数列精彩资料例题汇编.doc

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1、/数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1. 研究通项的性质例题1. 已知数列满足. （1）求；（2）证明：.解：（1）. （2）证明：由已知，故， 所以证得. 例题2. 数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求. 解：（）由可得，两式相减得：，又 故是首项为1，公比为3的等比数列 （）设的公比为，由得，可得，可得故可设，又，由题意可得，解得等差数列的各项为正， 例题3. 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且对任意的都成立，数列是等差数列. 求数列与的通项公式；是否存在，使得，请说明理由. 点拨：（1）左边相当于是数

2、列前n项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，. （2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况. 解：（1）已知）时，）得，求得，在中令，可得得，所以N*）. 由题意，所以，数列的公差为，）. （2），当时，单调递增，且，所以时， 又，所以，不存在，使得. 例题4. 设各项均为正数的数列an和bn满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn 解： 依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2 a2n+1 = bnbn+1 an、bn为正数， 由得， 代入并同除以得： ， 为等差

3、数列 b1 = 2 ， a2 = 3 ， ， ，当n2时，又a1 = 1，当n = 1时成立， 2. 研究前n项和的性质例题5. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）时，.而为等比数列，得，又，得，从而.又.（2）， ） ，得，.例题6. 数列是首项为1000，公比为的等比数列，数列满足 ，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和. 解：（1）由题意：，数列是首项为3，公差为的等差数列，由，得，数列的前项和的最大值为. （2）由（1）当时，当时，当时，当时，. 例题7. 已知递增的等比数列满足，且是，的等差中项. （1）求

4、的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值. 解：（1）设等比数列的公比为q（q1），由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）an=22（n1）=2n（2） ，Sn=（12+222+323+n2n）2Sn=（122+223+n2n+1），Sn=2+22+23+2nn2n+1=（n1）2n+12，若Sn+n 2n+130成立，则2n+132，故n4，n的最小值为5. 例题8. 已知数列的前n项和为Sn，且成等差数列，. 函数. （I）求数列的通项公式；（II）设数列满足，记数列的前n项和为Tn，试比较的大小. 解：（I

5、）成等差数列， 当时，. 得：，当n=1时，由得， 又是以1为首项3为公比的等比数列，（II）， ，比较的大小，只需比较与312的大小即可. 当时，当时，当时，. 3. 研究生成数列的性质例题9. （I） 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；（II） 设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列. 解：（）因为cn+1pcn是等比数列，故有（cn+1pcn）2=（ cn+2pcn+1）（cnpcn1），将cn=2n3n代入上式，得2n1+3n1p（2n3n）2=2n2+3n2p（2n+13n+1）2n+3np（2n13n1）， 即（2p）2n+（3p）3n2=（2p）2n+1+（

6、3p）3n+1 （2p）2n1+（3p）3n1，整理得（2p）（3p）2n3n=0，解得p=2或p=3. （）设an、bn的公比分别为p、q，pq，cn=an+bn. 为证cn不是等比数列只需证c1c3. 事实上，=（a1pb1q）2=p2q22a1b1pq，c1c3=（a1b1）（a1 p2b1q2）= p2q2a1b1（p2q2）. 由于pq，p2q22pq，又a1、b1不为零，因此c1c3，故cn不是等比数列. 例题10. n2（ n4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，求S=a11 + a22 + a33 + + ann

7、 解： 设数列的公差为d， 数列（i=1，2，3，n）的公比为q则= a11 + （k1）d ， akk = a11 + （k1）dqk1依题意得：，解得：a11 = d = q = 又n2个数都是正数， a11 = d = q = ， akk = ，两式相减得：例题11. 已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得， （2）由（1）得， 得. ，设，则由得随的增大而减小时，又恒成立， （3）由题意得恒成立 记，则是随的增大而增大 的最小值为，即.（二）证明等差与等比数列1. 转化为等差等比数列.

8、例题12. 数列中，且满足，.求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，时，故 （3），若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7. 即存在最大整数使对任意，均有例题13. 已知等比数列与数列满足N*. （1）判断是何种数列，并给出证明；（2）若. 解：（1）设的公比为q，。所以是以为公差的等差数列. （2）所以由等差数列性质可得2. 由简单递推关系证明等差等比数列例题14. 已知数列和满足：，（），且是以为公比的等比数列. （I）证明：；（II

9、）若，证明：数列是等比数列；（III）求和：. 解法1：（I）证：由，有，. （II）证：，. 是首项为5，公比为的等比数列. （III）解：由（II）得，于是. 当时，. 当时，. 故解法2：（I）同解法1（I）. （II）证： ，又，是首项为5，公比为的等比数列. （III）由解法1中（II）的类似方法得，. . 例题15. 设数列（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足，bn=f （bn1）（nN*，n2），求数列的通项公式；（3）设，求数列的前n项和n. （1）证明：由相减得：数列是等比数列（2）解：是首项为，公差为1的等差数列，. . （3）解：时 得：所以：. 例题

10、16. 的各个顶点分别为，设为线段的中点，为线段OC的中点，为线段的中点. 对每一个正整数为线段的中点. 令的坐标为，. （1）求及；（2）证明：（3）记，证明：是等比数列. （1）解：因为y1=y2=y4=1， y3=，y5=，所以 得a1=a2=a3=2. 又由，对任意的正整数n有an+1=an 恒成立，且a1=2， 所以an为常数数列， an=2，（n为正整数）（2）证明：根据， 及=an=2， 易证得yn+4=1（3）证明：因为bn+1=（1）（1）=，又由b1=1y4=， 所以bn是首项为，公比为的等比数列. 【模拟试题】一、填空题1. 在等差数列a中，已知a=2，a+a=13，则a

11、+a+a等于= . 2. 已知数列的通项，则其前项和 . 3. 首项为24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范围是 . 4. 在等比数列中，和 是二次方程 的两个根，则的值为 . 5. 等差数列an中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n= . 6. 等差数列an的前m项和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_ 7. 已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，= ，若为正整数，n的取值个数为_。8. 已知数列对于任意，有，若，则. 9. 记数列所有项的和为，第二项及以后各项的和为，第三项及以后各项的和为 ，第项及以后各项的和为，若，则等于 . 10.

12、 等差数列共有项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_.11. 等差数列中，若且，则的值为 .12. 设为等差数列的前项和. 已知，则等于 . 13. 已知函数定义在正整数集上，且对于任意的正整数，都有，且，则_ _. 14. 三个数成等比数列，且，则b的取值范围是 . 15. 等差数列中，前项和为，首项. （1）若，求（2） 设，求使不等式的最小正整数的值. 点拨：在等差数列中知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项与公差，把分别用首项与公差，表示即可. 对于求和公式，采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些. 例如：已知判断的正

13、负. 问题2在思考时要注意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项. 16. 等差数列的前项和为，. （I）求数列的通项与前项和为；（II）设（），求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 17. 在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数n，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列. 求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，设与抛物线相切于的直线的斜率为，求：. 设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式. 18. 已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足（nN*），证明：是等差数列.【试

14、题答案】1. 422. 3. 4. 5. 106. 2107. 8.5；5个解法一：点拨 利用等差数列的求和公式及等差数列的性质“若，则”解析：=解法2： 点拨 利用“若为等差数列，那么”这个结论，根据条件找出和的通项. 解析：可设，则，则=由上面的解法2可知=，显然只需使为正整数即可，故，共5个. 点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用. 反思：解法2中，若是填空题，比例常数k可以直接设为1. 8. 49. 解：. 10. 解：依题意，中间项为，于是有解得.11. 解：由题设得，而，又，. 12. 解：， ，. 。13. 解：由知函数当从小到大依次取值时对

15、应的一系列函数值组成一个等差数列，形成一个首项为2，公差为4的等差数列，. 14. 解：设，则有. 当时，而，；当时，即，而，则，故. 15. 解：（1）由，得：，又由. 即，得到. （2）由若5，则，不合题意故5，即，所以15，使不等式成立的最小正整数的值为1516. 解答：（I）由已知得，故. （）由（）得. 假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则. 即. ，. 与矛盾. 17. 解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为. 设的方程为：把代入上式，得，的方程为：. ，=.（3），T 中最大数. 设公差为，则，由此得18. （1）解：是以为首项，2为公比的等比数列. 即 .（2）证： ，得即 ，得 即 是等差数列.