可测函数的定义及其简单性质.doc

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1、-!补充:特征函数 定义1 设X是非空全集 ， , 称为集合A的特征函数.显然的充分必要条件是A=B .例如：取，则特征函数如图图1-13-1 特征函数定理1 （1）；（2） ； （3）.特别 时；（4） ；（5） ；（6） ；（7） 设 是任一集列，则；（8） 存在，且当极限存在时，.证明 仅证（3），（7）. ；（3） 任意，.当时，；当 时，；同理；当 时，有.（7） 设 是任一集列，则；（7） 先证任意，存在使，故 ，从而.又由特征函数定义知，所以；当 ，存在自然数N，故 , ，而，所以也有，故 .再证 任意时，存在自然数N，故 ,从而，而，所以；当时，.由下限集的定义知,存在无穷多个

2、,使于是,从而,所以,因此 .第三章 可测函数为了建立新的积分即Lebesgue积分，我们需要介绍一类比连续函数更为广泛的重要函数可测函数，这类函数与连续函数有着密切的联系.首先我们拓广函数的概念，以下我们提到的函数都是指定义在中某点集上的实值函数，且允许它取值.另外，我们规定：(+)+（+）=+，（-）+（-）=-，对于任意实数a，总有a+(+)=(+)+a=+，a+(-)=-，对于b0，c0，b()=，c()= ，()（）=+，（+）（-）=（-）（+）=-，0（）=（）0=0，对，对，但（+）-（+），（）+（），（-）-（-）均无意义.1 可测函数的定义及简单性质可测函数的定义方法很多

3、，本节我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，即先给出简单函数，再用简单函数的极限定义非负可测函数,然后通过分析非负可测函数的特性给出一般可测函数的定义.一、可测函数的定义及等价定义1简单函数定义1 设为一个可测集，为定义在上的实函数，如果（1）=，其中为两两不交的可测集，（2）在每个上=，即= ，亦即，其中表示的特征函数，则称为上的简单函数.图3-1-1 简单函数显然= 及 = 均为其定义域上的简单函数.图3-1-2 符号函数 可以证明，可测集上的两个简单函数的和、差及乘积仍为上的简单函数；当时，也是上的简单函数.另外，若是G上的函数，是可测集上的简单函数，且 ，则仍为上的简单函数.例1 证明可测集上的两个简单函数的和仍为上的简单函数证明 设是上的简单函数，下证也是上的简单函数.事实上，设 ，那么，其中则是个互不相交的可测集，且所以是上的简单函数.定义2 设为上的非负实函数, 集合称为在上的下方图形, 记为 ,当时,简记为.图3-1-3 下方图形例2 如果是中可测子集的示性函数：则，这都是中的可测集.例3 设为可测集上的非负简单函数,即,其中, 为两两不交的可测集, 则为可测集, 且.证明 不难证明 ,其中也互不相交.而 为中的可测集, 且,所以 .