定积分的概念与性质-公开课ppt课件.pptx

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1、5.1定积分的概念与性质 第五章第五章新课引入新课引入? ? 我们以前学过一些图形面积我们以前学过一些图形面积的的计算，计算，请大家回想一下，你学过哪些图形的面请大家回想一下，你学过哪些图形的面积公式？积公式？ 正方形、矩形、三角形、梯形、圆、正方形、矩形、三角形、梯形、圆、扇形等。扇形等。规则规则图形图形? ? 不规则图形的面积你会求吗？如山东省的面积、济南市的面积、大明湖的面积下图的面积你会求吗？ 同学们听说过曹冲称象的故事吗？古代没有那么大的秤，曹冲是怎样秤出大象的体重的？ 我们可不可以把这个不规则的图形分割以后一块一块地求？用两组互相垂直的平行线分割这个图形： 中间这些矩形的面积容易求

2、出，边界处的图形中有一条边为曲边，所以面积不容易求. 我们把边界处的图形叫作曲边梯形.由连续曲线由连续曲线所围的平面图形称为所围的平面图形称为曲边梯形曲边梯形。与三条直线与三条直线如何求曲边梯形的面积？如何求曲边梯形的面积？?A)(xfy ax bx 用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积bxax ,轴及 x基本思路基本思路:( ),( ( )0)yf xf x如何才能使如何才能使 这种近似代取更精确？这种近似代取更精确？当曲边梯形的底边趋近于零时当曲边梯形的底边趋近于零时,矩形面积无限地趋近于曲边梯形的面积矩形面积无限地趋近于曲边梯形的面积求曲边梯形的具体方法求曲边梯形

3、的具体方法:1.将曲边梯形分成无穷多个小的曲边梯形将曲边梯形分成无穷多个小的曲边梯形2.在每个小在每个小曲边梯形的底边上作曲边梯形的底边上作一个矩形近似代取小的曲一个矩形近似代取小的曲边梯形边梯形 1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积(1) 分割分割在区间 a , b 内, 任意插入 n 1 个分点(2) 近似近似把区间 a , b 分成 n 个小区间1x2x1ix1ix1 -nx)(xfy ？AOabxybxxxxxann1210,1iiixx任取）（，（nixxxxfAiiiiii, 2 , 1-)(1 -化整为零化整为零以直代曲以直代曲(3) 求和求和(4) 取极限取极限令则2. 变速直线运

4、动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在 T1, T2 内物体所经过的路程 s.已知速度(1) 分割分割将它分成在每个小段上物体经n 个小段过的路程为niiAA1iniixf1)(max1inixiniixfA10)(lim,)(21TTCtvv, 0)( tv个分点，中任意插入在1,21nTT), 2 , 1(,1niTTii), 2 , 1(niSi积零为积零为整整精确化精确化(2) 近似近似(3) 求和求和(4) 取极限取极限上述两个问题的共性:1 解决问题的方法步骤相同:“分割分割 , 近似近似 , 求和求和 , 取极限取极限 ”2 所求量极限结构式相同: 乘积和式的极限乘

5、积和式的极限令，任取,1iiitt代替变速以)(iviS),()(1iiiiittttv., 2 , 1niniiSS1,)(1niiitvmax1init 抛去几何意义和物理意义，我们把具有这两个共性的问题，用定积分来表示：iniibaxfdxxf10)()(liminiiTTtvdttv10)()(21lim5.1.2 定积分的定义定积分的定义 任意插入n个把区间a, b分成 n 个小总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数记怎样分法,f (x) 在a , b记作分点区间令1 定义定义作乘积并作和也不论怎样取法,如果不论a, b上的定积分,即设函数中上有界，在在,)(babaxfb

6、xxxxxann1210), 2 , 1(,1nixxii), 2 , 1( ,-1nixxxiiimax1inix), 2 , 1(,1nixxiii上任取在小区间，iixf)(，niiixfS1)(i0max1inix只要Sbadxxf)(其中 积分号积分号; 被积函数被积函数; 被积表达式被积表达式; 积分变量积分变量; 积分限积分限.注注 (1)叫做f (x) 的积分和.的定积分存在,若f (x) 在a , b上的称f (x) 在a , b上可积.(2) 定积分的值与积分变量的记号无关, 仅与f (x) 和a , b 有关.即(3)(4)是数值.是函数,a = b 时,iniibaxf

7、dxxf10)()(lim)(xfxdxxf)(ba,iniixf1)(bababadttfduufdxxf)()()(baabdxxfdxxf)()(0)(badxxfdxxf)(badxxf)(12v函数的可积性 如果函数f(x)在区间a, b上的定积分存在, 则称f(x)在区间a, b上可积. 定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x)在区间a, b上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积. 可积的充分条件13例例 用定积分表示极限用定积分表示极限.11lim1ninnin解ninnin111l

8、imnninin11lim1iixxxd110 x01ni 1niv定积分的定义niiibaxfdxxf10)(lim)(. 14 这是因为baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010. Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值A定积分的几何意义 15abyx

9、1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和定积分的几何意义 Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值A16例2xx d1102求解421xyoxy11xx d1102例1利用定积分的几何意义，计算利用定积分的几何意义，计算解17三、定积分的性质1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 性质1 性质2 2 babadxxfkdxxkf)()(. 性质3 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 注：值得注意的是不论a, b, c的相对位置如何上式总成立.18利用定积分的几何意义，可

10、分别求出利用定积分的几何意义，可分别求出解解例319三、定积分的性质性质1 性质2 性质3 性质4 4 abdxdxbaba1. 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 2 babadxxfkdxxkf)()(. 20如果在区间a, b上 f (x)0, 则 性质5 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值, 则 baabMdxxfabm)()()(ab). badxxf0)(ab). 推论如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 babadxxgdxxf)()(ab). 21 如果

11、函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点 , 使下式成立 这是因为, 由性质6 性质7(定积分中值定理) baabfdxxf)()(. 积分中值公式. baabMdxxfabm)()()(, 即 baMdxxfabm)(1, 由介值定理, 至少存在一点a, b, 使badxxfabf)(1)(, 两端乘以ba即得积分中值公式.22)(f注:无论从几何上, 还是从物理上, 都容易理解平均值公式求连续变量的平均值要用到.baxxfabfd)(1)()(ba.,)(上的平均值在区间就是baxf 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点 , 使下式成立 性质7(定积分中值定理) baabfdxxf)()(. 积分中值公式. 23例例3 3 计算从0 秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度. 解 已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01Totgv vTt221TgS 24例例4 4 求求解.arctan1lim2xxxdtttt2arctan1xxdtttt)2(arctan1xx)2(xx,arctan12.2arctan1limxxxdttttarctan12lim25 小结：一、定积分定义二、定积分的性质同学们，再见！