高等代数ppt课件（北大版）第一章多项式.ppt

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1、2022-8-4数学与计算科学学院2022-8-4数学与计算科学学院2022-8-4数学与计算科学学院因式分解与多项式系数所在数域有关因式分解与多项式系数所在数域有关如：如： 422422xxx 2222xxx（在有理数域上）（在有理数域上） 2222xxxixi问题的引入问题的引入（在实数域上）（在实数域上）（在复数域上）（在复数域上）2022-8-4数学与计算科学学院设设 ，且，且 ，若，若( ) p xP x 1p x( )p x不能表示成数域不能表示成数域 P上两个次数比上两个次数比 低的多项式的低的多项式的 ( )p x定义：定义：乘积，则称乘积，则称 为数域为数域P上的上的不可约多

2、项式不可约多项式.( )p x说明：说明： 一个多项式是否不可约依赖于系数域一个多项式是否不可约依赖于系数域. 一次多项式总是不可约多项式一次多项式总是不可约多项式. 一、不可约多项式一、不可约多项式2022-8-4数学与计算科学学院 多项式多项式 不可约不可约 ( )( ( )1p xp x( )p x的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍. ( )( )( ),( )1.p xf xp xf x 或或 多项式多项式 不可约，对有不可约，对有( ) f xP x( )p x证：设证：设 则则 ( ( ),( )( ),p xf xd x ( )( )d

3、x p x或或( )( ),0d xcp xc( )( )d xcp x ( ( ),( )1p xf x ( )( )p xf x( )0d xa即即 或或( )1,d x 2022-8-4数学与计算科学学院不可约不可约. ，若，若 ( )p x( ), ( ) f xg xP x( )( ) ( ),p xf x g x则则 或或 ( )( )p xf x( )( ).p x g x证：若证：若 结论成立结论成立 .( )( ),p xf x4Th若若 不整除不整除 ，则，则 ( ( ),( )1p xf x ( )( )p xf x定理定理5：( )( ).p xg x不可约，不可约，

4、( )p x12( )( )( )( ),sp xfx fxfx则必有某个使得则必有某个使得 ( ),if x( )( ).ip xf x推论：推论：2022-8-4数学与计算科学学院( )( ),p xP x若若 ，则，则 可可( ( )1f x( )f x唯一地分解成数域唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，若有两个分解式所谓唯一性是说，若有两个分解式 1212( )( )( )( )( )( )( )stf xp x pxp xq x qxq x1. 定理：定理：则则 ，且适当排列因式的次序后，有，且适当排列因式的次序后，有 st ( )

5、( )iiip xc q x 其中其中 是一些非零常数是一些非零常数 (1,2, )ic is 二、因式分解及唯一性定理二、因式分解及唯一性定理2022-8-4数学与计算科学学院证：对证：对 的次数作数学归纳的次数作数学归纳. ( )f x1( ( )1f x 时，结论成立时，结论成立下证下证的情形的情形. ( )f xn设对次数低于设对次数低于n的多项式结论成立的多项式结论成立2 （一次多项式都不可约）（一次多项式都不可约） 若若 是不可约多项式是不可约多项式. ( )f x若若 不是不可约多项式，则存在不是不可约多项式，则存在 ( )f x12( ),( ),fxfx且且 使使 ( ),1

6、,2if xni12( )( )( )f xfx fx 结论显然成立结论显然成立由归纳假设由归纳假设 皆可分解成不可约多项式的积皆可分解成不可约多项式的积. 12( ),( )fxfx2022-8-4数学与计算科学学院再证唯一性再证唯一性 .12( )( )( )tq x qxq x ( )f x可分解为一些不可约多项式的积可分解为一些不可约多项式的积. ( ),( )1,2, ;1,2, .ijp x qxisjt都是不可约都是不可约设设 有两个分解式有两个分解式( )f x12( )( )( )( )sf xp x pxp x 多项式多项式.对对 作归纳法作归纳法 s若若 则必有则必有 1

7、,s 1,st11( )( )( )f xp xq x2022-8-4数学与计算科学学院假设不可约多项式个数为假设不可约多项式个数为 时唯一性已证时唯一性已证. 1s 由由()112( )( )( )( )tp x q x qxq x不妨设不妨设 则则 1( )( ),jqxq x 11( )( )p x q x1111( )( ),0q xc p xc1( )( ).jp x qx使得使得 ( ),jqx (1)两边消去两边消去1( ),q x1212( )( )( )( )stpxp xcqxq x 由归纳假设有由归纳假设有 11,st 即得即得.st2022-8-4数学与计算科学学院(

8、)f x总可表成总可表成 1212( )( )( )( )srrrsf xcpx pxpx ( ) ,( )1,f xP xf x对对其中为其中为 的首项系数，的首项系数， 为互不相同的，为互不相同的，c( )f x( )ip x 首项系数为首项系数为1的不可约多项式，的不可约多项式，.irZ 的的标准分解式标准分解式.称之为称之为( )f x2. 标准分解式：标准分解式：2022-8-4数学与计算科学学院说明说明 若已知两个多项式若已知两个多项式 的标准分解式的标准分解式, ,( ),( )f xg x ( ),( ) .f xg x则可直接写出则可直接写出就是那些同时在就是那些同时在 的标

9、准的标准( ),( )f xg x ( ),( )f xg x分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带方幂指数等于它在中所带的方幂指数方幂指数等于它在中所带的方幂指数( ),( )f xg x中较小的一个中较小的一个2022-8-4数学与计算科学学院( )( ),1,2,iif x g xrlis例如，若的标准分解式分别为例如，若的标准分解式分别为( ),( )f xg x1212( )( )( )( ),0srrrsif xapx pxpxr1212( )( )( )( ),0slllsig xbpx pxpxl则有则有 1212( ), ( )(

10、 )( )( ),ssf xg xpx pxpx min,1,2,iiir lis 1212( ), ( )( )( )( ),suuusf xg xpx pxpx max,1,2,iiiur lis2022-8-4数学与计算科学学院 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，虽然因式分解定理在理论有其基本重要性，但并未给出一个具体的分解多项式的方法但并未给出一个具体的分解多项式的方法实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项式式的方法是不存在的而且在有理数域上，多项的方法是不存在的而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的式的可约性的判定都是非常复杂的