三角函数恒等变换.doc

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1、. 三角函数恒等变换一、三角函数的诱导公式1、下列各角的终边与角的终边的关系角2k+(kZ)+-图示与角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角-+图示与角终边的关系关于y轴对称关于直线y=x对称2、六组诱导公式组数一二三四五六角2k+(kZ)+-+正弦sin-sin-sinsincoscos余弦cos- coscos- cossin-sin正切tantan- tan- tan口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符

2、号看象限是指把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式2、二倍角的正弦、余弦、正切公式.sin=, cos=3、形如asin+bcos的化简asin+bcos=sin(+).其中cos=,sin=三、简单的三角恒等变换1、用cos表示sin2,cos2,tan2sin2=;cos2=;tan2=注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用。2、用cos表示sin,cos,tansin=cos=tan= 3、用sin,cos表示tantan=四、常用数据: 的三角函数值 , ,注: 以上公式

3、务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备.三角函数恒等变形的基本策略。常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。项的分拆与角的配凑。如分拆项：;配凑角(常用角变换):、等.降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。引入辅助角。asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。1、三角函数式的

4、化简相关链接（1），的三角函数值是化简的主要工具。使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；（2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：等。注：若出现时，要分为奇数和偶数讨论。（3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了。特殊角能求值则求值；（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等。例题解析例化简：思路分析：化简时注意观察题设中的角出现了，需讨论是奇数还是偶数。2、三角函数的求值相关链接（1）六个诱导公式和同角三角函数的关系是求值的基础；（2）

5、已知一个角的三角函数值，求其他角三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数，然后求值。例题解析例已知，求的值。思路解析：化简已知条件化简所求三角函数式，用已知表示代入已知求解3、诱导公式在三角形中的应用例1在ABC中，若sin(2-A)=sin(-)，cosA=cos(-)求ABC的三内角。思路分析：本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简，然后利用，求出cosA的值，再利用A+B+C=进行计算。注：在ABC中常用的变形结论有：A+B+C=，2A+2B+2C=2，sin(A+B)=sin(-C)=sinC;cos(A+B)=cos(-C)=-cosC;tan

6、(A+B)=tan(-C)=-tanC;sin(2A+2B)=sin(2-2C)=-sin2C;cos(2A+2B)= cos(2-2C)=cos2C;tan(2A+2B)=tan(2-2C)=-tan2C;sin()=sin()=cos;cos()=cos()=sin.以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆。例2是否存在（，），（0，），使等式sin(3-)=cos(-), cos(-)= cos(+)同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由。思路分析：要想求出，的值，必须知道，的某一个三角函数值，因此，解决本题的关键是由两个等式消去或的同名三角函数值。注：已知角的三角函数值求角的一

7、般步骤是：（1）由三角函数值的符号确定角所在的象限；（2）据角所在的象限求出角的最小正角；（3）最后利用终边相同的角写出角的一般表达式。相关链接（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们打到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。（2）根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号；（3）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路

8、有：化为特殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；化分子、分母出现公约数进行约分求值。例题解析例（1）化简（2）求值思路解析：（1）从把角变为入手，合理使用公式；（2）应用公式把非角转化为的角，切化弦。2、三角函数的给值求值问题相关链接三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。（3）常见的配角技巧例题解析例已知，求的值。思路解析：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现

9、或将变化为，再由求解。3、三角函数的给值求角问题相关链接（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好。（2）解给值求角问题的一般步骤为：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角。例题解析例1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于A、B的横坐标分别为、（1）求tan(+)的值；（2）求的+2值。思路解析：由已知得cos,cos求tan,tan求tan(+) 求t

10、an(+2) 求+2的范围求+2的值。例2思路解析：4、三角函数的综合应用例已知、为锐角，向量（1） 若，求角的值；（2） 若，求tan的值。思路解析：（1）由，及的坐标，可求出关于、的三角函数值，进而求出角；（2） 由可求出关于、的三角恒等式，利用方程的思想解决问题同角三角函数的基本关系已知，求 变式1：已知，x，求的值变式2、化简： 两角和与差及二倍角的三角函数已知，求，的值变式1.已知tan，tan是方程两根，且，则+= 变式2. 的值是 变式3. 设,若则= 变式4. 变式5：在中，已知，（）求的值； （）求的值 变式6：在中，（）求角的大小；（）若最大边的边长为，求最小边的边长 变式7：已知，且,()求的值；-（）求.