初中数学专题各地模拟试卷中考真题 年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷.pdf

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1、 第 1 页（共 31 页） 2017 年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （2 分）2 的相反数是（ ） A2 B12 C2 D12 2（2 分） 氢原子的半径大约是 0.000 0077m， 将数据 0.000 0077 用科学记数法表示为 （ ）

2、 A0.77105 B0.77106 C7.7105 D7.7106 3 （2 分）7介于（ ） A4 与3 之间 B3 与2 之间 C2 与1 之间 D1 与 0 之间 4 （2 分）下列平面图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A等腰三角形 B正五边形 C平行四边形 D矩形 5 （2 分）如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ） A四棱柱 B三棱柱 C三棱锥 D圆锥 6 （2 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6cm，P 是对角线 BE 上一动点，过点 P 作直线 l 与 BE 垂直，动点 P 从 B 点出发且以 1cm/s 的速度匀速平移至 E 点设直线 l 扫

3、过正六边形 ABCDEF 区域的面积为 S（cm2） ，点 P 的运动时间为 t（s） ，下列能反映 S 与 t 之间函数关系的大致图象是（ ） A B 第 2 页（共 31 页） C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 7 （2 分）8 的算术平方根是 ；8 的立方根是 8 （2 分）若式子 2在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 9 （2 分）计算 386= 10 （2 分）已知反比例函数 y=的图象经过点

4、A（2，3） ，则当 x1 时，y 11 （2 分）某班的中考英语口语考试成绩如表： 考试成绩/分 30 29 28 27 26 学生数/人 3 15 13 6 3 则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 分 12 （2 分）若方程 x212x+50 的两根分别为 a，b，则 a2b+ab2的值为 13 （2 分）若圆锥的高是 8cm，母线长是 10cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2（结果保留 ） 14 （2 分）若一个正多边形的每一个外角都是 30，则这个正多边形的边数为 15 （2 分） 如图， 在O 的内接六边形 ABCDEF 中， A+C220， 则E 16 （2 分）如图，在AB

5、C 中，A45，B60，AB4，P 是 BC 边上的动点（不与 B，C 重合） ，点 P 关于直线 AB，AC 的对称点分别为 M，N，则线段 MN 长的取值范围是 第 3 页（共 31 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分） （1）解不等式组 3( 2) 421312并把它的解集在数轴上表示出来 （2）解方程33=113 18 （6 分）先化简代数式 11212+2，并从1，0，1，3 中选取一

6、个合适的数代入求值 19 （8 分）某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源，随机抽取部分学生了解情况，并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图 上网查找学习资源方式频数分布表 查找方式 频数 频率 搜索引擎 16 32% 专题网站 15 a 在线网校 4 8% 试题题库 10 20% 其他 b 10% （1）频数分布表中 a，b 的值：a ；b ； （2）补全频数分布直方图； （3） 若全校有 1000 名学生， 估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名？ 第 4 页（共 31 页） 20 （6 分）从 2 名男生和 3 名女生中随机抽取运动会志愿者求下列事件

7、的概率： （1）抽取 1 名，恰好是女生的概率为 ； （2）抽取 2 名，恰好是 1 名男生和 1 名女生 21 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，BEAC，DFAC，垂足分别为 E，F，BEDF，AECF （1）求证：AFDCEB； （2）若CBEBAC，四边形 ABCD 是怎样的四边形？证明你的结论 22 （6 分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施假设在一定范围内，衬衫的单价每降 1 元，商场平均每天可多售出 2 件如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利 1250 元，那么衬衫的单价降了多少元？ 23 （8 分）如

8、图，小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC，并测得 B，C 两点的俯角分别为 60和 35， 已知大桥 BC 的长度为 100m， 且与地面在同一水平面上 求热气球离地面的高度 （结果保留整数，参考数据：sin35712，cos3556，tan35710，3 1.7） 第 5 页（共 31 页） 24 （8 分）已知二次函数 yx2（a1）x+a2，其中 a 是常数 （1）求证：不论 a 为何值，该二次函数的图象与 x 轴一定有公共点； （2）当 a4 时，该二次函数的图象顶点为 A，与 x 轴交于 B，D 两点，与 y 轴交于 C点，求四边形 ABCD 的面积 25 （9 分

9、）如图，在一条笔直的公路上有 M、P、N 三个地点，M、P 两地相距 20km，甲开汽车，乙骑自行车分别从 M、P 两地同时出发，匀速前往 N 地，到达 N 地后停止运动已知乙骑自行车的速度为 20km/h，甲，乙两人之间的距离 y（km）与乙行驶的时间t（h）之间的关系如图所示 （1）M、N 两地之间的距离为 km； （2）求线段 BC 所表示的 y 与 t 之间的函数表达式； （3）若乙到达 N 地后，甲，乙立即以各自原速度返回 M 地，请在图所给的直角坐标系中补全函数图象 第 6 页（共 31 页） 26 （9 分）如图，点 A 在O 上，点 P 是O 外一点，PA 切O 于点 A，连接

10、 OP 交O于点 D，作 ABOP 于点 C，交O 于点 B，连接 PB （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若 PC9，AB63， 求图中阴影部分的面积； 若点 E 是O 上一点，连接 AE，BE，当 AE62时，BE 27 （10 分） （1）问题背景 如图，BC 是O 的直径，点 A 在O 上，ABAC，P 为 BmC 上一动点（不与 B，C重合） ，求证：2PAPB+PC 小明同学观察到图中自点 A 出发有三条线段 AB，AP，AC，且 ABAC，这就为旋转作了铺垫于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将PAC 绕着点 A 顺时针旋转 90至QAB（如图） ； 第二步：证明 Q，

11、B，P 三点共线，进而原题得证 请你根据小明同学的思考过程完成证明过程 （2）类比迁移 如图，O 的半径为 3，点 A，B 在O 上，C 为O 内一点，ABAC，ABAC，垂足为 A，求 OC 的最小值 （3）拓展延伸 第 7 页（共 31 页） 如图，O 的半径为 3，点 A，B 在O 上，C 为O 内一点，AB=43AC，ABAC，垂足为 A，则 OC 的最小值为 第 8 页（共 31 页） 2017 年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷年江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分

12、，共分，共 12 分在每小题所给出的四个选项中，恰分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （2 分）2 的相反数是（ ） A2 B12 C2 D12 【分析】 根据相反数的含义， 可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加 “” ，据此解答即可 【解答】解：根据相反数的含义，可得 2 的相反数是：2 故选：C 【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是

13、在这个数的前边添加“” 2（2 分） 氢原子的半径大约是 0.000 0077m， 将数据 0.000 0077 用科学记数法表示为 （ ） A0.77105 B0.77106 C7.7105 D7.7106 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000 0077 用科学记数法表示为 7.7106， 故选：D 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前

14、面的 0 的个数所决定 3 （2 分）7介于（ ） A4 与3 之间 B3 与2 之间 C2 与1 之间 D1 与 0 之间 【分析】首先由 479，可估算出7的取值范围，易得结果 【解答】解：479， 273， 3 72， 第 9 页（共 31 页） 故选：B 【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用“夹逼法”是解答此题的关键 4 （2 分）下列平面图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A等腰三角形 B正五边形 C平行四边形 D矩形 【分析】 根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出 【解答】解：A、等腰三角形旋转

15、180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，但它是轴对称图形，故此选项错误； B、正五边形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、平行四边形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误； D、矩形旋转 180后能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确 故选：D 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键 5 （2 分）如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ） A四棱柱 B三棱柱 C三棱锥 D圆锥 【分析】主视图、左视图、俯视图是

16、分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 【解答】解：由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为三角形可得为三棱柱 故选：B 【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查 第 10 页（共 31 页） 6 （2 分）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 6cm，P 是对角线 BE 上一动点，过点 P 作直线 l 与 BE 垂直，动点 P 从 B 点出发且以 1cm/s 的速度匀速平移至 E 点设直线 l 扫过正六边形 ABCDEF 区域的面积为 S（cm2） ，点 P 的运动时间为 t（s） ，下列能反映 S 与 t 之间函数

17、关系的大致图象是（ ） A B C D 【分析】从给出的图象中看，中间位置的图象一致，只要计算两边取值中的图象即可作出判断； 先计算点 P 从 B 到 G 时扫过的面积 S， 发现是二次函数， 且开口向下， 可以否定 A 和 B，再计算点 P 从 9t12 时扫过的面积为正六边形的面积EMN 的面积， 计算得到一个开口向下的二次函数，由此作判断 【解答】解：由题意得：BPt， 如图 1，连接 AC，交 BE 于 G， RtABG 中，AB6，ABG60， BAG30， BG=12AB3， 由勾股定理得：AG= 62 32=33， AC2AG63， 当 0t3 时，PM= 3t， MN23t，

18、第 11 页（共 31 页） SSBMN=12MNPB=12 32=322， 所以选项 A 和 B 不正确； 如图 2，当 9t12 时，PE12t， MEP60， tanMEP=， PM= 3（12t） ， MN2PM23（12t） ， SS正六边形SEMN， 212（AF+BE）AG12MNPE， （6+12）33 12 23（12t） （12t） ， 543 3（14424t+t2） ， = 32+243t903， 此二次函数的开口向下， 所以选项 C 正确，选项 D 不正确； 故选：C 【点评】本题考查了动点所在直线的运动问题，利用数形结合的思想，确定动直线扫过区域面积的几种可能，通过

19、计算其解析式来判断 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直分不需写出解答过程，请把答案直 第 12 页（共 31 页） 接填写在答题卡相应位置上）接填写在答题卡相应位置上） 7 （2 分）8 的算术平方根是 22 ；8 的立方根是 2 【分析】依据算术平方根的性质和立方根的性质解答即可 【解答】解：8 的算术平方根是 22；8 的立方根是 2 故答案为：22；2 【点评】本题主要考查的是算术平方根、立方根的性质，熟练掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键 8 （2 分）若式子 2在实数范围内有意义，则

20、x 的取值范围是 x2 【分析】根据被开方数是非负数，可得答案 【解答】解：由题意，得 x20， 解得 x2， 故答案为：x2 【点评】此题考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 9 （2 分）计算 386= 2 【分析】直接利用二次根式乘运算法则计算得出答案 【解答】解：原式=386=246= 4 =2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键 10 （2 分）已知反比例函数 y=的图象经过点 A（2，3） ，则当 x1 时，y 6 【分析】直接把 A（2，3）代入反比例函数

21、y=求出 k 的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把 x1 代入求出 y 的值即可 【解答】解：反比例函数 y=的图象经过点 A（2，3） ， 3=2，解得 k6， 反比例函数的解析式为 y= 6， 当 x1 时，y= 61=6 第 13 页（共 31 页） 故答案为：6 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 11 （2 分）某班的中考英语口语考试成绩如表： 考试成绩/分 30 29 28 27 26 学生数/人 3 15 13 6 3 则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 1 分 【分析】众数是一组数据

22、中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数 【解答】解：这组数出现次数最多的是 29； 这组数的众数是 29 共 40 人， 中位数应是第 20 和第 21 人的平均数， 位于最中间的数是 28，28， 这组数的中位数是 28 该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 29281 分， 故答案为：1 【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序， 然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，

23、 如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数 12 （2 分）若方程 x212x+50 的两根分别为 a，b，则 a2b+ab2的值为 60 【分析】先根据根与系数的关系得到 a+b12，ab5，再把 a2b+ab2变形为 ab（a+b） ，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：根据题意得 a+b12，ab5， 所以 a2b+ab2ab（a+b） 512 60 故答案为 60 第 14 页（共 31 页） 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= 13 （2 分）若圆锥的高

24、是 8cm，母线长是 10cm，则这个圆锥的侧面积是 60 cm2（结果保留 ） 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积 【解答】解：圆锥的底面圆的半径= 102 82=6， 所以这个圆锥的侧面积=12261060（cm2） 故答案为 60 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 14 （2 分）若一个正多边形的每一个外角都是 30，则这个正多边形的边数为 12 【分析】根据正多

25、边形的每一个外角都相等，多边形的边数36030，计算即可求解 【解答】解：这个正多边形的边数：3603012， 故答案为：12 【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键 15 （2 分） 如图， 在O 的内接六边形 ABCDEF 中， A+C220， 则E 140 【分析】连接 BF，BD，根据已知条件得到的度数+的度数440，得到的度数44036080，根据圆内接四边形的性质即可得到结论 【解答】解：连接 BF，BD， A+C220， 第 15 页（共 31 页） 的度数+的度数440， 的度数44036080， DBF40， E180DBF14

26、0， 故答案为：140 【点评】本题考查了圆周角定理，多边形的内角与外角，正确的作出辅助线是解题的关键 16 （2 分）如图，在ABC 中，A45，B60，AB4，P 是 BC 边上的动点（不与 B，C 重合） ，点 P 关于直线 AB，AC 的对称点分别为 M，N，则线段 MN 长的取值范围是 26 MN42 【分析】连接 AM、AN、AP，过点 A 作 ADMN 于点 D，由对称性可知 AMAPAN、MAN 等腰直角三角形，进而即可得出 MN= 2AP，再根据 AP 的取值范围即可得出线段 MN 长的取值范围 【解答】解：连接 AM、AN、AP，过点 A 作 ADMN 于点 D，如图所示

27、点 P 关于直线 AB，AC 的对称点分别为 M，N， AMAPAN，MABPAB，NACPAC， MAN 等腰直角三角形， AMD45， ADMD=22AM，MN= 2AM 第 16 页（共 31 页） AB4，B60， 23 AP4， AMAP， 26 MN42 故答案为：26 MN42 【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是证得AMN 是等腰直角三角形 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演

28、算步骤） 17 （10 分） （1）解不等式组 3( 2) 421312并把它的解集在数轴上表示出来 （2）解方程33=113 【分析】 （1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解： （1） 3( 2) 421312， 解不等式，得 x1， 解不等式，得 x1， 则不等式组的解集是1x1； 第 17 页（共 31 页） （2）方程两边同乘 x3 得：3x（x3）+1， 解得：x1， 检验：当 x1 时，x30， 所以 x1 是原方

29、程的解 【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18 （6 分）先化简代数式 11212+2，并从1，0，1，3 中选取一个合适的数代入求值 【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后在1，0，1，3 中选取一个使得原分式有意义的 x 的值代入即可解答本题 【解答】解：11212+2 = 1 1(+2)(+1)(1) 1+2+1 =+12+1 = 1+1， 当 x3 时，原式= 13+1= 14 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法 19 （8 分）某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习

30、资源，随机抽取部分学生了解情况，并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图 上网查找学习资源方式频数分布表 查找方式 频数 频率 搜索引擎 16 32% 专题网站 15 a 在线网校 4 8% 试题题库 10 20% 其他 b 10% 第 18 页（共 31 页） （1）频数分布表中 a，b 的值：a 30% ；b 5 ； （2）补全频数分布直方图； （3） 若全校有 1000 名学生， 估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名？ 【分析】 （1）由统计图和统计表可以分别求得 a、b 的值； （2）根据 b 的值即可画出直方图； （3）用样本估计总体的思想，即可解决问题； 【解答】

31、解： （1）1632%50，a=1550100%30%，b5010%5， 故答案为 30%；5； （2）频数分布直方图，如图所示， （3）100032%320（名） 答：该校利用搜索引擎查找学习资源的学生有 320 名 【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解题的关键是明确 第 19 页（共 31 页） 题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题 20 （6 分）从 2 名男生和 3 名女生中随机抽取运动会志愿者求下列事件的概率： （1）抽取 1 名，恰好是女生的概率为 35 ； （2）抽取 2 名，恰好是 1 名男生和 1 名女生 【分析】 （1）根据概率

32、的意义写出即可； （2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解 【解答】解： （1）P（女）=35； 故答案为：35； （2）画出树状图如下： 共有 20 种情况，其中“恰好是 1 名男生和 1 名女生”的情况有 12 种， 所以，P（恰好是 1 名男生和 1 名女生 B）=1220=35 【点评】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 21 （8 分）如图，在四边形 ABCD 中，BEAC，DFAC，垂足分别为 E，F，BEDF，AECF （1）求证：AFDCEB； （2）若CBEBAC，四边形 ABCD 是怎样的四边形？证明你的结论 第 20 页（共

33、 31 页） 【分析】 （1）求出 AFCE，再利用“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得 ADBC，全等三角形对应角相等可得BCEDAF，再根据内错角相等，两直线平行证明 ADBC，然后判断出四边形 ABCD 是平行四边形，求出ABC90，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明 【解答】证明： （1）BEAC，DFAC， AFDCEB90 AEFC， AE+EFFC+EF， AFCE， 又BEDF， AFDCEB； （2）四边形 ABCD 为矩形 AFDCEB， ADBC，BCEDAF ADBC， 四边形 ABCD 为平行四边形， CBEBAC， 又CBE+ACB90

34、， BAC+ACB90， ABC90， 四边形 ABCD 为矩形 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键 22 （6 分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施假设在一定范围内，衬衫的单价每降 1 元，商场平均每天可多售出 2 件如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利 1250 元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【分析】 设衬衫的单价降了x元 根据题意等量关系： 降价后的销量每件的利润1250，根据等量关系列出方程即可 第 21 页（共 31 页） 【解答】解：设衬衫

35、的单价降了 x 元根据题意，得 （20+2x） （40 x）1250， 解得：x1x215， 答：衬衫的单价降了 15 元 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程 23 （8 分）如图，小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC，并测得 B，C 两点的俯角分别为 60和 35， 已知大桥 BC 的长度为 100m， 且与地面在同一水平面上 求热气球离地面的高度 （结果保留整数，参考数据：sin35712，cos3556，tan35710，3 1.7） 【分析】作 ADCB 交 CB 所在直线于点 D，利用锐角三角函数的定义求出

36、CD 及 BD 的长，利用 BCCDBD 即可得出结论 【解答】解：作 ADCB 交 CB 所在直线于点 D，由题知， ACD35，ABD60， 在 RtACD 中，ACD35，tan35=710， CD=107AD 在 RtABD 中，ABD60，tan60= 3 1.7， BD=1017AD， BCCDBD=107AD1017AD， 107AD1017AD100，解得 AD119m 答：热气球离地面的高 119m 第 22 页（共 31 页） 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 24 （8 分）已知二次函数 yx2（a1

37、）x+a2，其中 a 是常数 （1）求证：不论 a 为何值，该二次函数的图象与 x 轴一定有公共点； （2）当 a4 时，该二次函数的图象顶点为 A，与 x 轴交于 B，D 两点，与 y 轴交于 C点，求四边形 ABCD 的面积 【分析】 （1）利用根的判别式符号进行证明； （2）由抛物线解析式求得点 B、C、D 的坐标，然后利用分割法来求四边形 ABCD 的面积 【解答】 （1）证明：yx2（a1）x+a2 因为（a1）24（a2）（a3）20 所以，方程 x2（a1）x+a20 有实数根 所以，不论 a 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点； （2）由题可知：当 a4 时，yx23x+

38、2， 因为 yx23x+2（x32）214，所以 A（32，14） ， 当 y0 时，x23x+20，解得 x11，x22，所以 B（1，0） ，D（2，0） ， 第 23 页（共 31 页） 当 x0 时，y2，所以 C（0，2） ， 所以 S四边形ABCDSABD+SBDC=18+1=98 【点评】本题考查了待定系数法，抛物线和坐标轴的交点、顶点坐标，四边形的面积的求法等， （2）利用分割法求四边形的面积是本题的关键 25 （9 分）如图，在一条笔直的公路上有 M、P、N 三个地点，M、P 两地相距 20km，甲开汽车，乙骑自行车分别从 M、P 两地同时出发，匀速前往 N 地，到达 N 地

39、后停止运动已知乙骑自行车的速度为 20km/h，甲，乙两人之间的距离 y（km）与乙行驶的时间t（h）之间的关系如图所示 （1）M、N 两地之间的距离为 80 km； （2）求线段 BC 所表示的 y 与 t 之间的函数表达式； （3）若乙到达 N 地后，甲，乙立即以各自原速度返回 M 地，请在图所给的直角坐标系中补全函数图象 【分析】 （1）根据路程速度时间，可求 PM，再计算 20 即可求解； （2）由题意可知 B（13，0） ，C（1，40） ，根据待定系数法可求线段 BC 所表示的 y 与 t之间的函数表达式； （3）当甲开汽车返回 M 地时，甲，乙两人之间的距离 y（km）最大为 6

40、0；依此补全函数图象 【解答】解： （1）203+20 60+20 80（km） 答：M、N 两地之间的距离为 80km； 第 24 页（共 31 页） （2）由题意可知 B（13，0） ，C（1，40） ， 设 y 与 x 之间的函数表达式为 ykt+b 根据题意得， 当 x=13时，y0； 当 x1 时，y40 所以13 + = 0 + = 40， 解得 = 60 = 20 所以，y 与 t 之间的函数表达式为 y60t20； （3）如图所示： 故答案为：80 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，利用图表中数据得出汽车速度是解题关键 26 （9 分）如图，点 A 在O 上，点 P 是O

41、外一点，PA 切O 于点 A，连接 OP 交O于点 D，作 ABOP 于点 C，交O 于点 B，连接 PB （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若 PC9，AB63， 求图中阴影部分的面积； 若点 E 是O 上一点， 连接 AE， BE， 当 AE62时， BE 36 32或 36 +32 第 25 页（共 31 页） 【分析】 （1） 由 PA 切O 于点 A 得： PAO90， 再证明APOBPO， 所以PBOPAO90，可得结论； （2）先根据垂径定理得：BC33，根据勾股定理求圆的半径 OB 的长，利用三角函数得： COB60， 利用三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求 SOPB

42、和 S扇形DOB的值，最后利用面积差得结论； 分两种情况： i）当点 E 在上时，如图 2，作辅助线，构建直角三角形和等腰直角三角形，利用同弧所对的圆周角与半径及勾股定理分别计算 EH 和 BH 的长，相加即可得 BE 的长； ii）当点 E 在劣弧上时，如图 3，作辅助线，同理计算 EH 和 BH 的长，最后利用勾股定理求 BE 的长 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OB， OPAB，OP 经过圆心 O， ACBC， OP 垂直平分 AB， APBP， OAOB，OPOP， APOBPO（SSS） ， PAOPBO， PA 切O 于点 A， APOA， PAO90， PBOPAO90，

43、 OBBP， 又点 B 在O 上， PB 与O 相切于点 B； 第 26 页（共 31 页） （2）解：如图 1，OPAB，OP 经过圆心 O， BC=12AB33， PBOBCO90， PBC+OBCOBC+BOC90， PBCBOC， PBCBOC， = OC=33339=3， 在 RtOCB 中，OB= 2+ 2=32+ (33)2=6，tanCOB= 3， COB60， SOPB=12OPBC=12 (3 + 9) 33 =183，S扇DOB=6062360=6， S阴影SOPBS扇DOB183 6； 分两种情况： i）当点 E 在上时，如图 2，作直径 AF，交O 于 F，连接 EF

44、、EB，过 O 作 OGAE 于 G，过 F 作 FHEB 于 H， EGAG=12AE=12 62 =32， AOB120，OAOB， OAB30， BEFOAB30， RtOGE 中，由知：OA6， OG= 2 2=62 (32)2=32， AGOG， OGA 是等腰直角三角形， OAE45， EBFOAE45， AF 是O 的直径， AEF90， 第 27 页（共 31 页） AEF 是等腰直角三角形， EFAE62， RtEHF 中，BEF30， FH=12EF32， EH= 2 2=(62)2 (32)2=36， RtBHF 中，EBF45， BHF 是等腰直角三角形， BHFH32

45、， BE32 +36， ii）当点 E 在劣弧上时，如图 3， 作直径 AF，交O 于 F，连接 OB、OE、BF，过 B 作 BHOE 于 H， AF 为O 的直径， ABF90， BAF30， FBOF60， OAOE6，AE62， OA2+OE2AE2， AOE90， EOF90， EOB30， RtOHB 中，BH=12OB3， OH= 62 32=33， EH633， BE= 2+ 2=32+ (6 33)2=72 363 =36 32； 综上所述，BE 的长为 36 +32或 36 32； 故答案为：36 32 或 36 +32 第 28 页（共 31 页） 【点评】本题考查了切线

46、的性质和判定、垂径定理、三角函数、扇形的面积、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第 2 小问构建辅助线是关键，同时要采用分类讨论的思想 27 （10 分） （1）问题背景 如图，BC 是O 的直径，点 A 在O 上，ABAC，P 为 BmC 上一动点（不与 B，C重合） ，求证：2PAPB+PC 小明同学观察到图中自点 A 出发有三条线段 AB，AP，AC，且 ABAC，这就为旋转作了铺垫于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将PAC 绕着点 A 顺时针旋转 90至QAB（如图） ； 第二步：证明 Q，B，P 三点共线，进而原题得证 请你根据小明同学的思考过程完成证明过程 （2）类比迁移

47、第 29 页（共 31 页） 如图，O 的半径为 3，点 A，B 在O 上，C 为O 内一点，ABAC，ABAC，垂足为 A，求 OC 的最小值 （3）拓展延伸 如图，O 的半径为 3，点 A，B 在O 上，C 为O 内一点，AB=43AC，ABAC，垂足为 A，则 OC 的最小值为 32 【分析】 （1）将PAC 绕着点 A 顺时针旋转 90至QAB（如图） ，只要证明APQ是等腰直角三角形即可解决问题； （2）如图中，连接 OA，将OAC 绕点 O 顺时针旋转 90至QAB，连接 OB，OQ，在BOQ 中，利用三边关系定理即可解决问题； （3）如图构造相似三角形即可解决问题作 AQOA，使

48、得 AQ=43OA，连接 OQ，BQ，OB由QABOAC，推出 BQ=43OC，当 BQ 最小时，OC 最小； 【解答】 （1）证明：将PAC 绕着点 A 顺时针旋转 90至QAB（如图） ； BC 是直径， BAC90， ABAC， ACBABC45， 由旋转可得QBAPCA，ACBAPB45，PCQB， PCA+PBA180， QBA+PBA180， 第 30 页（共 31 页） Q，B，P 三点共线， QAB+BAPBAP+PAC90， QP2AP2+AQ22AP2， QP= 2APQB+BPPC+PB， 2APPC+PB （2）解：如图中，连接 OA，将OAC 绕点 A 顺时针旋转 9

49、0至QAB，连接 OB，OQ， ABAC BAC90 由旋转可得 QBOC，AQOA，QABOAC QAB+BAOBAO+OAC90 在 RtOAQ 中，OQ32，AO3 在OQB 中，BQOQOB32 3 即 OC 最小值是 32 3 （3）如图中，作 AQOA，使得 AQ=43OA，连接 OQ，BQ，OB QAOBAC90， QABOAC， 第 31 页（共 31 页） =43， QABOAC， BQ=43OC， 当 BQ 最小时，OC 最小， 易知 OA3，AQ4，OQ5，BQOQOB， BQ2， BQ 的最小值为 2， OC 的最小值为342=32， 故答案为32 【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加常用辅助线， 构造全等三角形或相似三角形解决问题， 属于中考压轴题 声明：试题解析著 作权属菁优网 所有，未经书 面同意，不得 复制发布 日期：2019/5/3 1 4:00:32； 用户：1352148 1426；邮箱： 13521481426 ；学号：22294 944