第2讲-典型环节与开环系统频率特性ppt课件.ppt

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1、1、典型环节、典型环节典型环节可分为两大类：最小相位和非最小相位，见教材（自学）典型环节可分为两大类：最小相位和非最小相位，见教材（自学）主要介绍最小相位环节主要介绍最小相位环节 比例环节：KsG)(KjG)(2、典型环节的频率特性、典型环节的频率特性ReImK比例环节的幅相频率特性图为实轴上的K点。频率特性：频率特性：0)()(kAlogdBL/ )(log)(180180对数幅频特性：对数幅频特性： 111000lg20)(KKKKL常数Klog201K1KKlog201KKlog20001800)(KKK相频特性：相频特性： 0K0K比例环节的对数幅相频率对数（比例环节的对数幅相频率对数

2、（Bode）图：）图：频率特性：频率特性：2111)(ejjjG2)01()(1tg1)(AReIm0 积分环节的频率特性：积分环节的频率特性：ssG1)(积分环节的频率特性为积分环节的频率特性为负虚轴。频率负虚轴。频率 从从0特性曲线由虚轴的特性曲线由虚轴的趋向原点。趋向原点。090)(lg20)(，L对数幅频特性是直线，斜率为对数幅频特性是直线，斜率为-20。20lg)(ddL 横坐标横坐标lg 每增加单位长度每增加单位长度，L()就减少就减少20dB，记作，记作 -20dB/dec（-20dB /十倍频程十倍频程），该线），该线与零分与零分贝交点为贝交点为 =1。对数相频特性是对数相频特

3、性是-900的水平线。的水平线。1101 . 0)(dBj11001101 . 0100o90)(积分环节的对数频率特性图：积分环节的对数频率特性图：1)(A2)01()(1tg-20-9003、微分环节微分环节2)(jejjGssG)(，微分环节的频率特性图：微分环节的频率特性图：0j对数幅频特性和相频特性为对数幅频特性和相频特性为( Bode图）图）：090)(lg20)(，L对数幅频特性是直线，斜率为对数幅频特性是直线，斜率为20。20lg)(ddL对数幅频特性与相频特性如右图：对数幅频特性与相频特性如右图：1101 . 0)(dBj1 . 0090110因为微分环节与积分环节互为倒数，

4、因为微分环节与积分环节互为倒数，故图形也正好相反故图形也正好相反4、惯性环节、惯性环节11Ts)(sX)(sY)()()1 (sXsYTs当当 x(t) = 1(t)，其微分方程的解为其微分方程的解为 ：)0(1)(tetyTt由于其阶跃响应不是立即达到，响应具有惯性，因而惯性环节由于其阶跃响应不是立即达到，响应具有惯性，因而惯性环节由此得名。由此得名。11)(TssG11)(TjjGTtgTA122)(,11)(0)0(1)0(0，时：A45)1(21)1(1TTAT，时：90)(0)(，时：A0T1频率特性为：频率特性为：完整的频率特性图是一完整的频率特性图是一个圆，对称于实轴。个圆，对称

5、于实轴。011TK2K11)(jjG下半个圆对应于正频率部下半个圆对应于正频率部分，而上半个圆对应于负分，而上半个圆对应于负频率部分。频率部分。TtgTA122)(,11)(11)(TssG11)(TjjG采用分段直线近似表示：采用分段直线近似表示：221log20)(log20)(TAL低频段：当低频段：当 时，时， ，称为低频渐近线，称为低频渐近线， 。1T0)(L高频段：当高频段：当 时，时， ，称为高频渐近线。这是，称为高频渐近线。这是一条斜率为一条斜率为-20dB/Dec的直线，的直线， 。1TTLlg20)( 当当 时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当时，对数幅频曲线趋近于低频渐近

6、线，当 时，趋近于高频渐近线。时，趋近于高频渐近线。0低频与高频渐近线的交点为：低频与高频渐近线的交点为： ，得：，得：，称为转折频率，称为转折频率， 。 Tlg200TTo1, 1可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。对数幅频特性：对数幅频特性：o0)(o90)(o45)(图中，红、绿线图中，红、绿线分别是低频、高分别是低频、高频渐近线，蓝线频渐近线，蓝线是实际曲线。是实际曲线。0451)1(arctgT当T1时，)( 3)21lg(20)1(dBTL5、一阶微分环节、一阶微分环节)1()(TjTjG1)( TssG，其频率特

7、性为：其频率特性为：其其Bode图为（设图为（设T=1)：1101 . 0)(dB1000451 . 010901010020j相当于纯微分环节的特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。向右平移一个单位。幅频和相频特性分别为：幅频和相频特性分别为：2222)2()1 (1)(TTA22112)(TTtg6 振荡环节振荡环节：222222121)(nnnssTssTsG讨论讨论 时的情况。时的情况。频率特性为：频率特性为：10TjTjG2)1 (1)(22当当 时，时， 曲线在曲线在3，4象限；当象限；当 ，与之对称于实轴。与之对称于实轴。 000)(, 1)(0A，时当2222)2

8、()1(1)(TTA22112)(TTtg，时当T1;2)(,21)(A，时当)(, 0)(A实际曲线还与阻尼系数实际曲线还与阻尼系数有关有关讨论：讨论：00由图可见无论是欠由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本统，其图形的基本形状是相同的。形状是相同的。当过阻尼时，阻尼当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越系数越大其图形越接近圆。接近圆。对数幅相频率特性对数幅相频率特性：2222)2()1 (1)(TTA幅频特性为：幅频特性为：22112)(TTtg相频特性为：相频特性为：2222)2()1 (log20)(log20)(TTAL对数幅频特性为：对数幅频特性为：低频段渐近

9、线：低频段渐近线：0)(1LT时，高频段渐近线高频段渐近线：TTLTlog40)(log20)(1222 时，两渐进线的交点两渐进线的交点 称为转折频率。斜率为称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。To1相频特性：相频特性：22112)(TTtg几个特征点：几个特征点：。)(,;2)(,1; 0)(, 0T由图可见：由图可见：对数相频特性曲线对数相频特性曲线在对数坐标系中对在对数坐标系中对于于(1/T)=1, -90)点是斜对称的。点是斜对称的。 对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线有峰值。有峰值。1101 . 0)(dB1000901 . 01018010100decdB/40下图是当下图是当

10、T=1时的图时的图对对 求导并令等于零，可解得求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率的极值对应的频率 。)(A)(ApTp221该频率称为谐振峰值频率。可见，当该频率称为谐振峰值频率。可见，当 时，时， 。当当 时，无谐振峰值。当时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。时，有谐振峰值。707. 0210p21212121)(ppAM当 ， ， 。021)(0A2lg20)(0L因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。有很大的误差。 左图是不同阻尼系数情况下的左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性对数幅

11、频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。渐近线之间的误差曲线。7 二阶微分环节：二阶微分环节：12)(22TssTsG幅频和相频特性为：幅频和相频特性为：221222212)(,)2()1 ()(TTtgTTA对数频率特性为：对数频率特性为：221222212)(,)2()1 ()(TTtgTTA低频渐进线：低频渐进线：0)(1LT时，高频渐进线：高频渐进线：TTTLTlog40)2()1 (lg20)(12222 时，转折频率为：转折频率为： ，高频段的斜率，高频段的斜率+40dB/De

12、c。To1相角：相角：)(,;2)(,1; 0)(0T时，当可见，相角的变化范围从可见，相角的变化范围从0180度。度。2222)2()1 (lg20)(TTL 由前面分析和上两图可见由前面分析和上两图可见, 二阶微分环节对数幅频曲线和对数相频曲线分二阶微分环节对数幅频曲线和对数相频曲线分别与振荡环节对数幅频曲线和对数相频曲线关于别与振荡环节对数幅频曲线和对数相频曲线关于0分贝线及分贝线及0度线成镜像对称度线成镜像对称.二阶微分环节二阶微分环节振荡环节振荡环节8延迟环节延迟环节 频率特性：频率特性： 是一个单位圆，如果与其他的环节串联则只使其移位。是一个单位圆，如果与其他的环节串联则只使其移位

13、。 对数幅频特性对数幅频特性 对数相频特性对数相频特性 Tje dB020lg1jG20lgL 0TjT57.3T(rad)e1T10T110T( ) 0100200300400TejGjT3 .571)(3、开环系统幅相频率特性的绘制（绘制奈氏图）、开环系统幅相频率特性的绘制（绘制奈氏图） 开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成，开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成，或是一个有理分式，绘制方法如下：或是一个有理分式，绘制方法如下：q 确定幅相特性曲线的起点和终点确定幅相特性曲线的起点和终点q 确定幅相特性曲线和实轴和虚轴的交点确定幅相特性曲线和实轴和虚轴的交点（穿越频率

14、）（穿越频率）q 确定幅相特效曲线的变化范围和趋势确定幅相特效曲线的变化范围和趋势q 将开环系统的频率特性写成将开环系统的频率特性写成 的形式，根据不同的的形式，根据不同的 算出算出 ，可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。，可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。)()(jeA)(),(A绘制方法：q 使用使用MATLAB工具绘制。工具绘制。例例5-1设开环系统的频率特性为：设开环系统的频率特性为： 试列出实频和虚频特性的表达式。当试列出实频和虚频特性的表达式。当 绘制奈氏绘制奈氏图。图。)1)(1 ()(21jTjTkjG5, 1, 121TTk解：)()()1)(1 ()()1)(1 ()

15、1 ()1)(1 ()1)(1 ()(2222212122222122122222121jQPTTTTkjTTTTkTTjTjTkjG当 时，5, 1, 121TTk)251)(1 (6)(,)251)(1 (51)(22222QP 找出几个特殊点（比如找出几个特殊点（比如 ，与实、虚轴的交点等），与实、虚轴的交点等），可大致勾勒出奈氏图。可大致勾勒出奈氏图。 , 0 0-1.72-5.770 0-0.79 00.38510.80.20)(P)(Q5165相角： -180-114.6 -90-56.300.80.20)(51用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。)251)(1 (6)(,)251)(

16、1 (51)(22222QP幅值：22)()()(QPA21111)()()(TtgTtgkPQtg零型系统若零型系统若包含包含n个惯个惯性环节性环节时，0当当0900)(njG00)0( KjG时，当当事实上事实上例例5-2设开环系统的频率特性为：设开环系统的频率特性为：)1)(1 ()(21jTjTjkjG试绘制极坐标特性曲线。试绘制极坐标特性曲线。解：)()( )1)(1 ()1 ()1)(1 ()()(22222122122222121jQPTTTTkjTTTTkjG21112)(TtgTtg)()()1)(1 ()1 ()1)(1 ()()(22222122122222121jQPT

17、TTTkjTTTTkjG21112)(TtgTtg分析分析1、当、当 时，时，02)0(,)0(),()0(21QTTkP显然，当显然，当 时，时， 的渐近线是一条通过实轴的渐近线是一条通过实轴 点，点，且平行于虚轴的直线。且平行于虚轴的直线。0)(jG)(21TTk2111TT2、与实轴的交点。令：、与实轴的交点。令： ，解得：，解得： ，这时：，这时：0)(Q21211)(TTTkTP3、当、当 时，时， ，渐近线方向向下。，渐近线方向向下。23)(, 0)(, 0)(QP08012K TT1 212KTTTT具有具有积分环节积分环节系统的频率特性的特点系统的频率特性的特点：njjmiis

18、TsjjG11)1 ()1 ()(1)(频率特性可表示为：频率特性可表示为：其相角为：其相角为：njjmiiTtgtg11112)(当 时，00|)(1)0(,2)0(jG当 时，)( , 0| )(,2)(2)(22)(mnjGmnnm若 显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与性与n-m有关。有关。下图为下图为0型、型、型和型和型系统在低频和高频段频率特性示意图：型系统在低频和高频段频率特性示意图：0（0型）（型）0（型）0低频段频率特性低频段频率特性| )0(| ,)0(2| )0(| ,2)0(11| )0(| , 0

19、)0(0GGG型：型：型：n-m=3n-m=1n-m=2高频段频率特性高频段频率特性23)(3)(22)(1时，时，时，mnmnmn至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等至于中频部分，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等。 4、开环系统的、开环系统的伯德图伯德图 基本步骤：基本步骤： 把系统的频率特性改写成各典型环节的乘积形把系统的频率特性改写成各典型环节的乘积形式，画出每一个环节的对数幅频和相频曲线，式，画出每一个环节的对数幅频和相频曲线，然后进行同频率叠加，即得到该系统的伯德图。然后进行同频率叠加，即得到该系统的伯德图。 例例1：) 11 . 0(10)(jsjss

20、G系统由三个典型环节组成，比例、积分和惯性环节，系统由三个典型环节组成，比例、积分和惯性环节，惯性环节的转折频率为惯性环节的转折频率为1/0.1=101)(L1010020402009045180)() 11 . 0(10)(jjjG=(/ )=例例2：开环系统传递函数为：开环系统传递函数为： ，试画出该系统的波德图。试画出该系统的波德图。2121,)1)(1 ()(TTsTsTsksG解解：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。204060然

21、后，在图上相加。11T21T20406080111T21T4590135180)(270 实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。q 确定确定 和各转折频率和各转折频率 ，并将并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；其中这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；其中,v是积分节的是积分节的个数，个数，k是比例环节是比例环节, klljjkkiiTT1,1,1,1log20log20)(kL20)( jq 确定低频渐进线：确定低频渐进线： ，就是第一条折，就是

22、第一条折 线，其斜率为线，其斜率为 ，过点（，过点（1，20lgk）。实际上是）。实际上是k和和 积分积分 的曲线。的曲线。具体步骤如下：具体步骤如下：q 高频渐进线的斜率为高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。q 相频特性还是需要点点相加，才可画出。相频特性还是需要点点相加，才可画出。遇到遇到 （一阶惯性）时，斜率下降（一阶惯性）时，斜率下降-20dB/Dec;jjT1遇到遇到 （二阶惯性）时，斜率下降（二阶惯性）时，斜率下降-40dB/Dec;llT1q 画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次

23、分段直线的斜率：一个转折频率改变一次分段直线的斜率：ii1遇到遇到 （一阶微分）时，斜率增加（一阶微分）时，斜率增加+20dB/Dec;kk1遇到遇到 （二阶微分）时，斜率增加（二阶微分）时，斜率增加+40dB/Dec;例例5-3系统开环特性为：系统开环特性为：) 14 . 025. 0)(125. 0(10)(2ssssGk试画出波德图。试画出波德图。解解：1、该系统是、该系统是0型系统，所以型系统，所以 振荡环节形式见课本振荡环节形式见课本5 . 0,25. 0,10, 021TTk则则，dBkTT20log20, 21, 4122112、低频渐进线：斜率为、低频渐进线：斜率为 ，过点（，

24、过点（1，20）dB020 3、波德图如下：、波德图如下：1012420log)(A4060244060红线红线为渐进线，为渐进线，兰线兰线为实际曲线。为实际曲线。例例5-4已知已知)05. 01)(125. 01)(101 ()1001 (10)(223ssssssG，试画波德图。试画波德图。解解：1、,2005. 01, 8125. 01, 1 . 0101,01. 01001; 2;60log20,1043213kk2、低频渐进线斜率为、低频渐进线斜率为 ，过（，过（1，-60）点。）点。dB40204、画出波德图如下页：、画出波德图如下页：3、高频渐进线斜率为、高频渐进线斜率为 ：60

25、)(20mn)60, 1 ( 2123红线为渐进线，兰线为实际曲线。四、非最小相位系统的频率特性四、非最小相位系统的频率特性 在前面所讨论的例子中，当在前面所讨论的例子中，当 时，对数幅频特性的高频时，对数幅频特性的高频渐进线的斜率都是渐进线的斜率都是-20(n-m)dB/Dec，相频都趋于，相频都趋于 。具有。具有这种特征的系统称为最小相位系统。这种特征的系统称为最小相位系统。在最小相位系统中，具有在最小相位系统中，具有相同幅频特性的系统（或环节）其相角（位）的变化范围最小，相同幅频特性的系统（或环节）其相角（位）的变化范围最小，如上表示的如上表示的 。相角变化大于最小值的系统称为非最小相角

26、变化大于最小值的系统称为非最小相位系统。相位系统。0)(2mn)(2mn 在右半在右半S S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节的平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节的系统是系统是最小相位系统最小相位系统；反之，在右半；反之，在右半S S平面上具有极点或零点，平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节的系统是或有纯滞后环节的系统是非最小相位系统非最小相位系统。 例：两个系统的开环传递函数分别为（例：两个系统的开环传递函数分别为（T1T2）它们的对数幅频和相频特性为它们的对数幅频和相频特性为 ST1ST1SG121 ST1ST1SG122 21221T120lgT120lgL 21222T12

27、0lgT120lgL 21111TtgTtg 21112TtgTtg()L()111T221T2 009 01 8 0d B01G2G显然显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由图可见，图可见， 的变化范围要比的变化范围要比 大得多。大得多。 最小相位系统最小相位系统 非最小相位系统非最小相位系统 2 1)(1sG)(2sG()L()111T221T2 009 01 8 0d B01G2G最小相位系统的特点为：最小相位系统的特点为： a.在在nm且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范围最

28、小。围最小。 b.当当=时，其相角等于时，其相角等于- (n-m) 900，对数幅频特性曲线，对数幅频特性曲线的斜率为的斜率为20(nm)dB/dec。有时用这一特性来判别该系统是否。有时用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。为最小相位系统。 c.对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。对于一个对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统确定了。也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统

29、所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。 非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。因非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相节。此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相节。六、频域实验的传递函数确定六、频域实验的传递函数确定 稳定的线性时不变系统，当其输入为正弦信号时，稳定的线性时不变系统，当其输入为正弦信号时，其输出为同频率的正弦信号，不同的是具有幅值衰减其输出为同频率的正弦信号，不同的是具有幅值衰减和相位延迟，这是由系统的本身所决定的，因此我们和相位延迟，这是由系统的本身所决定的，

30、因此我们可以通过系统的频率响应实验，来确定系统的频域模可以通过系统的频率响应实验，来确定系统的频域模型。型。 频率响应实验：保证系统的输入输出的线性度时，频率响应实验：保证系统的输入输出的线性度时，记录系统的输入和输出响应记录系统的输入和输出响应 画出系统的对数幅频特性曲线，然后以分段直线得画出系统的对数幅频特性曲线，然后以分段直线得到渐近曲线到渐近曲线1. 由渐近曲线得到系统的数学模型由渐近曲线得到系统的数学模型例：已知最小相位例：已知最小相位系统的渐近幅频特系统的渐近幅频特性如图所示，性如图所示，试确定系统的传递函数，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。并写出系统的相频特性表

31、达式。解：解：由于低频段斜率为由于低频段斜率为- -20dB/dec所所以有一个积分环节；以有一个积分环节；在在 =1处，处，L( )=15dB，可得，可得 20lgK=15，K=5.6在在 =2处，处，斜率由斜率由- -20dB/dec变为变为- -40dB/dec，故有惯性环节，故有惯性环节1/(s/2+1)在在 =7处，处，斜率由斜率由- -40dB/dec变为变为- -20dB/dec，故有一阶微分环节，故有一阶微分环节(s/7+1) 121() 171(6 . 5)(ssssG2790)(11tgtg例：已知最小相位例：已知最小相位系统的渐近幅频特系统的渐近幅频特性如图所示性如图所示

32、,试确定系统的传递函数试确定系统的传递函数。解：解：由于低频段斜率为由于低频段斜率为- -40dB/dec所所以有两个积分环节；以有两个积分环节；在在 =0.8处，处，斜率由斜率由- -40dB/dec变为变为- -20dB/dec，故有一阶微分环节，故有一阶微分环节(s/0.8+1) 在在 =30处，处，斜率由斜率由- -20dB/dec变为变为- -40dB/dec，故有惯性环节，故有惯性环节1/(s/30+1)在在 =50处，处，斜率由斜率由- -40dB/dec变为变为- -60dB/dec，故有，故有惯性环节惯性环节(s/50+1) 1501)(1301() 18 . 01()(2s

33、sssKsG2222)50(1lg20)30(1lg20lg20)8 . 0(1lg20lg20)(KL在在 =4时，时，L( )=0，这时可以不考虑转折频率在，这时可以不考虑转折频率在 =4以上的环节的影响以上的环节的影响424lg208 . 0lg20lg20)()4(KLL048 . 04lg204lg208 . 04lg20lg2022KK148 . 0K2 . 3K) 1501)(1301() 18 . 01(2 . 3)(2sssssGq 比例环节的频率特性比例环节的频率特性q 积分环节的频率特性积分环节的频率特性q 惯性环节的频率特性惯性环节的频率特性q 振荡环节的频率特性振荡环

34、节的频率特性q 微分环节的频率特性微分环节的频率特性有三种形式：纯微分、一阶微分有三种形式：纯微分、一阶微分和二阶微分。分别对应积分、一阶惯性和振荡环节和二阶微分。分别对应积分、一阶惯性和振荡环节 开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图）开环系统极坐标频率特性的绘制（绘制奈氏图）手工绘制手工绘制具有积分环节的系统的频率特性的特点，低频和高频特性具有积分环节的系统的频率特性的特点，低频和高频特性 开环系统对数坐标频率特性的绘制（绘制波德图）开环系统对数坐标频率特性的绘制（绘制波德图）手工绘制波德图的步骤手工绘制波德图的步骤 最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统 依据控制系统的频率特性曲线确定系统的数学模型依据控制系统的频率特性曲线确定系统的数学模型 5-5 5-9（2） 5-10（2）、（3）