第4章-随机变量的数字特征ppt课件.ppt

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1、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 数学期望数学期望 方差方差 协方差及相关系数协方差及相关系数 矩、矩、协方差协方差矩阵矩阵我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2)( 5 .76271596110029078015709606401分一、数学期望的定义一、数学期望的定

2、义则学生的平均成绩是总分总人数(分)。即我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1|kkkpx定义定义 若XPX=xk=pk, k=1,2, 且 ， 则称 1)(kkkpxXE为随机变量X的数学期望。例例 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。2761)(611kkkkkpxXE解：解：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义 若Xf(x), -x, dxxxfXE)()(,)(|

3、dxxfx为X的数学期望。则称例例 若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为试求E(X)。0)( exp21)(xxf解：解：dxxxXEexp2)(dtttxt|exp2令dttexp0我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1、0-1分布B(1, p) , 101ppPXEX=1p+0(1-p)=p；2、二项分布B(n, p)nkknkppknknkXE0)1 ()!( !)(nkppCkXPknkkn,.1 , 0 )1 (二、几个重要的随机变量的数学期望二、几个重要的随机变量的数学期望)1

4、(111)1()!()!1()!1(knknkppknknnp;nplnlnllnppCnpkl1101)1(1令我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3、泊松分布()., 2, 1, 0,!kekkXPXk4、均匀分布U(a, b),0,1)(其他bxaabxfX011;)!1(!)(kkkkekekkXEbabadxabxXE;21)(我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物5、指数分布e()000

5、1)(xxexfx;dxexXEx01)(0 xxdedxexexx006、正态分布N(, 2)xexfXx,21)(222)(dxexXEx222)(2)(dtetxtt 222 令令我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设随机变量X的分布律为解解: Y的分布律为求随机变量Y=X2的数学期望。XPk-1 0 1313131YPk1 0 313231131031) 1(32310321)(222YE三、随机变量函数的期望三、随机变量函数的期望我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这

6、样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理 若XPX=xk=pk, k=1,2, 则Y=g(X)的期望;)()()(1kkkpxgXgEYE定理定理 若(X, Y) PX=xi ,Y=yj,= pij, i, j=1, 2, , 则Z= g(X，Y)的期望;),(),()(11ijijijpyxgYXgEZE若Xf(x), -x, 则Y=g(X)的期望.)()()()(dxxfxgXgEYE若(X, Y) f (x, y), -x, -y0的指数分布，其概率密度为：问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（m, n,均已知）？2、市场策略方面

7、 0001)(yyeyfy 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物方差是衡量随机变量取值波动波动 程度程度的一个数字特征。如何定义？一、方差的定义一、方差的定义我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义 若E(X),E(X2)存在，则称 EX-E(X)2, 为随机变量X的方差，记为D(X), 或Var(X)。连续型情形离散型情形,)()(,)()(212dxxfXExxXPXExXDkkk)()(

8、XDX 称 为随机变量X的标准差。可见推论推论 D(X)=E(X2)-E(X)2证明证明: D(X)=EX-E(X)2 )()(222XEXXEXE22)()()(2)(XEXEXEXE22)()(XEXE我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 设随机变量X的概率密度为101011)(xxxxxf(1)求D(X), (2)求D(X2)。0)1 ()1 ()( )1 (1001dxxxdxxxXE61)1 ()1 ()(1020122dxxxdxxxXE61)()()( 22XEXEXD解：解：

9、2242)()()( )2(XEXEXD1040144)1 ()1 ()(dxxxdxxxXE151180761151)()()( 22242XEXEXD我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1、D(C)=0；2、D(aX)=a2D(X), a为常数；证明证明:222)()()(aXEXaEaXD222)()(XaEXEa)()(222XEXEa)(2XDa二、方差的性质二、方差的性质3、)()(2)(2 )()()(YEXEXYEYDXDYXD特别地，若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)

10、+D(Y);niniiinXDXDXX111)()(,.,独立，则若类似地我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1、二项分布B(n, p)nkppCkXPknkkn,.1 , 0 )1 (三、几个重要的随机变量的方差三、几个重要的随机变量的方差设则,1niiXX22)()()( iiiXEXEXDniiXDXD1)()( )1 ()1 (1pnpppni)1 (2pppp, ,0 , 1次实验不成功第次实验成功第iiXi且我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢

11、？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2、泊松分布()., 2, 1, 0,!kekkXPXk0122)!1(!)(kkkkkekekkXE而1)!1()(kkkeXE两边对求导得ekkkk)1 ()!1(11ekkk1)!1()1 ()!1(1kkkek222)1 ()()()(XEXEXD我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3、均匀分布U(a, b)12)()(2abXD21)(XD4、指数分布e()5、正态分布N(, 2)2)(XD例例 设活塞的直径 XN(22.40

12、,0.032), 气缸直径YN(22.50,0.042), X与Y 相互独立。任取一只活塞和一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。例例 已知随机变量X1, X2, , Xn 相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+Xn ，求E(Y2)。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定理定理 若随机变量X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。;)(| )(|2XDXEXP.)(1| )(|2XDXEXP已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标

13、准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解解: 由切比雪夫不等式1 . 01 . 0| 1|22aaXP1 . 02a32. 0 a它有等价形式我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义 若随机变量X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y)为X与Y的协方差协方差。特别地，当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数易见 Cov(X,Y)=E

14、(XY) E(X)E(Y)。 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 设(X, Y)在D=(X, Y)：x2+y21上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。(1) Cov(X,Y)=Cov(Y, X);(2) Cov(X,X)=D(X); Cov(X,c)=0(3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为常数；(4) Cov(X+Y，Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);(5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2Cov(X, Y). 协方差的性质协

15、方差的性质我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 设随机变量XB(12,0.5), YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差。解：解：由XB(12,0.5), YN(0,1)知知 D(X)=np(1-p)=120.5(1-0.5)=3, D(Y)=1 因此 D(V)=D(4X+3Y+1)= D(4X+3Y)= D(4X) +D(3Y)+2Cov(4X,3Y)= 16D(X) +9D(Y)+24 Cov(X,Y) =33D(W)=D(-2X+4Y)

16、= 4D(X) +16D(Y)-12Cov(X,Y) =40Cov(V,W)=Cov(4X+3Y,-2X+4Y)=Cov(4X,-2X)+Cov(4X,4Y)+Cov(3Y,-2X)+ Cov(3Y,4Y)=-8Cov(X,X)+10Cov(X,Y)+12Cov(Y,Y)=-22我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义 若随机变量X, Y的方差和协方差均存在,且DX0, DY0, 则称DYDXYXCovXY),(注：注：称 为X的标准化。DXXEXX)(*易知EX*=0，DX*=1。且)()

17、,(*YXEYXCovXY二、相关系数二、相关系数为X与Y的相关系数相关系数。相关系数的性质相关系数的性质(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a, b使PY= aX+b=1；(3)X与Y不相关 XY =0 。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物设(X,Y)服从区域D: 0 x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数。D1x=yothersDyxyxf0),(2),( 解解:(1,1)0 xy,322)( 010 xdyxdxXE,312)(010 xydydxYE,412)(010 x

18、ydyxdxXYE,361)()()(),(YEXEXYEYXCov,181942)(0102xdydxxXD,181912)(0210 xdyydxYD21)()(),(YDXDYXCovXY因此我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物XYXYXYUXXYUX求求,),1 , 1()2(,),1 , 0() 1 (22以上结果说明了什么？解解: (1) 由题意，计算可得454)( ,121)(,41)( ,31)( ,21)(YDXDXYEYEXE968.0454121121 XY(2)0)( ,

19、0)(XYEXE0 XY0 xy我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物其联合密度设),(),(222121NYX可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。 ,)()(2)()1 ( 21exp121),(2222212121212221yyxxyxf.XY则但由前可知，对一般的二维随机变量(X,Y)，如果X与Y 独立, 则X与Y一定不相关；如果X与Y 不相关, 则X与Y不一定独立。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是

20、我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物4、k+l阶混合中心矩 EXE(X)kYE(Y)l, k, l=0, 1, 2, 。4 4 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵可见，数学期望E(X)即为X的1阶原点矩；方差D(X)=E(X-E(X)2即为X的2阶中心矩；协方差Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)即为X和Y的1+1阶混合中心矩。1、k阶原点矩 Ak=E(Xk), k=1, 2, ；2、k阶中心矩 Bk=EX-E(X)k, k=1, 2, ；3、k+l阶混合原点矩 E(XkYl), k, l=0, 1, 2, ；我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一

21、个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物定义定义 设X1, , Xn为n个随机变量, 记cij=cov(Xi, Xj), i, j=1, 2, , n,则称由cij组成的n阶方阵为随机变量 X1, , Xn 的协方差矩阵C。即nnnnnnnnijccccccccccC.)(212222111211我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物E(C)E(cX)E(X+Y)E（ XY）定 义 式函 数 的 期 望E（ X)D(C)D(cX)D(X+Y)定义式计算式D（X)COV(X,X)COV(aX,bY)COV(X+Y,Z)定义式计算式COV（X,Y)不相关与独立相关系数六种常用随机变量的期望与方差