初中数学九年级秋季学生版 九年级秋季班-第2讲：相似三角形.pdf

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1、 1 / 18 D A B C E 相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容， 本讲主要讲解相似三角形的判定和相似三角形的性质； 重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定， 并结合相似三角形的性质进行相关的证明， 难点是相似三角形的性质与判定的互相结合， 以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合 1、 相似三角形的定义相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形 如图，DE是ABC的中位线，那么在ADE与ABC中， AA ， ADEB，AEDC；12ADDEAEABBCAC 由相

2、似三角形的定义，可知这两个三角形相似 用符号来表示，记作ADEABC，其中点A与点A、 点D与点B、点E与点C分别是对应顶点；符号“”读作“相似于” 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上 相似三角形 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一：相似三角形的判定 知识知识精讲精讲 2 / 18 A B C A1 B1 C1 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比相似比（或相似系数相似系数） （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似

3、2、 相似三角形的预备定理相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似 如图，已知直线l与ABC的两边AB、AC所在直线分别交于点D和点E，则ADEABC 3、 相似三角形判定定理相似三角形判定定理 1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似 如图， 在ABC与111ABC中， 如果1AA 、1BB ， 那么ABC111ABC 常见模型如下： A B C D E A B C D E A B C D E 3 / 18 A B C A1 B1 C1 A B C A1 B1 C1

4、4、 相似三角形判定定理相似三角形判定定理 2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似 如图， 在ABC与111ABC中，1AA ，1111ABACABAC， 那么ABC111ABC 5、 相似三角形判定定理相似三角形判定定理 3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似 如图， 在ABC与111ABC中， 如果111111ABBCCAABBCC A， 那么ABC111ABC 6、 直角三角形相似的判定定理直角三角形相

5、似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似 如图，在Rt ABC和111Rt ABC中，如果190CC ，1111ABBCABBC，那么ABC111ABC A B C A1 B1 C1 4 / 18 A B C A B C D E A B C P 【例1】 如图，已知点 P 是ABC中边 AC 上一点，联结 BP，要使ABPACB，那么应添加的一个条件为_，或_，或_ 【例2】 下列命题正确的是（ ） A有一个角是 40的两个等腰三角形相似 B有一个角是 106

6、的两个等腰三角形相似 C面积相等的两个直角三角形相似 D两边之比为 3 : 5 的两个直角三角形相似 【例3】 下列 44 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ） A B C D 【例4】 如图，ABC中，AE 交 BC 于点 D，CE ，:3:5AD DE ，AE = 8， BD = 4，则 DC 的长等于（ ） A415 B125 C174 D154 例题解析例题解析 5 / 18 A B C D P A B C D E F P 【例5】 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、4、5 的三角形按图

7、1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对 应边间距为 1，则新三角形与原三角形相似； 乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边 间距均为 1，则新矩形与原矩形相似 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A两人多对 B两人都不对 C甲对乙不对 D甲不对，乙对 【例6】 如图，ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，点 M 为 BC 中点，MNAC 于点 N，则MN =_ 【例7】 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延长线相交于点 E，BP / DF，且与 AD 相交于点 P，则图中有_对相似的

8、三角形 【例8】 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC，90ABC，AB = 8，AD = 3，BC = 4，点 P 为 AB 边上一动点，若PAD与PBC是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 图 1 图 2 1 1 1 1 1 1 1 A B C N M 6 / 18 A B C D E F A B C D E F 【例9】 如图，在Rt ABC中，90ACB，BC = 3，AC = 4，AB 的垂直平分线 DE 交 BC的延长线于点 E，则 CE 的长为（ ） A32 B76 C256 D2 【例10】 如图，在平行四边形 AB

9、CD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F为线段 DE 上一点，且AEFB （1）求证：ADFDEC； （2）若 AB = 8，AD =6 3，AF =4 3，求 AE 的长 【例11】 如图，梯形 ABCD 中，AD / BC，AB = DC，对角线 AC、BD 相交于点 F，点E 是边 BC 延长线上一点，且CDEABD （1）求证：四边形 ACED 是平行四边形； （2）联结 AE，交 BD 于点 G，求证：DGDFGBDB A B C D E 7 / 18 A B C D E F G H Q A B C D N M A B C D E F G 【例12】 如图，在AB

10、C中，AB = AC，点 D、E 分别是边 AC、AB 的中点，DFAC，DF 与 CE 相交于点 F，AF 的延长线与 BD 相交于点 G （1）求证：2ADDG BD； （2）联结 CG，求证：ECBDCG 【例13】 在ABC中，AB = 40，AC = 24，BC = 32，点 D 是射线 BC 上的一点（不与端点重合） ，联结 AD，如果ACD与ABC相似，求 BD 的值 【例14】 正方形 ABCD 的边长为 1，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，且始终保持AMMN，求当 BM 为多少时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积为多少？ 【例15】 如图，将边长为 6 cm

11、的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边的中点 E 处，折痕为 FH，点 C 落在 Q 处，EQ 与 BC 交于点 G，则EBG的周长为_cm 8 / 18 【例16】 如图，Rt ABC中，90ACB，AC = 4 cm，BC = 2 cm，D 为 BC 的中点，若动点 E 以 1 cm/s 的速度从 A 点出发， 沿着ABA的方向运动， 设点 E 的运动时间为 t 秒，联结 DE，当 t 为何值时，BDE是直角三角形？ 【例17】 如图，ABC中，4AB = 5AC，AD 为ABC的角平分线，点 E 在 BC 的延长线上，EFAD 于点 F，点 G 在 AF 上，FG = FD，

12、联结 EG 交 AC 于点 H，若点 H 是AC 的中点，求AGFD的值 A B C D E A B C D E F G H 9 / 18 1、 相似三角形性质定理相似三角形性质定理 1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 2、 相似三角形性质定理相似三角形性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 3、 相似三角形性质定理相似三角形性质定理 3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方 【例18】 如果两个相似三角形的面积之比是 9 : 25， 其中小三角形一边上的中线长是 12 cm，那么大三角形对应边上的中线长是_cm 【例19】 在ABC中， DE / BC，

13、 且 D 在 AB 边上， E 在 AC 边上， 若:1:4ADEBCEDSS，则:ADEABCCC_，:AD DB _ 【例20】 如图， 梯形 ABCD 中， AD / BC，90BACD ， AB = 2， DC = 3， 则ABC与DCA的面积比为（ ） A2 : 3 B2 : 5 C4 : 9 D2 :3 【例21】 如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8， 另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3、4 及 x，那么 x 的值为（ ） A只有 1 个 B可以有 2 个 C可以有 3 个 D有无数个 模块二：相似三角形的性质 知识知识精讲精讲 例题解析例题解析 A B C D

14、10 / 18 A B C D E 【例22】 如图，D、E 分别在ABC的边 AB、AC 上，23ADAEDEABACBC，且ABC与ADE的周长之差为 15 cm，求ABC与ADE的周长 【例23】 如图，在ABC中，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且 DE / AC，若:1: 4BDECDESS，则:BDEACDSS_ 【例24】 如图，在ABC中，90C，将ABC沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处，已知 MN / AB，MC = 6，2 3NC ，那么四边形 MABN 的面积是_ 【例25】 如图， 在平行四边形 ABCD 中， AB = 6， AD

15、= 9，BAD的平分线交 BC 于 E，交 DC 的延长线与 F，BGAE于 G，则EFC的周长为_ A B C D E A B C D N M A B C D E F G 11 / 18 A B C D E 【例26】 如图，在ABC中，BE 平分ABC交 AC 于点 E，过点 E 作 ED / BC 交 AB于点 D （1）求证：AE BCBD AC； （2）如果3ADES，2BDES，DE = 6，求 BC 的长 【例27】 如图，直角三角形 ABC 中，90ACB，AB = 10，BC = 6，在线段 AB 上取一点 D，作DFAB交 AC 于点 F，现将ADF沿 DF 折叠，使点 A

16、 落在线段 DB上，对应点记为1A，AD 的中点 E 的对应点记为1E，若11E FA1E BF， 则 AD =_ 【例28】 如图，在Rt ABC中，90C，AB = 5，BC = 3，点 D、E 分别在 BC、AC上， 且 BD = CE， 设点 C 关于 DE 的对称点为 F， 若 DF / AB， 则 BD 的长为_ A B C D E F A1 E1 A B C D E 12 / 18 A B C D P Q 【例29】 如图，在Rt ABC中，90ACB，AC = 8，BC = 6，CDAB于点 D点 P从点 D 出发，沿线段 CD 向点 C 运动，点 O 从点 C 出发，沿线段

17、CA 向点 A 运动，两点同时出发， 速度都为每秒 1 个单位长度， 当点 P 运动到点 C 时， 两点都停止 设运动时间为 t 秒 （1）求线段 CD 的长； （2）设CPQ的面积为 S，求 S 与 t 之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时刻 t， 使得:9:100CPQABCSS？若存在， 求出 t 的值； 若不存在， 请说明理由； （3）当 t 为何值时，CPQ为等腰三角形？ 13 / 18 A B C A B C D E F G A B C D E 【习题1】 如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC相似的是（ ） A B C D 【习题2】

18、 如图，D 是ABC的边 AC 上一点，CBD的平分线交 AC 于点 E，AE = AB，则长度为线段 AD、AC 长度比例中项的线段是_ 【习题3】 如图， 在ABC中， D、 F 是 AB 的三等分点， DE / FG / BC， 分别交 AC 于 E、G 记ADE、 四边形 DFGE、 四边形 FBCG 的面积分别为1S、2S、3S， 则123:SSS _ 【习题4】 如图， D是ABC的边 BC上一点， 已知AB = 4， AD = 2，DACB ， 若ABD的面积为 a，则ACD的面积为_ 随堂检测随堂检测 A B C D 14 / 18 A B C P N M Q x y x y

19、x y x y O O O O 3 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4 5 A B C D E F M G H 【习题5】 如图，矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，动点 P 从 A 点出发，按ABC的方向在 AB 和 BC 上移动，记 PA = x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图像大致是（ ） A B C D 【习题6】 如图，已知点 D 是等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的一点，BC = 3BD，CEAD，则AECE_ 【习题7】 在同一时刻，两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 AB = 2 m，它的影子 BC = 1.6 m，

20、木竿 PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM = 1.2 m，MN = 0.8 m，则木竿 PQ 的长度为_m 【习题8】 如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EFAE，EF 分别交 AC、CD 于点 M、F，BGAC，垂足为点 G，BG 交 AE 于点 H （1）求证：ABEECF； （2）找出与ABH相似的三角形，并证明； （3）若 E 是 BC 的中点，BC = 2AB，AB = 2，求 EM 的长 A B C D P x y A B C D E 15 / 18 A B C D E F G H A B C D E F m H 【习题9】 如图，在矩形 ABCD 中，AB =

21、 2，BC = 3，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD的各边上，EF / AC / HG，EH / BD / FG，求四边形 EFGH 的周长 【习题10】 如图，在ABC中，AB = AC，ADAB 于点 D，BC = 10 cm，AD = 8 cm点P 从点 B 出发，在线段 BC 上以每秒 3 cm 的速度向点 C 匀速运动，与此同时，垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发，以每秒 2 cm 的速度沿 DA 方向匀速平移，分别交AB、AC、AD 于 E、F、H，当点 P 到达点 C 时，点 P 与直线 m 同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t 0） （1）当 t = 2 时

22、，连接 DE、DF，求证：四边形 AEDF 为菱形； （2） 在整个运动过程中， 所形成的PEF的面积存在最大值， 当PEF的面积最大时，求线段 BP 的长； （3）是否存在某一时刻 t，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻 t 的值；若不存在，请说明理由 16 / 18 A B C D E A B C D E A B C D E A B C D O 【作业1】 如图，在ABC中，DE / BC，12ADDB，则下列结论正确的是（ ） A12AEAC B12DEBC C13ADEABC的周长的周长 D13ADEABC的面积的面积 【作业2】 如图， 在ABC中， 点 D 和点 E 分别在

23、边 AB、 AC 上， 下列条件不能判定ABCAED的是（ ） AAEDB BADEC CADACAEAB DADAEABAC 【作业3】 一副三角尺按如图所示的方式叠放，则AOB与DOC的面积之比为_ 【作业4】 如图， 点 D、 E 分别在ABC两边 AB、 AC 上， 且 AD = 31， DB = 29， AE = 30，EC = 32 若50A ， 则关系式 “1ADEB； 2AEDC ； 3ADEC ；4AEDB”中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【作业5】 在ABC中， P 是 AB 上的动点 （P 异于 A、 B） ， 过点 P 的一条直线截ABC，使截

24、得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的相似线 如图，36A ，AB = AC，当点 P 在 AC 的垂直平分线上时， 过点 P 的ABC的相 似线最多有_条 课后作业课后作业 A B C P 17 / 18 A B C D E F G O A B C D E F A B C D E F N M 【作业6】 如图， 四边形 ABCD、 CEFG 都是正方形， 点 G 在线段 CD 上， 连接 BG、 DE，DE 和 FG 相交于点 O，设 AB = a，CG = b（a b） ，下列结论：1BCGDCE；2BGDE； 3DGGOGCCE； 422EFODGOabSb S， 其中

25、正确的个数是 （ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【作业7】 已知，在菱形 ABCD 中，CFAB，垂直为 E；CE 与 BD 相交于点 F （1）求证：ABCFBEEF；（2）求证：22DF DBBC 【作业8】 如图，四边形 ABCD 中，ACBD 交 BD 与点 E，点 F、M 分别是 AB，BC 的中点，BN 平分ABE交 AM 于点 N，AB = AC = BD，连接 MF，NF （1）判断BMN的形状，并证明你的结论； （2）判断MFN与BDC之间的关系，并说明理由 18 / 18 A B O x y A B C D E F G P Q 【作业9】 如图，AOB为等腰三

26、角形，顶点 A 的坐标为（2，5）底边 OB 在 x 轴上，将AOB绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度后得A O B，点 A 的对应点A在 x 轴上，求点O的坐标 【作业10】 已知：正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 为 BC 边的中点，点 P 为 AB 边上一动点，沿 PE 翻折得到BPE，直线 PF 交 CD 边于点 Q，交直线 AD 于点 G （1）如图，当 BP = 1.5 时，求 CQ 的长； （2）如图，当点 G 在射线 AD 上时，设 BP = x，DG = y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）延长 EF 交直线 AD 于点 H，若CQE与FHG相似，求 BP 的长