二次型及其标准型ppt课件.ppt

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1、l 在解析几何中，为了便于研究二次曲线l l的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：l l把方程化为标准形) 1 (122cybxyaxcossinsincosyxyyxx122ynxm 从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问题或是实际问题中常会遇到。 现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。) 1 (122cybxyax 定义定义1：含有n个变量x1 , x2 ,xn的二次齐次函数nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122),(nnxxaxa22222222nnnxani

2、njjiijxxa11ijjijiijjiijjiijxxaxxaxxaaa2,ninjjiijnxxaxxxf1121),(111 11221221 122221 122()()()nnnnnnnnnnx a xa xa xx a xa xa xx a xa xa xnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(1112112122221212nnnnnnnnaaaxaaaxx xxaaaxTx AxnnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA21212222111211,1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT;2）A=(ai

3、j), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型；3) A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型；4）称为R(A)为二次型 f 的秩。;34),() 1 (22212121xxxxxxf;34),()2(222121321xxxxxxxf321321321000032021),()2(xxxxxxxxxf11212212123xf x xxxx( )(,)解：解：定义定义9. 称只含有平方项的二次型为二次型的标准型（或法式）。2221122nnf y y y112212Tnnyy nyyyyyy 所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线性变换：TTTT()()() .fx

4、AxcyA cyyc Ac yTxcyfx Ax即把化成标准型。于是11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc y xc yc yc yxc y +c y +c y 定理定理9 任给可逆矩阵 C ，令 B=C TAC，若 A 为对称矩阵，则 B 亦为对称矩阵，且 R(B)=R(A)。 证证： A为对称矩阵，即有 A T=A，于是， B T =(C TAC) T=C TAT(C T) T=C TAC=B .故 B 为对称矩阵. 再证 R(B)=R(A).因 B=C TAC, 故 R(B) R(AC) R(A).又因 A=(C T) -1BC -1,故 R(A)

5、R(BC -1) R(B)于是 R(B)=R(A). 这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ，C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAxTTT2221122112212T()CyACyy C ACyyy nnnnn y y yyyyyyy 也就是要使 C TAC 成为对角阵，即， C TAC=，因此，我们主要的问题就是：对于对称矩阵 A ，寻求可逆矩阵 C ，使 C TAC=. 由上节定理 8 知 , 任给实对称矩阵A，总有正交矩阵 P,使PTAP =. 把此结论用于二次型，即有：定理定理10. 任意 二次型ninjjiijnxxaxxxf1121),(222112212(),xPy A.，总有正交变换使 化为标准型其中， ，是 的矩阵 的 个特征值ijjinnnaaffyyyfn