移。这一结论称为克拉克拉贝依隆原理贝依隆原理。 由于位移由于位移1，2 ， i ， n与外力与外力F1，F2， Fi，Fn之间是线性关系，则应变能是外力的二次齐次函数，之间是线性关系，则应变能是外力

8、的二次齐次函数，所以应变能不能叠加。所以应变能不能叠加。l1-2 杆件应变能的普遍表达式杆件应变能的普遍表达式12简单说明简单说明C：先加：先加F1，再加，再加F2D：先加：先加F2 ，再加，再加F1l1-2 杆件应变能的普遍表达式杆件应变能的普遍表达式常力F1在l2上作功F1F2F1F2F1F2212221lFlF1121lFVSEAlFFEAlFFEAlFEAlF222221212221）（EAlFFlFlFlFVS2)(2121221121122E：同时加：同时加F1、 F2EAlFFEAlFFFFVS2)()(212212121A：F1单独作用单独作用11121lFVSB：F2单独作用

9、单独作用22221lFVS注意：VSV1+V213结论：结论： 应变能不可叠加，即各个载荷分别作用时应变能不可叠加，即各个载荷分别作用时弹性体的应变能之和不等于各个载荷共同作用弹性体的应变能之和不等于各个载荷共同作用时弹性体的应变能。时弹性体的应变能。 应变能的大小仅与载荷的最终值有关，而应变能的大小仅与载荷的最终值有关，而与加载的次序无关。与加载的次序无关。l1-2 杆件应变能的普遍表达式杆件应变能的普遍表达式14先加先加F0,再加再加F1、F2、Fn（单位载荷法）（单位载荷法）F1F2Fn12inCABABF00CABF1F2Fn12in dxEIxMVlS22 dxEIxMVlS220S

10、iSSVFVV001l1-4 莫尔积分莫尔积分1-4 莫尔积分莫尔积分15 dxEIxMxMFli0令令F0=1，即得计算即得计算位移的位移的 莫尔积分莫尔积分 dxEIxMxMli（单位载荷法）（单位载荷法）l1-4 莫尔积分莫尔积分 llllSdxEIxMxMdxEIxMdxEIxMdxEIxMxMV2222222同时加同时加F0、F1、F2、Fn应变能仅与载荷的最终值有关，而与加载的次序无关。应变能仅与载荷的最终值有关，而与加载的次序无关。21SSVV illiSSSFdxEIxMdxEIxMFVVV0220012216 dxEIxMxMli 积分为正，则单位力做功为正，即载荷引起的位移

11、积分为正，则单位力做功为正，即载荷引起的位移和单位力的方向一致；反之，积分为负，位移和单位力和单位力的方向一致；反之，积分为负，位移和单位力的方向相反。的方向相反。i为广义位移，相应的单位力为广义力。为广义位移，相应的单位力为广义力。莫尔积分的一般表达莫尔积分的一般表达式可写成式可写成 dxGIxTxTdxEAxFxFlPlNNi dxEIxMxMdxEIxMxMlzzzlyyy（单位载荷法）（单位载荷法）l1-4 莫尔积分莫尔积分17解解:（1）在）在C点施加单位力点施加单位力（2）分别写出实际载荷和单位力作）分别写出实际载荷和单位力作用下的弯矩方程用下的弯矩方程（单位载荷法）（单位载荷法）

12、l1-4 莫尔积分莫尔积分例题例题1-2梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度EI为常量为常量 试求试求C点的挠度。点的挠度。FCa2BAa1Ca2BAa1x1x2x2x2F21 112xFxM 1121xxM 22FxxM 22xxM（3）积分运算）积分运算 dxEIxMxMyC EIFa3aadxxFxdxxxFEI200222111212118解：解： 写出写出AB及及BC段的弯矩方程段的弯矩方程 图示刚架的自由端图示刚架的自由端A作用集中载荷作用集中载荷F。刚架各段的抗弯刚度为。刚架各段的抗弯刚度为EI。若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算A点的垂直位移点的垂直位

13、移yA及截面及截面B的的转角转角B。FBAlax1 11FxxMAB段段FaxM2BC段段x21BAx1x2为求为求A点的垂直位移，点的垂直位移，在在A点加一垂直向下的点加一垂直向下的单位力并单位力并写出弯矩方程写出弯矩方程 11xxMAB段段 axM2BC段段使用莫尔积分，使用莫尔积分，A点垂直向下的位移为点垂直向下的位移为 laAdxEIxMxMdxEIxMxMy02221011aldxaFadxxFxEI0021111lFaFaEI2331A点位移方向与单位点位移方向与单位力相同即垂直向下力相同即垂直向下（单位载荷法）（单位载荷法）l1-4 莫尔积分莫尔积分例题例题1-319解：解： 写

14、出写出AB及及BC段的弯矩方程段的弯矩方程 图示刚架的自由端图示刚架的自由端A作用集中载荷作用集中载荷F。刚架各段的抗弯刚度为。刚架各段的抗弯刚度为EI。若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算若不计轴力和剪力对位移的影响，试计算A点的垂直位移点的垂直位移yA及截面及截面B的的转角转角B 。FBAlax1 11FxxMAB段段FaxM2BC段段x2x2 01xMAB段段12xMBC段段使用莫尔积分，使用莫尔积分，B截面的转角为截面的转角为 EIFaldxFaEIlB0211为求为求B截面的转角，在截面的转角，在B截面加一单位力偶并截面加一单位力偶并写出弯矩方程写出弯矩方程。1BAx1 计算结果为负

15、，表示计算结果为负，表示B截面转角与单截面转角与单位力偶的方向相反。即为顺时针方向。位力偶的方向相反。即为顺时针方向。变形后的刚架如图中虚线所示。变形后的刚架如图中虚线所示。（单位载荷法）（单位载荷法）l1-4 莫尔积分莫尔积分例题例题1-320 dxGIxTxTdxEAxFxFlPlNNi dxEIxMxMdxEIxMxMlzzzlyyy莫尔积分也可适用于桁架、刚架、曲杆等结构。对于桁架莫尔积分可改写成莫尔积分也可适用于桁架、刚架、曲杆等结构。对于桁架莫尔积分可改写成njjjjNjNjiAElFF1（单位载荷法）（单位载荷法）l1-4 莫尔积分莫尔积分 FNj第第j根杆中外力所引起的轴向力；

16、根杆中外力所引起的轴向力； FNj第第j根杆单位力引起的轴向力；根杆单位力引起的轴向力；EjAj，lj相应杆的抗拉刚度和杆长。相应杆的抗拉刚度和杆长。21（单位载荷法）（单位载荷法）l1-4 莫尔积分莫尔积分例题例题1-4图示桁架图示桁架,求节点求节点B的垂直位移。已知各杆的的垂直位移。已知各杆的EA相同。相同。611jjNjNjBlFFEAyB132456lllAFB132456lllA1杆号杆号123456FF2FFF2F2000112ll2lll2lNjFNjFjljNjNjlFF00Fl0Fl22Fl2解：解： 1.在节点在节点B施加垂直向下的单位力。施加垂直向下的单位力。 2.列表形

17、式计算出列表形式计算出 、 、NjFNjFjl611jjNjNjBlFFEAyFlFlFlEA2221EAFl223 22（单位载荷法）（单位载荷法）l1-4 莫尔积分莫尔积分例题例题1-5 图示小曲率曲杆，在截面图示小曲率曲杆，在截面A A，B B处，受一对集中力处，受一对集中力F F的作用，试计算两的作用，试计算两截面之间的相对错动截面之间的相对错动和相对转角和相对转角。设抗弯刚度。设抗弯刚度EIEI已知，轴力和剪力引已知，轴力和剪力引起的变形忽略不计。起的变形忽略不计。11sinFRM2.2.在在A A，B B两点加一对单位力，其弯矩方程为两点加一对单位力，其弯矩方程为 11sinRM3

18、.3.根据单位载荷法，根据单位载荷法，A A、B B间相对错动为间相对错动为 EIFRREIFR2dsin230224.4.在在A A，B B两点加一对单位力偶，弯矩方程为两点加一对单位力偶，弯矩方程为 1M解：解：1.写出外载作用下的弯矩方程写出外载作用下的弯矩方程5.5.求求A A，B B两点的两点的相对转角相对转角BFFRA1B11RA22sinFRM 22sinRM 2B11RA12022011dsindsinREIFRREIFR023x xMx xM dxEIxMxMl 在等截面直杆的情形下在等截面直杆的情形下, ,EI为常为常量量. .这样就只需计算积分这样就只需计算积分 dxxM

19、xMl直杆在单位力或单位力偶作用下直杆在单位力或单位力偶作用下, ,其内力图必是直线或折线其内力图必是直线或折线. .x xdxdxy yo oy yo o xdxxMltanCCMx.tanl1-5 1-5 图形互乘法图形互乘法C CCx dxxxMltan dxxMxMlEIMCi 弯矩图的面积弯矩图的面积 弯矩图的形心对应的弯矩图的形心对应的 图的高度。图的高度。CMM1-5 1-5 图形互乘法图形互乘法CM24常用图形面积常用图形面积A和形心和形心C：hbc2/bhA3/bChbc3/bhA4/bChbc3/2bhA8/3bCl1-5 1-5 图形互乘法图形互乘法25 图示悬臂梁图示悬

20、臂梁AB, ,抗弯刚度抗弯刚度EI为为常量常量, ,求求A截面的挠度和转角。截面的挠度和转角。lFAB解：解：先求先求A点的挠度点的挠度（1 1）在）在A点沿铅垂方向施加单位力点沿铅垂方向施加单位力l1AB（2 2）作载荷作用下和单位力作用）作载荷作用下和单位力作用 下的弯矩图下的弯矩图Fl l （3 3）图形互乘）图形互乘EIMCiEIFlllFlEIyA332.2113 例题例题1-61-6l1-5 1-5 图形互乘法图形互乘法26解：解：再求再求A截面的转角截面的转角（1 1）在）在A截面处施加单位力偶截面处施加单位力偶 图示悬臂梁图示悬臂梁AB, ,抗弯刚度抗弯刚度EI为为常量常量,

21、,求求A截面的挠度和转角。截面的挠度和转角。lFAB（2 2）作载荷作用下和单位力偶）作载荷作用下和单位力偶作用下的弯矩图作用下的弯矩图Fl （3 3）图形互乘）图形互乘EIMCiEIFllFlEIA21 . .2112例题例题1-61-6l1AB1 l1-5 1-5 图形互乘法图形互乘法27解：解：（1 1）在）在C C 截面处施加单位力截面处施加单位力（2 2）作载荷作用下和单位力作）作载荷作用下和单位力作用下的弯矩图用下的弯矩图（3 3）图形互乘）图形互乘EIMCiEIqlllqlEIyC484. .8.3214例题例题1-71-7 图示简支梁图示简支梁AB, ,抗弯刚度抗弯刚度EI为常

22、为常量量, ,求梁中点求梁中点C的挠度的挠度B BA A2/lqC C2/l对否？对否？B BA A2/l1C C2/l8/2ql 4/l EIqlllqlEIyC38454.85.2.8.32242 单位载荷内力图为折线时，单位载荷内力图为折线时，互乘时按折点进行分段。互乘时按折点进行分段。l1-5 1-5 图形互乘法图形互乘法28例题例题1-81-81B BA AC Ca解：解：（1 1）在梁的）在梁的A端施加单位力端施加单位力（2 2）绘载荷作用下的弯矩图）绘载荷作用下的弯矩图（4 4）图形互乘）图形互乘（3 3）绘单位力作用下的弯矩图）绘单位力作用下的弯矩图311iCiiMEIEIqa

23、3242/2qa2qa12332.2112aaqaEIyA32.2 .212aaqa2.2 .2.322aaqaqaqa21qa238/2qa2qa2/qa2/5qal1-5 1-5 图形互乘法图形互乘法 求图示外伸梁求图示外伸梁A截面的挠截面的挠度。抗弯刚度度。抗弯刚度EI为常量。为常量。B BA Aa2aqqaF C C叠加法叠加法29例题例题1-91-9 置于水平面内的折杆，转折处均为直角，杆的抗弯刚度及置于水平面内的折杆，转折处均为直角，杆的抗弯刚度及抗扭刚度分别为抗扭刚度分别为EI和和GIP ，试求，试求A点的垂直位移。点的垂直位移。FaaayzxABCDFDFaFaFaFaFaFa

24、FFaFaFaFaFa2FaFaFa2aaaaaa21aaayzxABCDl1-5 1-5 图形互乘法图形互乘法30例题例题1-91-932.211aaFaEIyA32.21aaFaaaFa265.21aaFaaaFaGIP.1PGIFaEIFa332323.aaFaFaaayzxABCDFaFaFaFaFaFa2aaaaaa21aaayzxABCDl1-5 1-5 图形互乘法图形互乘法叠加法求组合变形时的位移叠加法求组合变形时的位移31解：解： （1 1）在）在C截面处施加单位力截面处施加单位力（2 2）作载荷作用下和单位力作）作载荷作用下和单位力作用下的弯矩图用下的弯矩图（3 3）图形互乘

25、）图形互乘例题例题1-101-10 图示简支梁图示简支梁AB, ,抗弯刚度抗弯刚度EI为常为常量量, ,求梁中点求梁中点C的挠度的挠度B BA A2/lqC C2/lB BA A2/l1C C2/l4/l441283112llqlEIyC 外载荷内力图为直线时，外载荷内力图为直线时，互乘时可以倒乘。互乘时可以倒乘。8ql83 ql128/92ql16/2ql8/2ql8/2qll1-5 1-5 图形互乘法图形互乘法EIqlqlllEI7685821421142EIMCi32解：解：求求C截面的挠度截面的挠度 图示悬臂梁图示悬臂梁AB, ,抗弯刚度抗弯刚度EI为常量为常量, ,求截面求截面C的挠

26、度。的挠度。EIqlllqlllqlllqlEIyC38417221282322421243283114222例题例题1-111-1112/l2/lABC2/lq22qlq2ql82ql82ql42ql82qll1-5 1-5 图形互乘法图形互乘法33212121FF1 12 21 12 2F1 1F2 2F1 11121F2 212221 12 2F1 111212212F2 2梁上作用两组力时，应变能与其作梁上作用两组力时，应变能与其作用次序无关，只与最终状态有关。用次序无关，只与最终状态有关。先加先加F F1 1力，再加力，再加F F2 2力。力。1212221112121FFFW先加先

27、加F F2 2力，再加力，再加F F1 1力。力。2121112222121FFFW l1-8 1-8 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理1-8 1-8 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理34 上式表明第一组力上式表明第一组力F F1 1在第二组力引起的位移在第二组力引起的位移1212上所做的上所做的功，等于第二组力功，等于第二组力F F2 2在第一组力引起的位移在第一组力引起的位移2121上所做的功。上所做的功。这就是这就是功的互等定理功的互等定理212121FF在在F F1 1= =F F2 2的情况下，由功的互等定理可得的情况下，由功的互等定理可得21

28、12 该式表明由载荷该式表明由载荷F F作用于作用于2 2点而引起的点而引起的1 1点的位移点的位移1212等于载荷等于载荷F F作用于作用于1 1点而引起的点而引起的2 2点的位移点的位移2121。这就是。这就是位移互等定理位移互等定理 推导以上定理时，载荷推导以上定理时，载荷F F应理解为广义力，位移应理解为广义力，位移也应理也应理解为广义位移。解为广义位移。l1-8 1-8 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理35 装有尾顶针的工件可简化为超静定梁。装有尾顶针的工件可简化为超静定梁。试利用互等定理求支反力试利用互等定理求支反力FBy。解：解：解除尾顶针的工件可简化为悬臂梁

29、。解除尾顶针的工件可简化为悬臂梁。F、FBy作为第一组力。然后右端单独作用作为第一组力。然后右端单独作用X=1的单位力，并作为第二组力。的单位力，并作为第二组力。alEIa3621例题例题1-12l1-8 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理laFABByF11X2EIl332在第二组力作用下在第二组力作用下 第一组力在第二组力引起的位移上第一组力在第二组力引起的位移上所作的功为所作的功为EIlFalEIFaFFByBy3363221 第二组力在第一组力引起的位第二组力在第一组力引起的位移上所作的功为零（移上所作的功为零（B为铰支）。为铰支）。由功的互等定理得：由功的互等定理得：033632EIlFalEIFaBy allFaFBy3232