函数的单调性定义ppt课件.ppt

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1、1.1.3 3.1 .1 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值 第一课时第一课时 函数单调性的概念函数单调性的概念问题提出问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究的记忆牢固程度进行了有关研究. .他经过测试，得他经过测试，得到了以下一些数据：到了以下一些数据：时间间隔时间间隔 t刚记刚记忆完忆完毕毕20分分钟后钟后60分分钟后钟后8-9小时小时后后1天天后后2天天后后6天天后后一个一个月后月后记忆量记忆量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量以上数据表

2、明，记忆量y y是时间是时间间隔间隔t t的函数的函数. . 艾宾浩斯根据这艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的些数据描绘出了著名的“艾宾浩艾宾浩斯遗忘曲线斯遗忘曲线”, ,如图如图. .123tyo20406080100思考思考1:1:当时间间隔当时间间隔t t逐渐增逐渐增 大你能看出对应的函数值大你能看出对应的函数值y y有什么变化趋势？通过这个有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待试验，你打算以后如何对待刚学过的知识刚学过的知识? ?思考思考2 2: :“艾宾浩斯遗忘曲线艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？我们如何

3、用数学观点进行解释？tyo20406080100123画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象上升还是下降 _?2、在区间在区间 _上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值随的值随着着 _ f(x) = x(-,+)增大增大上升上升1、在区间、在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _2、 在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ f(x) = x2(-,0(0,+)增大增大减小减小画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律： 图

4、象图象在在y轴轴左侧左侧”下降下降“图象在y轴右侧”上升“x-4-3-2-101234f(x)=x216941014916.0)()()()(,)(,0 2212122221121增增函函数数上是，在区间们就说函数，这时我时，有，当，得到上任取两个，在区间xxfxfxfxxxxfxxfxx思考：思考：如图为函数如图为函数f(X)在定义域在定义域I内某内某个区间个区间D上的图象，对于该区间上的图象，对于该区间上任意两个自变量上任意两个自变量x1和和x2，当，当x1x2 时，时，f(x1) 与与f(x2)的大小的大小关系如何关系如何？思考思考: :我们把具有上述特点的函数称为增函数，我们把具有上述

5、特点的函数称为增函数，那么怎样定义那么怎样定义“函数函数f(xf(x) )在区间在区间D D上是增函数上是增函数”？yxox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)对于函数定义域对于函数定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自上的任意两个自变量的值变量的值x1,x2，若当，若当x1 x2时，都有时，都有f(x1) f(x2)则称函数则称函数f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数. 考察下列两个函数考察下列两个函数: :xyoxoy二者有何共同特征？二者有何共同特征？f(x) = -xf(x) = x2(x0)思考：思考：如图为函数如图为函数f(X)在定义域在定义域I内某内某个区间个区间D

6、上的图象，对于该区间上的图象，对于该区间上任意两个自变量上任意两个自变量x1和和x2，当，当x1x2 时，时，f(x1) 与与f(x2)的大小的大小关系如何关系如何？思考思考: :我们把具有上述特点的函数称为减函数，我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义那么怎样定义“函数函数f(xf(x) )在区间在区间D D上是减函数上是减函数”？对于函数定义域对于函数定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自上的任意两个自变量的值变量的值x1,x2，若当，若当x1 f(x2)则称函数则称函数f(x)在区间在区间D上是减函数上是减函数. xyox1x2( )yf xf(x1)f(x2)y=f(x

7、)一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对如果对于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区间在区间D上是上是增函数增函数 1增函数增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数减函数 2减函数减函数 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间上是增函在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函

8、数数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这在这一区间具有（严格的）一区间具有（严格的）单调性单调性，区间，区间D叫叫做做y=f(x)的的单调区间单调区间. 二二函数的单调性定义函数的单调性定义（1）对于某函数，若在区间）对于某函数，若在区间当当x1时，时， y1；当当 x2时，时，y3 ，能否，能否说在该区间上说在该区间上 y 随随 x 的增大而增大呢的增大而增大呢?问题：问题：xy21013思考思考若若x1，2，3，4，时，相应地，时，相应地 y1，3，4，6，能否说在区间能否说在区间，y 随随x 的增大而增大呢？的增大而增大呢？xy10342n个正数个正数x1x2x3xn1 23 n呢？

9、呢？若若x取无数个呢取无数个呢? x xy yx10 x2x3xny1y2y3yn思考思考 : :一般地，若函数一般地，若函数 在区间在区间A A、B B上是上是单调函数，那么单调函数，那么 在区间在区间 上是单调函上是单调函数吗？数吗？)(xf)(xfAB注意：注意： 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的的性质，是函数的局部性质局部性质； 2 、必须是对于区间必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2；当；当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2) 分别是增函数和减函数分别是增函数和减函数. .yoxoyxyox

10、yoxyox在 增函数在 减函数ab2-，,2ab在 增函数在 减函数ab2-，,2ab在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数yox例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2), 1,3)是减函数，是减函数， 在区间在区间-2,1), 3,5 上是增函数。上是增函数。 例例2、物理学中的玻意耳定律、物理学中的玻意耳

11、定律 告告诉我们，对于一定量的气体，当其体积诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明之。)( 为正常数kVkp )()(12VpVp 即证明：证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212( )()VVkkp Vp VkVVVV由V1，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0又k0,于是0)()(21VpVp 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp取值定号变形作差结论结论三三判断函数单调性的方法步骤判断函数单调性

12、的方法步骤 1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 下结论（即指出函数下结论（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的上的单调性）单调性） 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：归纳小结归纳小结: 函数的单调性一般是先根据图象判断根据图象判断，再利再利用定义证明用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论 作业作业:习题习题1.3 A组组 1、2题题