多元函数的极值及其求法ppt课件.ppt

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1、有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法三、小结三、小结有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内有定义，的某邻域内有定义， 对于该邻域内异于对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(y

2、x： 若满足不等式若满足不等式 ),(),(00yxfyxf ， 则称函数在则称函数在),(00yx有有极大值极大值； 若满足不等式若满足不等式 ),(),(00yxfyxf ， 则称函数在则称函数在),(00yx有有极小值极小值； 1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极极大大值值、极极小小值值统统称称为为极极值值. . 使使函函数数取取得得极极值值的的点点称称为为极极值值点点. . 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(43

3、22yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz (3)(2)(1)有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。定理定理 1 1（必要条件必要条件） 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数， 且在具有偏导数， 且在 点点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必然处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 2 2、多元函数取得极值的条件、

4、多元函数取得极值的条件不不妨妨设设),(yxfz 在在点点),(00yx处处有有极极大大值值, , 则对于则对于),(00yx的某邻域内任意的某邻域内任意 ),(yx),(00yx 都都有有 ),(yxf),(00yxf, , 证证故故当当0yy ，0 xx 时时， 有有 ),(0yxf),(00yxf, , 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。说说明明一一元元函函数数),(0yxf在在0 xx 处处有有极极大大值值, , 必必有有 0),(00 yxfx; ; 类类似似地地可可证证 0)

5、,(00 yxfy. . 推推广广：如如果果三三元元函函数数 ),(zyxfu 在在点点 ),(000zyxP 具具有有偏偏导导数数，则则它它在在),(000zyxP有有极极值值的的必必 要要条条件件为为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. . 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例如如，点点)0 , 0(是是函函数数 xyz 的的驻驻点点， 但但点点 (0, 0) 不不是是极极值值点点. . 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的

6、点，仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点. .驻点驻点偏导数存在的极值点偏导数存在的极值点问题问题：如何判定一个驻点是否为极值点？：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：; 0)0 , 0( , xxzyz. 0)0 , 0( , yyzxz有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。定理定理 2 2（充分条件充分条件） 设函数设函数 ),(yxfz 在点在点 ),(00yx 的某邻域内连的某邻域内连 续，有一阶及二阶连续偏导数，又续，有一阶及二阶连续偏

7、导数，又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，则则 (1) 02 BAC时具有极值，且时具有极值，且 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值； (2) 02 BAC时没有极值；时没有极值； (3) 02 BAC时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值， 还需另作讨论还需另作讨论 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。求求函函数数 ),(

8、yxfz 极极值值的的一一般般步步骤骤： 第第一一步步 解解方方程程组组 , 0),( yxfx0),( yxfy求出所有驻点求出所有驻点. . 第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx， 求求出出二二阶阶偏偏导导数数的的值值 A、B、C. . 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值. . 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例4 求函数求函数xyyxyxf3),(33 的极值。的极值。解解,33),(2yxyxfx .33),(

9、2xyyxfy 求解方程组：求解方程组： . 033, 03322xyyx得驻点得驻点 .,22xyyx).1 , 1( ),0 , 0(,6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6),(yyxfyy , )0 , 0( 处处在在, 0)0 , 0( xxfA, 3)0 , 0( xyfB. 0)0 , 0( yyfC92 BAC. 0 因此，驻点因此，驻点. )0 , 0(不不是是极极值值点点有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。,6),(xyxfxx , 3),( yxfxy.6

10、),(yyxfyy , )0 , 0( 处处在在, 0)0 , 0( xxfA, 3)0 , 0( xyfB. 0)0 , 0( yyfC92 BAC. 0 因此，驻点因此，驻点. )0 , 0(不不是是极极值值点点, )1 , 1( 处处在在, 06)1 , 1( xxfA, 3)1 , 1( xyfB. 6)1 , 1( yyfC22)3(66 BAC. 027 因此，驻点因此，驻点. )1 , 1(是是极极小小值值点点. 111311)1 , 1( 33 f极极小小值值有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放

11、又相互信任的合作环境。与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，偏导数不存在的点也可能是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。例如，显然函数例如，显然函数22yxz . )0 , 0(处处取取得得极极小小值值在在处处偏偏导导数数但但函函数数在在 )0 , 0(不存在。不存在。有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。求最值的一般求最值的一般方法方法： 将函数在将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小

12、值相互比较，其中的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值最大者即为最大值，最小者即为最小值. .与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值. .3 3、多元函数的最值、多元函数的最值有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例 5 5 求求 122 yxyxz 的的最最大大值值和和最最小小值值. . , 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1

13、(22222 yxyxyyxzy得得驻驻点点 )21,21( 和和 )21,21( , , 解解令令即即边边界界上上的的值值为为零零. . 因为因为 01lim22 yxyxyx 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。即即边边界界上上的的值值为为零零. . ,21)21,21( z,21)21,21( z所所以以最最大大值值为为21，最最小小值值为为21 . . 因为因为 01lim22 yxyxyx 无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外， 并无其

14、他条件并无其他条件. .有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。实例实例：小王有：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买买 x 张磁盘，张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为效果函数为 U(x, y) = lnx+lny 设每张磁设每张磁 盘盘 8 元，每盒磁带元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果元以达到最

15、佳效果问题的问题的实质实质：求：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),( 200108 yx三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数 ),(yxfz 在条件在条件 0),( yx 下的可能下的可能 极值点极值点, , 条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值先先构构造造函函数数 ),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 为为某某一一常常数数，

16、可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , , yx，其其中中yx ,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标. . 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。拉拉格格朗朗日日乘乘数数法法可可推推广广到到自自变变量量多多于于两两个个的的情情况况： 要要找找函函数数 ),(tzyxfu 在在条条件件 0),( tzyx ， 0),( tzyx 下下的的极极值值。 先先构构造造函函数数（其其中中21 , 均均为为常常数数） ),(),

17、(tzyxftzyxF),(),(21tzyxtzyx . 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(tzyxtzyxtzyxFtzyxFtzyxFtzyxFtzyx 求解方程组求解方程组解出解出 x, y, z, t 即得即得可能极值点的坐标可能极值点的坐标.有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。解解 )22()22()22(xyxyFzxxzFzyyzFzyx 则则例例6 求表面积为求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积. 设长方

18、体的长、宽、高为设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为体积为 V .则问题就是条件则问题就是条件求函数求函数的最大值的最大值.)0, 0, 0( zyxxyzV令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxF , 0 , 0 , 0 . 02222 axzyzxy02222 axzyzxy下，下，有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 )22()22()22(xyxyFzxxzFzyyzFzyx 则则令令),222(),(2axzyzxyxyzzyxF , 0 , 0 , 0

19、. 02222 axzyzxy即即 )4( 0222)3( )(2)2( )(2)1( )(22axzyzxyyxxyzxxzzyyz , 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。, 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得,zyzxyx ,zxyxzy 于是，于是，. zyx 代入条件，得代入条件，得. 02222 axxxxxx,622ax 解得解得,

20、66ax ,66ay .66az .3666666663maxaaaaV 这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。 因为由问题本身可知，因为由问题本身可知，所以，所以， 最大值就在此点处取得。最大值就在此点处取得。故，最大值故，最大值最大值一定存在，最大值一定存在，有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例 7 7 将正数将正数 1212 分成三个正数分成三个正数zyx , ,之和之和 使得使得 zyxu23 为最大为最大. . 解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , ,

21、 12 0 020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 则则 )4( ,12)3( ,)2( ,2)1( ,323322zyxyxyzxzyx 由由 (1)，(2) 得得(5) ,32xy 由由 (1)，(3) 得得(6) ,31xz 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。即即，得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(， .691224623max u将将 (5)，(6) 代入代入 (4)： 123132 xxx于是，得于是，得, 6 x, 4 y. 2 z这是唯一可能的极值点。这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值故，最大值有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结作业：作业：70页页 1 6，9