全等三角形难题整理汇编超级好.doc

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1、.1.如图，已知等边ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM. 2、点C为线段AB上一点，ACM, CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证：（1）AN=MB.（2）将ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。 图 图 5.已知，如图所示，在和中，且点在一条直线上，连接分别为的中点（1）求证：；CENDABM图CAEMBDN图（2）在图的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他

2、条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 10.已知：如图，是等边三角形，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接（1）求证：；（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论AGFCBDE（图）11、如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断与面积之间的关系，并说明理由9如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ以下五个结论：ABCEDOPQ AD=BE； PQAE； AP=BQ； DE=DP； AOB

3、=60 恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上） 如图所示，已知ABC和BDE都是等边三角形，且A、B、D三点共线下列结论：AE=CD；BF=BG；HB平分AHD；AHC=60，BFG是等边三角形；FGAD其中正确的有（）A3个 B4个 C5个 D6个1、在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；ADBECFADBECFABCDEF2. 如图所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE3.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延

4、长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F. 如图141，当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ； 连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜想. 如图142，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N, 使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证AECFBD图1图3ADFECBADB

5、CE图2F当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明2.等边ABC，D为ABC外一点，BDC=120，BD=DCMDN=60射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想中的结论还成立吗？若成立，请证明当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系3、如图4，在ABC中，BD=CD，ABD=ACD,求证AD平分BAC

6、. ABCD8、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；OPAMNEBCDFACEFBD图图图（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。10、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC12、（2009年赤峰市）如图，在

7、四边形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分线，AFDC，连接AC、CF，求证：CA是DCF的平分线。1、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华

8、提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图33.ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。4.问题背景，如下命题： 如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角ACK的平分线,若ANM=60,则AN=NM 如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点，CM为正方形外角DCK的平分线，若ANM=90，则AN=NM 如图3,在

9、正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角DCK的平分线,若ANM=108,则AN=NM任务要求： 请你证明以上三个命题； 请你继续完成下面的探索： 如图4,在正（3）边形ABCDEF中,N为BC边上任一点,CM为正边形外角DCK的平分线,问当ANM等于多少度时,结论AN=NM成立（不要求证明）. 如图5,在梯形ABCD中,ADBC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为DCN的平分线,若ANM=ABC,请问AN=NM是否还成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.5.（1）如图，已知在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的

10、平分线于N试判定线段MD与MN的大小关系；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上或AB延长线上任意一点”，其余条件不变试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由1.如图，已知ABC中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，点D为AB的中点（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发

11、，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，则经过 后，点P与点Q第一次在ABC的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）2.已知：在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角ADE，解答下列各题：如果AB=AC，BAC=90（i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为（ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么？3.（2012内江）已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E

12、、F按逆时针排列），使DAF=60，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系2.（08河北中考第24题）如图14-1，在ABC中，BC边在直线l上，ACBC，且AC = BCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足

13、的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由3.（2006年辽宁沈阳25题）.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：AF=DE；AFDE.(不需要证明)(1)如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，

14、但满足CE=DF.则上面的结论、是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.4.如图1，A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DEAC，BFAC，若AB=CD，试说明BD平分EF；若将DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时，其余条件不变，BD是否还平分EF，请说明理由。6如图，两个全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，DEA=ACB=90，DAE=ABC=30，E、A、C三点在一条直线

15、上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断EMC的形状，并说明理由7.已知BE，CF是ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系8. 在RtABC中，ACBC，ACB90，D是AC的中点，DGAC交AB于点G.（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H求证：DG=DC判断FH与FC的数量关系并加以证明（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本

16、小题直接写出结论，不必证明）30、如图，AD/BC，AD=BC，AEAD，AFAB，且AE=AD，AF=AB，求证：AC=EF1.直线CD经过的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）；如图2，若，若使中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD经过的外部，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明ABCEFDDABCEFADFCEB图1图2图33.操作：如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角

17、的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明4如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且DAE=FAE求证：AF=AD-CF5如图所示，已知ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，ADB=60，E是AD上一点，且DE=DB，求证：AC=BE+BC旋转4.（2008河南）（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从

18、而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明5.（2009山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片和且。将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点当旋转至如图位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是 当继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？AO与DO存在怎样的数量关系？请说明理由例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（

19、1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。CDE=ADF，（图1）（图2）（图3）在DCE和ADF中， DCE=DAF DC=DA CDE=ADF ，DCEADF，DE=DF；（2）DCEADF，SDCE=SADF，四边形DECF的面积=SACD，而AB=2，CD=DA=1，四边形DECF的面积=SACD=1 2 CDDA=1 2 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质1、已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长

20、线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1

21、图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示）例8（2005年马尾）用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13

22、1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图132），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析：（1）利用全等三角形的判定得出ABEACF即可得出答案；（2）根据已知可以得出BAE=CAF，进而求出ABEACF即可；（3）利用四边形AECF的面积S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC求出即可解答：解：（1）得出结论是：BE=CF，证明：BAC=EAF=60，BAC-EAC=EAF-EAC，即：BAE=C

23、AF，又AB=AC，ABE=ACF=60， BAE=CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA），BE=CF，（2）还成立，证明：BAC=EAF=60，BAC+EAC=EAF+EAC，即BAE=CAF，又AB=AC，ABE=ACF=60，即 BAE=CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA），BE=CF，（3）证明：ABEACF，SABE=SACF，四边形AECF的面积S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC；而SABC=1 2 S菱形ABCD，S=1 2 S菱形ABCD点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出

24、是解题关键解：（1）BE=CF. 证明：在ABE和ACF中， BAE+EAC=CAF+EAC=60， BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA）. BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和ACF旋转型2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：证明题图1图2DCEAB分析：（1）此题根据ABC与AED均

25、为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明ABEACD；（2）根据（1）的结论和已知条件可以证明DCBE 解答：证明：（1）ABC与AED均为等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=90BAC+CAE=EAD+CAE即BAE=CAD，在ABE与ACD中，AB=ACBAE=CADAE=ADABEACD（2）ABEACD，ACD=ABE=45又ACB=45，BCD=ACB+ACD=90DCBE点评：此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得到所需要的已知条件3、（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形

26、OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；CBOD图7AEBAODCE图8（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.4、如图，AEAB，ADAC，AB=AE，B=E，求证：（1）BD=CE；（2）BDCE证明：（1）AEAB，ADAC BAE=CADBAD=CAE而AB=AE，B=E， ABDAECBD=CE （2）由ABDAEC知B=E 而AGB=EGF，EFG=EAB=90，BDCE如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形

27、OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC求AEB的大小考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质专题：计算题分析：由于BOC和ABO都是等边三角形，可得OD=DC=OC=OB=OA，进而求出BDA与CAD的大小及关系，则可求解AEB解答：解：DOC和ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，OD=DC=OC=OB=OA，ACDDBA，BDA=CAD又BDA+OBD=BOA=60，而ODB=OBD，BDA=30CAD=30AEB=BDA+CAD，AEB=60点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，求得角的度

28、数是正确解答本题的关键答题：yeyue5、如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证： （1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF6、 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：延长EB使得BG=DF，易证ABGADF（SAS）可得AF=AG，进而求证AEGAEF可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90即可解题解答：解：延长EB使得BG=DF，在ABG和ADF中，由 AB=AD ABG=ADF=90 BG=DF ，可得ABGADF（SAS），DAF=BAG，A

29、F=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90，EAF=45答：EAF的角度为45点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAF是解题的关键7、D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。当绕点D转动时，求证DE=DF。若AB=2，求四边形DECF的面积。10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形ABCDE的面积 考点：全等三角形的判定与性质专题：

30、应用题分析：可延长DE至F，使EF=BC，可得ABCAEF，连AC，AD，AF，可将五边形ABCDE的面积转化为两个ADF的面积，进而求出结论解答：解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，AB=CD=AE=BC+DE，ABC=AED=90，CD=EF+DE=DF，在RtABC与RtAEF中， AB=AE ABC=AEF BC=EF RtABCRtAEF（SAS），AC=AF，在ACD与AFD中， AC=AF CD=DF AD=AD ACDAFD（SSS），SABCDE=2SADF=21 2 DFAE=21 2 22=4点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，

31、应熟练掌握五、旋转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度 （1）如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关

32、系，并说明理由（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明理由如果没有，那么点P在AC的什么位置时，PE、PF才具有（2）中的数量关系考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）证明ABEADF可推出AE=AF（2）本题要借助辅助线的帮助过点P作PMBC于M，PNDC于N，证明PMEPNF可推出PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系当点P在AC的中点时，PE，PF才具有（2）中的数量关系解答：解：（1）如图1，AE=AF理由：证明ABEADF（ASA）（2）如图2，PE=PF理由：过点P作PMBC于M，PN

33、DC于N，则PM=PN由此可证得PMEPNF（ASA），从而证得PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系当点P在AC的中点时，PE、PF才具有（2）中的数量关系考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）证明ABEADF可推出AE=AF（2）本题要借助辅助线的帮助过点P作PMBC于M，PNDC于N，证明PMEPNF可推出PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系当点P在AC的中点时，PE，PF才具有（2）中的数量关系解答：解：（1）如图1，AE=AF理由：证明ABEADF（ASA）（2）如图2，PE=PF理由：过点P作PMBC于M，PNDC于N，则P

34、M=PN由此可证得PMEPNF（ASA），从而证得PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系当点P在AC的中点时，PE、PF才具有（2）中的数量关系点评：本题考查的是正方形的性质以及全等三角形的判定例8（2005年马尾）用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图131），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，

35、CD的延长线相交于点E，F时（如图132），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.解：（1）BE=CF. 证明：在ABE和ACF中， BAE+EAC=CAF+EAC=60， BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA）. BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和ACF1、用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（

36、如图所示），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。6、 已知AOB=90，AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB或它们的反向延长线相交于D、E。当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：CD=CE当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。10、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一

37、动点（点G与C、D不重合）， 以C为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。（1）说明：BCGDCE；（2）BG与CD有何关系？为什么？（3）将正方形GCEF绕点C顺时针旋转，在旋转过程中，（1）、（2）中的结论还成立吗？画出一个图形，直接回答，不必说明理由。如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN（1）求证：AMBENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为ABC的费尔马点若点M为ABC的费尔马点，试求此时AMB、BMC、CMA的度数；（3）小翔受以上启发，

38、得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图，分别以ABC的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为ABC的费尔马点试说明这种作法的依据考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证AMBENB；（2）连接MN，由（1）的结论证明BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时AMB、BMC、CMA的度数；（3）根据（2）中费尔马点的定义，又ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上因此线段EC与BF的

39、交点即为ABC的费尔马点解答：解：（1）证明：ABE为等边三角形，AB=BE，ABE=60而MBN=60，ABM=EBN又BM=BN，AMBENB（2）连接MN由（1）知，AM=ENMBN=60，BM=BN，BMN为等边三角形BM=MNAM+BM+CM=EN+MN+CM当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小此时，BMC=180-NMB=120；AMB=ENB=180-BNM=120；AMC=360-BMC-AMB=120（3）由（2）知，ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上因此线段EC与BF的交点即为ABC的费尔马点点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大1.(2004河北)如图，已知点是