多元函数积分学期末复习(考点)ppt课件.ppt

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1、一、一、 二重积分二重积分二、三重积分二、三重积分三、曲线积分三、曲线积分 多元函数积分学 四、曲面积分四、曲面积分 ( , )Df x y d ( , , )f x y z dv ( , )Lf x y ds ( , )( , )LP x y dxQ x y dy ( , , )df x y zS ( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdx ( , , )ddR x y zxy 第第十十章章：重重积积分分1、二二重重积积分分的的概概念念、性性质质、及及其其几几何何意意义义2 2、计计算算：二二重重积积熟熟练练掌掌握握分分的的计计算算xy 型型区区域域直直角角

2、坐坐标标系系中中选选择择适适当当的的积积分分次次序序型型区区域域3、三三重重积积分分的的概概念念及及计计算算： 直直角角坐坐标标系系中中柱柱面面坐坐标标系系中中r 在在极极坐坐标标系系中中：一一种种积积分分次次序序 先先 后后只只需需掌掌握握坐坐标标面面投投影影法法一、二重积分的概念和性质 1定义定义 ： 01 ( ,)lim(,)niiiiDf xy df 2几何意义：几何意义： DdyxfV ) ,()0) ,( yxf表示曲顶柱体的体积表示曲顶柱体的体积 Dyxfz :) ,( :底底顶顶性质：线性性质；线性性质； 可加性；可加性； ;DDdxdy 单调性；单调性； 若若 ( ,),mf

3、 xyM ( ,)( ,).DDf xy df 估值性质：估值性质：中值定理：中值定理：则至少存在一点则至少存在一点 , 使得使得( , )D 设函数设函数 在闭区域在闭区域 上上连续连续, ) ,(yxfD ( ,).DDDmf xy dM 则则A积分中值定理二、二重积分的计算方法计算方法 1利用直角坐标计算利用直角坐标计算（1）X-型区域：型区域： )( )( 21) ,( ) ,(xxbaDdyyxfdxdxdyyxf.)(2xy )(1xy xyoDab(2)过任一过任一x a , b ,作垂直于作垂直于 x轴的直线轴的直线 穿过穿过D的内部的内部从从D的下边界曲线的下边界曲线)(1x

4、y 穿入穿入内层积分的下限内层积分的下限从从D的上边界曲线的上边界曲线)(2xy 穿出穿出内层积分的上限内层积分的上限(1) 确定积分区域确定积分区域D在在x轴上的投影轴上的投影a , b定限步骤：定限步骤：（2）Y-型区域：型区域： .) ,() ,()( )( 21 yydcDdxyxfdydxdyyxf xyoD)(1yx )(2yx cd2利用极坐标计算利用极坐标计算 ( ,)Df xy dxdy 21 ( )( )( cos ,sin )df rrdrr Do)(1r)(2r(2)( ,), 从从D D的边界曲线的边界曲线 1( )r 穿入穿入, 从从 2( )r 穿出穿出(1) 确

5、定确定D夹在哪两条射线之间，定出夹在哪两条射线之间，定出定限步骤：定限步骤： , 过极点作一极角为过极点作一极角为 的射线的射线常见计算类型常见计算类型1. 选择积分顺序选择积分顺序原则：原则：能积分，能积分，少分块少分块解解2sin,0Dy dxdyDyxxy例、计算其中 由、围成xyyx 200sinydyy dx20sin1yydy原式 2yxyxxyo解：10Idx2sinxxxdyx10(1)sinxxdx1 sin1 10sin xdxx2xxy 1130sinydyx dx例、计算解：先确定积分区域xy1x xyo01:yD原1320sinx x dx3 101cos3x1(1c

6、os1)31yx10dx230sinxx dy2. 交换积分顺序交换积分顺序根据给出的积分上下限定出积分区域根据给出的积分上下限定出积分区域13. 利用对称性简化计算利用对称性简化计算要兼顾要兼顾被积函数被积函数和和积分区域积分区域两个方面，两个方面，不可误用不可误用 DdxdyyxfI),(（1）若）若D关于关于 x 轴对称，则轴对称，则0 I12( , )DIf x y dxdy 当当f ( x , y )关于关于 y 为奇函数，为奇函数，当当f ( x , y )关于关于 y 为偶函数，为偶函数，（2）若）若D关于关于 y 轴对称，则轴对称，则0 I当当f ( x , y )关于关于 x

7、 为奇函数，为奇函数，222221(),1xyy xyIxdxdyy例.计算解：2221DDy xyIx dxdydxdyyx关于 为奇函数，y关于 为奇函数，0Dy关于 轴对称，Dx关于 轴对称，14II 例例 . 将将 D ),( dyxf化为在极坐标系下的二次积分。化为在极坐标系下的二次积分。1）xyo22422 yxxyo4xyx422 4）DD 2200( cos ,sin ).df rrr dr 2201( cos ,sin ).df rrr dr 24cos20( cos ,sin )df rrr dr 4. 极坐标系下二重积分的定限极坐标系下二重积分的定限xyo222 2 42

8、2 yx2）1Dxyo4224xyy 3） 4sin00( cos ,sin )df rrr dr D2222()4 ,8 ,2DxfdyDxyx xyx xy yx 例例、化化成成极极坐坐标标系系下下的的二二次次积积分分：其其中中： 由由围围成成yx2yxxyo()Dxfdy 8cos4coscos()sinfrdr 4d arctan 2xy32分析分析 由于被积函数中含有绝对值由于被积函数中含有绝对值, 所以应首先所以应首先在给定的积分区域内在给定的积分区域内,求出求出的解析表达式，即去掉绝对值。的解析表达式，即去掉绝对值。224xy2D1D224Dxydxdy 12DD1224()Dx

9、ydxdy 2 22 0 04()drrdr 412 2224()Dxydxdy 2 32 0 24()drrdr 5. 其它其它解解：( , ),Df x y dxdyA 设设则则：2211DDAxy dxdydxdyA120012Adr dr 132A23A 2212( , )(),3f x yxy 则则1121000( )0,11()( )(1)( )1xnnf xdxxyf y dyyf y dyn 例例、设设函函数数在在上上连连续续，证证明明：证明：左边交换积分次序xyoyx11左边12()( )nyxyf y dx10dyx对积分变量来说是常数1101()|()1nyxydynf

10、y1101( )(1)1nf yydyn 右边三、三重积分的计算方法三、三重积分的计算方法 1 1利用直角坐标计算利用直角坐标计算 u“坐标面投影坐标面投影”法法 ( ,)f xyz dxdydz 确定确定 在在xoy面上的投影区域面上的投影区域D (1)定限步骤：定限步骤：作垂直于作垂直于 xoy面的直线，面的直线，( , )x yDxyzo D),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx从曲面从曲面1( , )zz x y 穿入，穿入，从曲面从曲面2( , )zzx y 穿出，穿出，(2)21 ( ,)( ,)( ,)zx yzx yDdxdyf xyz dz ( , , )d ddf

11、x y zzxy 三、三重积分的计算方法（坐标面投影法）三、三重积分的计算方法（坐标面投影法） 1 1利用直角坐标计算利用直角坐标计算 (1) 投影投影 求积分域求积分域 在在xOy 面面上的投影区域上的投影区域 Dxy;(2) 定限定限 vzyxfd),(xyD ),(1yxz),(2yxzx yzOS2S1Dxy z1(x, y)z2(穿越法穿越法)步骤：步骤：( , ),xyx yDD 过过点点作作垂垂直直于于的的直直线线1( , )zz x y 从从曲曲面面穿穿入入，2( , )zzx y 从从曲曲面面穿穿出出其中 为三个坐标例例. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域

12、 .1xyz121解解:dddxxyz )1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxx )1(021dxy10d xx481面及平面120()xyxyDxdyz dxd 解解:. 122 yx1 投影投影122 yx 22222xzyxz消去消去z2 定限定限22xz 下下顶顶：(0,0)或或由由点点处处函函数数值值的的大大小小确确定定222yxz 上上顶顶：( , , )d dIf x y zx ydz 11dx .d),(22222 xyxzzyxfy122 yxDOx112 定限定限22xz 下下顶顶：222yxz 上上顶顶：( , , )df x

13、y zz d dDx y 222xy 22 x dy 21 x21 x 2 2利用柱面坐标计算利用柱面坐标计算 ( ,)f xyz dxdydz 2211 ( )( , )( )( , )( cos ,sin ,)zrz rdrdrf rrz dz 计算方法：计算方法：三重积分的投影方法三重积分的投影方法结合结合二重积分的极坐二重积分的极坐标运算标运算其中其中 为由为由例例2. 计算三重积分计算三重积分22d d dzxyx y z 222(0)xyx y0,(0),0zza ay所围所围解解:2drr 22304cosd3a 及平面及平面2axyzod 0daz z 原原式式289a 柱面柱

14、面2cosr 成半圆柱体成半圆柱体.222(0)xyx yDOxyDdrdr 0adzz2 02cos 0222 ,xyxDxy：r222222113 2112( , , )xxyxxyIdxdyf x y z dz 22222131001(cos)(sin)( cos , sin , )rrIddrf rrz rdz 解： 22:1D xy直直角角坐坐标标系系：柱柱面面坐坐标标系系：1、 体积体积四、几何应用四、几何应用 (2)dvV DdxdyyxfV.),(21( , )( , )DVx yx y dxdy若曲面方程为：若曲面方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 ;122

15、dxdyAxyDyzxz 2、曲面面积、曲面面积221()DVdx yxdy 222001()drrdr 4 3()DVxy dxdy 1003()xdxxy dy 1 解： yxoyx 1D22222zxyzxy例、求由与所围立体的体积。解：2222:2zxyxy积分域消1r用极坐标2222( , )2f x yxyxy被积函数：2222(2)Dvxyxydxdy21200(2)drr rdr24310112 ()|43rrr56xyzo例例. 计算双曲抛物面计算双曲抛物面zxy 被柱面被柱面222xyR解解: 曲面在曲面在 xOy 面上投影为面上投影为222:,D xyR则则221d dx

16、yDAzzx y 221d dDxyx y 2200d1dRr r r 3222(1)1)3R所截出的面积所截出的面积 A .zOxy注：注： 常用二次曲面常用二次曲面226zxy221zxy 旋转抛物面旋转抛物面:22zxy锥面锥面: 22zxy球面球面2221,xyz221zxy()上上半半球球面面Oxyz 椭球面椭球面2222221xyzabcOxyzxyzOxzO 椭圆抛物面椭圆抛物面:222zxy61柱面柱面: (方程中缺少某一变量方程中缺少某一变量)221,xy圆圆柱柱面面oxyzO22xy 抛抛物物柱柱面面xozyyx22:()(2.L yxaxb ( , )Lf x y ds

17、3( ):( ).L xycyd ( , )Lf x y ds 21( )dxx ( ,( )f xx ab21( )dyy ( ( ), )fyy cd(1)对光滑曲线弧对光滑曲线弧( , )dLf x ys 22( )( )dttt ( ),( )ftt 第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分:( ),( ),(),L xtytt一一代代、二二换换、三三定定限限(化为定积分计算）化为定积分计算）(!)上上限限一一定定大大于于下下限限22222,(0)lxy dslxya ayxx 例例、计计算算其其中中 是是由由、直直线线及及 轴轴在

18、在第第一一象象限限所所围围成成的的图图形形边边界界解解：如如图图：xyoAB0y lOAABBO(1)OA :00OA yxa22OAxy ds 2010axdx 0axdx 212a (2)AB 22cos:0sin4xatABtxyayat xyoAB0y 22ABxy ds 222240cossina atatdt 240a dt 24a (3)BO 2:02BOyxxa22BOxy ds 22222011axxdx 212a 222(1)4lxy dsa 2222143(234)lxylaIxyxy ds 例例、设设 为为椭椭圆圆，其其周周长长为为 ，求求：223412xy解解：(21

19、2)lxyds 原原式式212llxydsds122laxyds 2220122 2cos3sin4cos3sinattttdt 22201124 3cos3 cos2atdt 120a12a 2cos023sinxttyt ( , )d( , )dLP x yxQ x yy ( ),( ) tPt ( ) t ( ) t dt( ),)( Qtt 则则一一代代、二二换换、三三定定限限 定定限限!下下限限不不一一定定小小于于上上限限 下下限限L的的起起点点参参数数 上上限限L的的终终点点参参数数1. 基本计算方法基本计算方法( ):,( )xtLyt :t 对有向光滑弧对有向光滑弧二、对坐标的

20、曲线积分二、对坐标的曲线积分( (化为定积分化为定积分) ) 对有向光滑弧对有向光滑弧( )( )yxxy或或的的情情形形，自自己己写写出出公公式式 d222,Lxyzs 例例、计计算算其其中中解解(1,2,1),s 方方向向向向量量 tzttytxL210211的的参参数数方方程程：故故ds 222121 dt 1222011 22ttt tttd6266102 69 .312211的直线段的直线段，到点到点，是点是点 L11x- -: 12y 21z 222( )( )( ) dx ty tz tt6dt 6dt 222dLxyzs 2. 利用格林公式（必要时可作辅助线）利用格林公式（必要

21、时可作辅助线）ddLPxQy 3. 利用积分与路径无关（取折线）利用积分与路径无关（取折线）.QPxy 若若，则则积积分分与与路路径径无无关关，只只与与起起点点和和终终点点有有关关，因因此此可可选选择择积积分分路路径径计计算算ddDQPxyxy (,QPlxy为为封封闭闭曲曲线线，取取正正向向，连连续续）例例LAO 封封闭闭，22(0 , 0 )(2 , 0 ),LyxxOA 其其 中中为为 曲曲 线线从从 点点到到解解(e sin21)d(e cos)dxxLyyxyxy 计计算算不封闭，不封闭，L(e cos1)xy L)0 , 2(AyxO负负向向L AO ()ddDQPxyxy D (

22、e cos2)xyddxyddDxy QPL)0 , 2(AyxOL AO ddDxy 2 (e sin21)d(e cos)dxxAOyyxyxy 02 :AO又又0y :20 x0(e sin0 x2 0 1) d x20dx 2 原原式式L AO AO 22 三三、曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关,QPxyD D为为单单连连通通域域，连连续续，有有四四个个等等价价条条件件：QPDxy 在在 内内有有lPdxQdyD 在在 内内与与路路径径无无关关0(cPdxQdycD 为为 内内任任一一闭闭曲曲线线）( , ),( , )U x ydU x yPdxQdy 使使0( , ),)( ,

23、 )x yxyU x yPdxQdy 0 0( (四四、全全微微分分求求积积: :例、例、yyxyxxyxyd)2(d)2(222 证明：证明：解解2(),PQxyyxyyxyxxyxyd)2(d)2(222 所以所以是是全全微微分分式式，).,(yxu并求原函数并求原函数.),(的全微分的全微分为某函数为某函数yxu22200(200 )d(2)dxyxxxxyyy( , )222(0,0)( , )(2)d(2)dx yu x yxyyxxxyyy 3223yx yxyoxy( ,0)E x)0 , 0(A),(yxM322+C3yx yxy为为全全体体原原函函数数 设设:( , ),(

24、, ),xyzz x yx yD则则三、对面积的曲面积三、对面积的曲面积分分( (化为二重积分）化为二重积分）一一代代、二二换换、三三投投影影 ( , , )df x y zS 221d dxyzzx y( , ,)f x y( , )z x yxyD2222,2zdszxyxyx 例例、计计算算曲曲面面积积分分其其中中为为锥锥面面在在 柱柱面面内内的的部部分分。解：zds 222222(1)11xyxyxyzz dxdy 2222(1)1xyxy 2222(1)12xyxy dxdy 2 2cos20r dr 22d 32016 2cos3d 32 29 2xyzo2222221()()xy

25、dxdyxyxy四、对坐标的曲面积分四、对坐标的曲面积分 :,( ,(), )yzyxyzxzD ( , , )d dP x y zy z ( ,)yzDPy,z ( , )x y zd dyz:( , ),( , ),zxyy z xz xD( , , )d dQ x y zzx ( , , )zxDQ xz ( , )y z xd dzx( , , )ddR x y zxy ( , , )x yDR x y ( , )z x yddxy:,( ,(),xyzz x yx yD 1、基本计算方法、基本计算方法 (化为二重积分化为二重积分)：一代、二投、三定号上正下负上正下负前正后负前正后负右

26、正左负右正左负小结:要点为： 将曲面的方程表示为二元显函数，代入 被积函数，将其化成二元函数 将积分曲面投影到与面积元素（如dxdy） 同名的坐标面上（如xoy 面） 由曲面的侧确定二重积分的正负号一代、二投、三定号 曲面取上侧、前侧、右侧时为正注: 积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，再讲结果相加曲面取下侧、后侧、左侧时为负代代:投投:定号定号:2. 利用高斯公式（化为三重积分）利用高斯公式（化为三重积分）dddPQRxyzxyz dddd ddPyzQzxR xy 1、注意公式使用条件：、注意公式使用条件：2、添加辅助面的技巧：、添加辅助面的技巧： 一般取平行坐标面的平面，一般取平行坐标面的平面，且与原曲面共同构成边界且与原曲面共同构成边界曲面的外侧或内侧曲面的外侧或内侧是是 整整个个边边界界曲曲面面的的外外侧侧 2d dd d ,Ixzy zz x y 计计算算曲曲面面积积分分解解下下侧侧：作作辅辅助助曲曲面面,)1(1221 yxz 11I.1封封闭闭，内内侧侧 xyzO 1例例、 2201.zxyzz其其中中为为曲曲面面法法向向量量指指向向与与轴轴正正向向夹夹角角为为锐锐角角的的一一侧侧 vd)12(1 2213xyDxydz dxdy 23 1dddd2yxzzyzx 11I 2