初中数学专题各地模拟试卷中考真题 中考真题按题型分类汇编 专题-中考数学猜想型试题及解答.pdf

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1、- 1 -猜想型试题猜想型试题例例 1 1如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF也是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程分析分析： 本题要求学生在掌握全等三角形的概念和性质的基础上，灵活运用三角形全等的判定及性质进行结论猜想。求解这类问题，不能随意乱猜，要结合题目给出的条件，根据图形直观的找出结论后再进行合理的推理论证。解解： （1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE，事实上，ABC 与DEF 都是等边三角形，A=B=C

2、=60，EDF=DEF=EFD=60,DE=EF=FD，又CED+AEF=120，CDE+CED=120AEF=CDE，同理，得CDE=BFD，AEFBFDCDE（AAS） ，所以 AE=BF=CD，AF=BD=CE。（2）线段 AE、BF、CD 它们绕ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转 120，可互相得到， 线段 AF、 BD、 CE 它们绕ABC 的内心按顺时针 （或按逆时针） 方向旋转 120,可互相得到。说明：说明：1.本题考查的是在三角形全等的判定及应用及旋转变换，它立意考查学生的观察、分析问题的能力.2.因为几何直观是一种思维形式，它是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识

3、别或猜想的心理状态它不仅拓展了学生的思维空间，考查了学生的能力，更因为几何直观具有发现的功能发现的功能这种思维既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点，所以成为近几年中考试题的考点及热点问题。练习一练习一1.已知： 如图， 四边形 ABCD 是菱形， E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长线上一点，且 DE=BF。请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可） 。（1）连结_；（2）猜想：_=_；（3）证明：FEDCBA A F B D E C - 2 -2如图 1012（1） ，1012（2） ，四边

4、形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D， 且直角顶点 E 在 AB 边上滑动 （点 E 不与点 A， B 重合） ，另一条直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F。如图 1012（1） ，当点 E 在 AB 边的中点位置时：通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是；连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是；请证明你的上述两猜想。如图 1012（2） ，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N，使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系

5、。3空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，ABG是等边三角形，C、D是以AB为直径的半圆O的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F，试判断点E、F分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证明一种情况即可）- 3 -4如图，已知平行四边形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、 BC、 、 D到直线l的距离分别为abcd、 、 、（1）观察图形，猜想得abcd、 、 、满足怎样的关系式？证明你的结论(2)现将l向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论5 5.如图 a，ABC 和CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF和 BE.(1)线段 A

6、F 和 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图 a 中的CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图 a 中的ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形 c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现.- 4 -例题例题 2 2已知二次函数qpxxy2(qp,为常数，=042 qp)的图象与x轴相交于 A0 ,1x，B0 ,2x两点，且 A，B 两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数652xxy及图象(如图)，可得出表中第 2 行的相交数据。在

7、表内的空格中填上正确的数；根据上述表内d 与的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；对于函数：qpxxy2(qp,为常数，=042 qp)证明你的猜想。分析：分析：用求根公式进行“两根差“的运算，也可以得到相应猜想的证明；无论是先用的证明，还是先用的证明，只要两种证明都正确。解解：第一行0, 01xq；21d第三行1p，=9，12x；猜想：2d例如：22xxy中；9, 2, 1qp；由022 xx得9, 3, 1, 2221ddxx，2d 证明。令0y，得02qpxx，0设02qpxx的两根为1x，2x则1x+2xp，qxx21qpxxy2pq1x2xd652x

8、xy561231xxy21221412122xxy223- 5 -2122122122124xxxxxxxxdqpqp4422说明：说明：这是一道设计新颖的猜想题目，它不仅考查学生的分析，观察能力，而且还考查了一元二次方程与函数的关系。通过猜想，归纳结论，从而体现从特殊到一般的认识规律反映出从一般又回到特殊的思想的方法。练习二练习二1、已知：在 RtABC 中，C900，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，设ABC 的面积为 S，周长为 l。填表：三边 a、b、cabcSl3、4、525、12、1348、15、176如果 abcm，观察上表猜想：Sl_(用含有 m 的代数式表示)。证明中的结

9、论。- 6 -2 2、如图 1，平面直角坐标系中有一张矩形纸片 OABC，O 为坐标原点，A 点坐标为(10，0)，C 点坐标为(0，6)。D 是 BC 边上的动点(与点 B、C 不重合)，现将COD 沿 OD 翻折，得到FOD；再在 AB 边上选取适当的点 E，将BDE 沿 DE 翻折，得到GDE，并使直线 DG、DF重合。(1)如图 2，若翻折后点 F 落在 OA 边上，求直线 DE 的函数关系式；(2)设 D(0，6)，E(10，b)，求 b 关于 a 的函数关系式，并求 b 的最小值；(3)一般地，请你猜想直线 DE 与抛物线 y=124x2+6 的公共点的个数，在图二的情形中通过计算

10、验证你的猜想；如果直线 DE 与抛物线 y=124x2+6 始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点。- 7 -3、已知 A1、A2、A3是抛物线212yx上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于 x 轴，垂足为 B1、B2、B3，直线 A2B2交线段 A1A3于点 C。（1）如图，若 A1、A2、A3三点的横坐标依次为 1、2、3，求线段 CA2的长。（2）如图，若将抛物线212yx改为抛物线2112yxx，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段 CA2的长。（3）若将抛物线212yx改为抛物线2yaxbxc，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变

11、，请猜想线段 CA2的长（用 a、b、c 表示，并直接写出答案） 。4、 ABC 中， BCa， ACb， ABc， 若C=90， 如图 1， 根据勾股定理， 则222cba，若ABC 不是直角三角形，如图 2 和图 3，请你类比勾股定理，试猜想22ba 与2c的关系，并证明你的结论。A1A2A3B3B2B1OCxy- 8 -能力训练能力训练1在中，将一块等腰直角三角板的直角顶点放ABCACBCC290在斜边 AB 的中点 P 处，将三角板绕点 P 旋转，三角板的两直角边分别交射线 AC、CB 于 D、E 两点。图，是旋转三角板得到的图形中的 3 种情况。研究：（1）三角板绕点 P 旋转，观察

12、线段 PD 和 PE 之间有什么数量关系？并结合图加以证明。（ ）三角板绕点 旋转，是否能成为等腰三角形？若能，指出所有2PPBE情况（即写出为等腰三角形时的长）；若不能，请说明理由。PBECE（3）若将三角板的直角顶点放在斜边 AB 上的 M 处，且 AM：MB1：3，和前面一样操作，试问线段 MD 和 ME 之间有什么数量关系？并结合图加以证明。2 (1)如图一，等边ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等边EDC，- 9 -连结 AE。求证：AEBC；(2)如图二，将(1)中等边ABC 的形状改成以 BC 为底边的等腰三角形，所作EDC 改成相似于ABC。请问：是

13、否仍有 AEBC？证明你的结论。3.如图，AB 是O 的直径,BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C,使 DC=BD,连接 AC 交O 与点 F.（1）AB 与 AC 的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类, 请你判断ABC 属于哪一类三角形，并说明理由.4如图(1)，AB 是O 的直径，射线 ATAB，点 P 是射线 A T 上的一个动点(P 与 A 不重合)，PC 与O 相切于 C，过 C 作 CEAB 于 E，连结 BC 并延长 BC 交 AT 于点 D，连结 PB图1EABCD图2ECABDO OF FD DC CB BA A- 10 -交 CE 于 F(1)请你写出 PA、P

14、D 之间的关系式，并说明理由；(2)请你找出图中有哪些三角形的面积被 PB 分成两等分，并加以证明；(3)设过 A、C、D 三点的圆的半径是 R，当 CF=41R 时，求APC 的度数，并在图(2)中作出点 P(要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)5 E、F 为ABCD 的对角线 DB 上三等分点，连 AE 并延长交 DC 于 P，连 PF 并延长交 AB于 Q，如图（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图，试用刻度尺在图、中量得 AQ、BQ 的长度，估计 AQ、BQ 间的关系，并填入下表长度单位：cmAQ 长度BQ 长度AQ、BQ 间的关系图中图中由上表可猜测 AQ、BQ 间的

15、关系是_（2）上述（1）中的猜测 AQ、BQ 间的关系成立吗？为什么？（3）若将ABCD 改为梯形（ABCD）其他条件不变，此时（1）中猜测 AQ、BQ 间的关系是否成立？（不必说明理由）6、 （2005 年黑龙江）已知矩形 ABCD 和点 P，当点 P 在图 1 中的位置时，则有结论：SPBC=SPAC+SPCD理由：过点 P 作 EF 垂直 BC，分别交 AD、BC 于 E、F 两点- 11 -图 l SPBC+SPAD=12BCPF+12ADPE=12BC（PF+PE）=12BCEF=12S矩形 ABCD又 SPAC+SPCD+SPAD=12S矩形 ABCD SPBC+SPAD= SPA

16、C+SPCD+SPAD SPBC=SPAC+SPCD请你参考上述信息，当点 P 分别在图 2、图 3 中的位置时，SPBC、SPAC、SPCD又有怎样的.数量关系?请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明答案：答案：练习一练习一- 12 -1、 （1）略（2） 。猜想 AF=AE（3）证法一：连结 AF，连结 AC，交 BD 于 O四边形 ABCD 是菱形，AC BD于 O，DO=BODEBFOFO， AC垂直平分 EFAFAE证法二：四边形 ABCD 是菱形，ABAD， ABDADB， ABFADE在ABFDE和中ABADABFADEBFDE ABFADEAFAE2解：

17、DE=EF；NE=BF。证明：四边形 ABCD 是正方形，N，E 分别为 AD，AB 的中点，DN=EBBF 平分CBM，AN=AE，DNE=EBF=90+45=135NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEFDNEEBF DE=EF，NE=BF在 DA 边上截取 DN=EB（或截取 AN=AE） ，连结 NE，点 N 就使得 NE=BF 成立（图略）此时，DE=EF3、- 13 -4、 （1）dbca证明：连结ACBD、，且ACBD、相交于点O，1OO为点O到l的距离，OO1为直角梯形11BB D D的中位线 ，1112OODDBBbd；同理：1112OOAACCacdbca

18、（2）不一定成立分别有以下情况：直线l过A点时，dbc；直线l过A点与B点之间时，dbac；直线l过B点时，dac；直线l过B点与D点之间时，dbca；直线l过D点时，bca；直线l过C点与D点之间时，dbca；直线l过C点时，dba；直线l过C点上方时，dbca5、(1)AF=BE.证明：在AFC 和BEC 中，ABC 和CEF 是等边三角形，AC=BC，CF=CE，ACF=BCE=60.AFCBEC. AF=BE.(2)成立.理由：在AFC 和BEC 中，ABC 和CEF 是等边三角形，AC=BC，CF=CE，ACB=FCE=60.- 14 -ACB-FCB=FCE-FCB.即ACF=BC

19、E.AFCBEC. AF=BE.(3)评价要求：此处图形不惟一，仅举几例，只要正确，即可得分.如图，(1)中的结论仍成立.(4)根据以上证明、说明、画图，归纳如下：练习二1、填表：三边 a、b、cabcSl3、4、52125、12、13418、15、17632Slm4证明：abcm，abmc，a22abb2m2c22mc。a2b2c2，2abm22mcab214m(m2c)Sl12ababc14m(m2c)mccm42、 （1）y=-x+12。（2）当 a=5 时，b最小值=116（3）猜想：直线 DE 与抛物线21624yx 只有一个公共点。证明：由（1）可知，DE 所在直线为 y=-x+1

20、2。- 15 -代入抛物线，得21612.24xx 化简得 x2-24x+144=0，所以=0。所以直线 DE 与抛物线21624yx 只有一个公共点。作法一：延长 OF 交 DE 于点 H。作法二：在 DB 上取点 M，使 DM=CD，过 M 作 MHBC，交 DE 于点 H。3、解： （1）方法一：A1、A2、A3三点的横坐标依次为 1、2、3，A1B1=211122，A2B221222，A3B32193221 分设直线 A1A3的解析式为 ykxb。12932kbkb解得232kb 直线 A1A2的解析式为322yx。CB2223252CA2=CB2A2B2=52212。方法二：A1、A

21、2、A3三点的横坐标依次为 1、2、3，A1B1=211122，A2B221222，A3B3219322由已知可得 A1B1A3B3，CB212（A1B1A3B3）12（1292）52。CA2=CB2A2B2=52212（1）方法一：设 A1、A2、A3三点的横坐标依次 n1、n、n1。则 A1B1=21(1)(1) 12nn，A2B2=12n2n1，A3B3=12(n1)2（n1）1。设直线 A1A3的解析式为 ykxb- 16 -221(1)(1)(1) 121(1)(1)(1) 12nkbnnnkbnn解得211322knbn 直线 A1A3的解析式为213(1)22ynxn，CB2n（

22、n1）12n23212n2n32CA2= CB2A2B2=12n2n3212n2n112。方法二：设 A1、A2、A3三点的横坐标依次 n1、n、n1。则 A1B1=21(1)(1) 12nn，A2B2=12n2n1，A3B3=12(n1)2（n1）1。由已知可得 A1B1A3B3，CB212（A1B1A3B3）=221 111111112 22nnnn =21322nnCA2= CB2A2B2=12n2n3212n2n112。（2）当 a0 时，CA2a；当 a0 时，CA2a。4、解：若ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2c2若ABC 是钝角三角形，C 为钝角，则有 a2+b20，x02

23、ax0a2+b2c2当ABC 是钝角三角形时，证明：过点 B 作 BDAC，交 AC 的延长线于点 D。设 CD 为 x，则有 DB2=a2x2根据勾股定理得(bx)2a2x2c2即b22bxx2a2x2c2- 17 -a2b22bxc2b0，x02bx0a2+b2c2能力训练能力训练1 （1）连结 PCABCPAB是等腰直角三角形， 是的中点CPPBCP ABACPACB，1245 ACPB45又 DPCCPEBPECPE90 DPCBPEPCDPBEPDPE（2）共有四种情况，当点 C 与点 E 重合，即 CE0 时，PEPB，此时CEPBBE22当 CE1 时，此时 PEBE当 在的延长

24、线上，且时，此时ECBCEPBEB22（3）MD：ME1：3过点作，垂足分别是 、MMF ACMH BCFHMHACMFBCCFMH/ / /，四边形是平行四边形CCFMH90是矩形 FMHMFCH90 ，CHHBAMMBHBMHMFMH1313 DMFDMHDMHEMH90 DMFEMH MFDMHE90MDFMHEMDMEMFMH13 A P D C E B - 18 -2006060/ECDACBECDACDACBACDACEBCDACBCECDCACEBCDEACBEACACBAEBCACECDACBECECDACDACBACDACEBCDACEBCD （1）ABC和 EDC都是等边三

25、角形。即。又，。，（2）EDC相似 ABCBC，。DC。即。相似/EACBABCABACBACBEACACBAEBC 。在中，。3.（1） （方法 1）连接 DO.OD 是ABC 的中位线，DOCAODBC，ODBOOBDODB，OBDACB，ABAC（方法 2）连接 AD，AB 是O 的直径，AOBC，BDCD，ABAC?E?P?F?C?B?A?n?m?oNM- 19 -（方法 3）连接 DO.OD 是ABC 的中位线，OD=21AC，OB=OD=21ABAB=AC4解：(1)连结 AC因为 ATAB，AB 是O 的直径，所以 A T 是O 的切线又 PC 是O 的切线，所以 PA=PC所以

26、PAC=PCA因为 AB 是O 的直径，所以ACB=90.所以PAC+ADC=90，PCA+PCD=90.所以ADC=PCD所以 PD=PC=PA(2)由(1)知，PD=PA，且同高，可见ABD 被 PB 分成面积相等的两个三角形因为 ATAB，CEAB，所以 ATCE所以 CF/PD=BF/BP，EF/PA=BF/BPF所以 CF/PD=EF/PA所以 CF=EF可见CEB 也被 PB 分成面积相等的两个三角形(3)由(1)知，PA=PCPD，所以 PA 是ACD 的外接圆的半径，即 PA=R由(2)知，CF=EF，而 CF=1/4 R，所以 EF=1/4 PA所以 EF/PA=1/4因为

27、EFAT，所以 BE/AB=EF/PA=1/4所以 CE=3BE在 RtACE 中，因为 tanCAE=3/3所以CAE=30.所以PAC=90-CAE=60.而 PA=PC，所以PAC 是等边三角形所以APC=60- 20 -P 点的作图方法见图5、6、猜想结果：图 2 结论 SPBC=SPAC+SPCD；图 3 结论 SPBC=SPAC-SPCD证明：如图 2，过点 P 作 EF 垂直 AD，分别交 AD、BC 于 E、F 两点 SPBC=12BCPF=12BCPE+12BCEF=12ADPE+12BCEF=SPAD+12S矩 形ABCDSPAC+SPCD=SPAD+SADC=SPAD+12S矩形ABCD SPBC=SPAC+SPCD