高等数学——不定积分ppt课件.ppt

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1、第四章微分法微分法:)?()( xF积分法积分法:)()?(xf互逆运算互逆运算不定积分 二、二、 基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例: 一个质量为一个质量为 m 的质点的质点,的作tAFsin下沿直线运动下沿直线运动 ,).(tv在变力在变力试求质点的运动速度试求质点的运动速度机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律, 加速度加速度mFta

2、)(tmAsin因此问题转化为因此问题转化为:已知已知,sin)(tmAtv求求?)(tv机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在区间在区间 I 上的一个原函数上的一个原函数 .定义定义 1 . 若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F (x) 及及 f (x)满足满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或则称则称 F (x) 为为f (x) 问题问题: 1. 在什么条件下在什么条件下, 一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在若原函数存在, 它如何表示它如何表示 ? 定理定理. ,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)(

3、存在原函数存在原函数 .初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)()(的一个原函数是若xfxF定理定理. 的所有则)(xf原函数都在函数族原函数都在函数族CxF)( C 为任意常数为任意常数 ) 内内 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)( 被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;定义定义 2. )(xf在区间在区间 I 上的原函数全体称为上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分上的不定积分,d)(xxf其中

4、其中记作记作常数常数C不能丢掉不能丢掉若若, )()(xfxF则则CxFxxf)(d)( C 为任意常数为任意常数 )不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族的平行曲线族.yxo0 x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的的积分曲线积分曲线 . 例例1. 设曲线通过点设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程.解解: xy2xxy

5、d2Cx 2所求曲线过点所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有故有C2121C因此所求曲线为因此所求曲线为12 xy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yxo)2, 1 (第二节不定积分的概念与性质 xdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 基本积分表基本积分表 p170-171从不定积分定义可知从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或或Cxd)2()(xF)(xF或或Cd)(xF)(xF机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 求求.d3xxx例例3. 求求.dcossin22xxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返

6、回返回 结束结束 三、不定积分的性质三、不定积分的性质推论推论: 若若, )()(1xfkxfinii则则xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求求.d)5(2xexx解解: 原式原式 =xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求求.dtan2xx解解: 原式原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例6. 求求.d)1 (122xxxxx解解:

7、原式原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7. 求求.d124xxx解解: 原式原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表2. 直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形, 及及 基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分 .常

8、用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式 , 代数公式代数公式 ,积分性质积分性质机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习1. 若若则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1Cx 221机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 若若)(xf是是xe的原函数的原函数 , 则则xxxfd)(ln提示提示: 已知已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10机动 目录 上页 下页 返

9、回 结束 3. 若若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为的导函数为,sin x则则)(xf的一个原函数的一个原函数是是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知已知xxfsin)(求求即即B)()(xfxsin)( ?或由题意或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为其原函数为xxfd)(21sinCxCx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4. 求下列积分求下列积分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2

10、(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5. 求不定积分求不定积分解：解：.d113xeexxxeexxd113xeexxd1) 1() 1(2xxeexeexxd) 1(2Cxeexx221机动 目录 上页 下页 返回 结束 6. 已知已知22221d1d1xxBxxAxxx求求 A , B .解解: 等式两边对等式两边对 x 求导求导, 得得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、第二类换元法二、

11、第二类换元法第三三节一、第一类换元法一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章第四章 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元则有换元公式公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称也称配元法配元法即即xxxfd)()(, 凑微分法凑微分法

12、)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求求).1(d)(mxbxam解解: 令,bxau则则,ddxau 故故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 当1m时时bxaxdCbxaaln1机动 目录 上页 下页 返回 结束 22)(1d1axxa例例2. 求求.d22xax解解:22dxax,axu 令令则则xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(121duuCu arctan)(ax机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. 求求).0(d22axax21duuCu arcsin解解:2)

13、(1daxax2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4. 求求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 类似类似Caxaxaln21例例5. 求求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d机动机动 目录

14、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 常用的几种配元形式常用的几种配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例6. 求求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解:

15、 原式原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7. 求求.d3xxex解解: 原式原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例8. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例9. 求求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd

16、1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样两法结果一样机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxsin11sin1121例例10. 求求.dsecxxxxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 222d)(2123xax例例11. 求求.d)(23223xaxx解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 22

17、2axaC机动 目录 上页 下页 返回 结束 )2cos2cos21 (241xx 例例12 . 求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求求.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8

18、cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxexex111xexexxxdd xexxd) 1(例例14. 求求.d)1 (1xexxxx解解: 原式原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)1 (1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析

19、分析: xxxd) 1(1101. 求求.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101作业 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习二、第二类换元法二、第二类换元法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分若所求积分xxxfd)()(易求易求,则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法

20、.难求，难求，uufd)(定理定理2 . 设设)(tx是单调可导函数是单调可导函数 , 且且,0)( t)()(ttf具有原函数具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则有换元公式则有换元公式例例16. 求求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax则则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2a

21、xaxa22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例17. 求求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan22ttax则则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xa1C例例18. 求求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令令, ),0(,sec2ttax则则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式原式td tta

22、tansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22ax axa,时当ax令令,ux,au 则于是于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 原式原式21) 1(22ta221a例例19. 求求.d422xxxa解解: 令令,1tx 则则txtdd21原式原式ttd12tttad) 1(2122,

23、0时当x42112tta Cata2223) 1(23当当 x 0 时时, 类似可得同样结果类似可得同样结果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .32d2 xxx解解: 原式原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例20. 求求.94d2xxI例例21. 求求.1d2xxx解解: 原式原式 =22)()()(d21x2521xCx512arcsin机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例22. 求求.d22

24、2 axxx解解: 令令,1tx 得得原式原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习下列积分应如何换元才使积分简便下列积分应如何换元才使积分简便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令令21xt令令xet1令令xt1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三节第三节由导数公式由导数公式vuvuuv )(积分得积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或或uvvuvudd1) v 容易求得

25、容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 分部积分法分部积分法 第四章第四章 例例1. 求求.dcosxxx解解: 令令,xu ,cosxv 则则, 1 uxvsin 原式原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考: 如何求如何求?dsin2xxx提示提示: 令令,2xu ,sin xv 则则原式原式xx cos2xxxdcos2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 求求.dlnxxx解解: 令令,ln xu xv 则则,1xu 221xv 原式原式

26、=xx ln212xxd21Cxxx2241ln21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. 求求.darctanxxx解解: 令令,arctan xu xv 则则,112xu221xv 原式原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4. 求求.dsinxxex解解: 令令,sin xu xev , 则则,cosxu xev 原式原式xexsinxxexdcos再令再令,cosxu xev , 则则,s

27、in xuxev xexsinxxexexxdsincos故故 原式原式 =Cxxex)cos(sin21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解题技巧解题技巧:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积把被积函数视为两个函数之积 , 按按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的的顺序顺序, 前者为前者为 后者为后者为u.v例例5. 求求.darccosxx解解: 令令,arccosxu 1 v, 则则,211xuxv 原式原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回

28、返回 结束结束 反反: 反三角函数反三角函数对对: 对数函数对数函数幂幂: 幂函数幂函数指指: 指数函数指数函数三三: 三角函数三角函数例例6. 求求.dxex解解: 令令, tx则则,2tx ttxd2d 原式原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令例例7. 已知已知)(xf的一个原函数是的一个原函数是,cosxx求求.d)(xxfx 解解:xxfxd)( )(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明说明: 此题若先求出此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂再

29、求积分反而复杂.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2uexexuudd,例例8. 求求.d)(ln43xxx解解: 令令则则原式原式,lnxu ue34uueudueuud444uue434u212uu24240ue441ue4412ue4413ue4414ue4415原式原式 =ue4414u3u243uu83323CCxxxxx323ln83ln43lnln412344机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习下述运算错在哪里下述运算错在哪里? 应如何改正应如何改正?xxxds

30、incosxxxxxdsin)sin1(sinsinxxxxdsinsincos12xxxdsincos1, 1dsincosdsincosxxxxxx得得 0 = 1答答: 不定积分是原函数族不定积分是原函数族 , 相减不应为相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法求此积分的正确作法是用换元法 .xxsinsindCx sinln机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四节第四节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 有理函数的积分有理函数的积分 第四章第四章 一、一、 有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa1

31、10mmmbxbxb110有理函数有理函数:nm 时时,)(xR为假分式为假分式;nm 时时,)(xR为真分式为真分式有理函数有理函数相除相除多项式多项式 + 真分真分 式式分解分解其中部分分式的形式为其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和若干部分分式之和机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1. 将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼凑法用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1

32、(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2) 用赋值法用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故故25x原式36x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3) 混合法混合法)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 代入等式两端分别令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式原式 =x21

33、4512112xx四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp变分子为 )2(2pxM2pMN 再分项积分 例例2. 求求.)1)(21 (d2xxx解解: 已知已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例例1(3) 1(3) 目录目录 上页上页 下页下页

34、返回返回 结束结束 例例3. 求求.d3222xxxx解解: 原式原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将

35、有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法简便的方法. 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 二二. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分被积函数为简单根式的有理式被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换可通过根式代换 化为有理函数的积分化为有理函数的积分. 例如例如:机动机动 目录目录 上页上页 下页下

36、页 返回返回 结束结束 ,d),(xbaxxRn令令nbxat,d),(xxRndxcbxa令令ndxcbxat,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令令., 的最小公倍数为nmp例例6. 求求.21d3xx解解: 令令,23xu则则,23 uxuuxd3d2原式原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7. 求求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数取根指数 2 , 3 的的最小公倍数最小公倍

37、数 6 ,6tx 则有则有原式原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例8. 求求.d11xxxx解解: 令令,1xxt则则,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业 P218 4.1 2(2,4,6,8,9,10) 3 44.2 1(1,2,4,6,7,9,12,15,16,18) 4 54.3 1,3,5,7,9,114.4 1,3,5,7,9,11 4.5 1,2,3,4,