数列求和专题(整合版)ppt课件.ppt

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1、数列求和专题1.公式法：等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式 n即直接用求和公式，求数列的前n和S11()(1)22nnn aan nSnad111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq2.2.分组求和法分组求和法：有些数列，既不是等差数有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并分别求和，然后再合并2.2.分组求和法分组求和法：比如：比如：若数列若数列 的通项可转化为的通项可转化为 的形式，且

2、数列的形式，且数列 可求出前可求出前n n项和项和 则则1211221212()()()()()nnnnnnbcsaaabcbcbcbbbcccssnnnabc nc nbbscs na2.2.分组求和法分组求和法：例例1.求下列数列的前求下列数列的前n项和项和 111112,4,6,248162nn解（解（1）：该数列的通项公式为）：该数列的通项公式为 1122nnan11111246(2)48162nnsn1111(2462 )()482nn111( 22)421212nnn111(1 )22nnn 练练.1.求数列求数列 的前的前n项和项和 cn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。

3、）为等差或等比数列。）项的特征项的特征23n1+2,2+2 ,3+2n+2， ，2(2011北京东城二模北京东城二模)已知已知an是首项为是首项为19，公差为，公差为2的等差的等差数列，数列，Sn为为an的前的前n项和项和(1)求通项求通项an及及Sn；(2)设设bnan是首项为是首项为1，公比为，公比为3的等比数列，求数列的等比数列，求数列bn 的通项公式及其前的通项公式及其前n项和项和Tn3、倒序相加法、倒序相加法如果一个数列如果一个数列 a an n ，与首末两项等与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），（都相等，为定值），可采用把正可采用

4、把正着写和与倒着写和的两个和式相加，着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法的方法称为倒序相加法. . 类型类型a1 1+an n=a2 2+an-1n-1=a3 3+an-2n-2=例例2 2、已知、已知lg(xy)2n nn n- -1 11 1n n- -1 1n nS S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . . + +l lg g( (x x y y ) )+ +l lg gy y, ,( (x x 0 0, , y y 0 0) )求求S S3.3.倒序相加法倒序

5、相加法n nn n- -1 1n nS S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . .+ +l lg gy yn nn n- -1 1n nS S = =l lg g+ +l lg g( (x x) )+ +. . . .+ +l lg gy yy yx xn nn nn n2 2S S= =l lg g+ +l lg g+ +. . . .+ +l lg g( (x xy y) )( (x xy y) )( (x xy y) )= = 2 2n n( (n n + +1 1) )S S = = n n( (n n + +1 1) )解：解：、错位

6、相减法：、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用项乘积组成，此时求和可采用错位相减法错位相减法. .既既an nbn n型型等差等差等比等比例、求和例、求和Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x0,1)解：解： Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn -，得：，得：(1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn 1-(1+n)xn+nxn+11-x= Sn= 1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)

7、2 1-xn1-x=- nxn错位相减法、错位相减法、错位相减法练习练习11+23+332+433+n3n-1=？通项通项、裂项相消法：、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前于是前n n项的和变成首尾若干少数项项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消之和，这一求和方法称为裂项相消法法. .（见到分式型的要往这种方法联见到分式型的要往这种方法联想想） 例、例、Sn= + +1131351(2n-1)(2n+1)分析分析

8、：观察数列的通项：观察数列的通项：1(2n-1)(2n+1)= （ - ）21 2n-11 2n+11这时我们就能把数列的每一项裂成这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和两项再求和裂项相裂项相消法消法例、例、Sn= + +1131351(2n-1)(2n+1)解：由通项解：由通项an=1(2n-1)(2n+1)= （ - ）21 2n-11 2n+11Sn= （ - + - + - ) 2131115131 2n-11 2n+11= （1 - ）21 2n+11 2n+1n=裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项

9、，项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。进而达到求和的目的。常见的拆项公式有：常见的拆项公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.5nnnnnnn)(11. 4bababa先求通项先求通项再处理通再处理通项项练 习 求 和：1 11 11 11 1+ + + +. . . . . . + +1 1 1 1+ +2 2 1 1+ +2 2+ +3 31 1+ +2 2+ +3 3+ +4 4+ +. . . . . + +n n1123nan解：2(

10、1)n n112()1nn111112(1)()()2231nSnn12(1)1n21nn6.并项求和法并项求和法数列求和的一般步骤：数列求和的一般步骤：等差、等比数列直接应用等差、等比数列直接应用公式法公式法求和。求和。非等差、等比的数列，通过通项化归的思非等差、等比的数列，通过通项化归的思想设法转化为等差、等比数列，常用方法想设法转化为等差、等比数列，常用方法有有分组求和法、倒序相加法、错位相减法分组求和法、倒序相加法、错位相减法不能转化为等差、等比的数列，往往通过不能转化为等差、等比的数列，往往通过裂项相消法裂项相消法求和求和,当奇数与偶数项合并后当奇数与偶数项合并后可以构成新的等差等比数列时用可以构成新的等差等比数列时用并项法并项法。