初中数学专题知识点及技巧总结 圆知识点总结.pdf

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1、 初三数学组 圆的章节知识点总结圆的章节知识点总结 一、圆的概念一、圆的概念 集合形式的概念：集合形式的概念： 1 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合；、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合； 轨迹形式的概念：轨迹形式的概念： 1 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点

2、为圆心，定长为半径的圆； （补充）（补充）2 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ； 3 3、角的平分线：到角两边距、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一

3、条直线；、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线； 二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系 1 1、点在圆内、点在圆内dr点点C在圆内；在圆内； 2 2、点在圆上、点在圆上dr=点点B在圆上；在圆上； 3 3、点在圆外、点在圆外dr点点A在圆外；在圆外； 三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系 1 1、直线、直线与圆相离与圆相离dr无交点；无交点； 2 2、直线与圆相切、直线与圆相切dr=有一个交点；有一个交点； 3 3、直线与圆相交、直线与圆相交dr有两个交点；有两个交点； drd=rrd 四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系 外离（

4、图外离（图 1 1） 无交点无交点 dRr+； 外切（图外切（图 2 2） 有一个交点有一个交点dRr=+； 相交（图相交（图 3 3） 有两个交点有两个交点RrdRr +； 内切（图内切（图 4 4） 有一个交点有一个交点dRr=； 内含（图内含（图 5 5） 无交点无交点 dRr； 图1rRd 图3rRd rddCBAO图2rRd图4rRd图5rRd 初三数学组 OCDABFEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAO 五、垂径定理五、垂径定理 弦：弦：连接圆上任意两点之间的线段叫做弦连接圆上任意两点之间的线段叫做弦. . 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧垂直

5、于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧. . 推论推论 1 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论推论 2 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 推论推论 3 3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共以上共 4 4 个定理，简称个定理，简称 2 2 推推 3 3 定理：此定理中共定理：此定理中共 5 5 个结论中，只要知道其中个结论中，只要知道其

6、中 2 2 个即可推出其它个即可推出其它 3 3 个结论个结论. .即：即：AB是直径是直径; ;ABCD; ;CEDE=; ; 弧弧BC=弧弧BD( );( ); ; ;中任意中任意 2 2 个个条件推出其他条件推出其他 3 3 个结论个结论. . 推论推论 4 4：圆的两条平行弦所夹的弧相等：圆的两条平行弦所夹的弧相等. .即：在即：在O中，中，ABCD 弧弧AC=弧弧BD 六、六、 圆心角定理圆心角定理 圆心角的定义：圆心角的定义：顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆心角顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆心角. . 圆心角定理：圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数圆心角的度数等于它所

7、对弧的度数. . （同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等等，弦心距相等也称一推三定理）即上述四个结论中，只要知道其中的也称一推三定理）即上述四个结论中，只要知道其中的 1 1 个相等，个相等，则可以推出其它的则可以推出其它的 3 3 个个结论也即：结论也即：AOBDOE=; ;ABDE=; ;OCOF=; ; BAED= 推论推论 1 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 推论推论 2 2：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等

8、，所对的弦也相等；：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等； 推论推论 3 3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等；：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等； 七、圆周角定理七、圆周角定理 圆周角的定义：圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. . 圆周角定理圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等且都且都等于它所对的圆心的角的一半等于它所对的圆心的角的一半. . 符号语言：符号语言：在在O中，中， CD、都是弧都是弧AB所对的圆周角所对的圆周角 C

9、D= AOB和和ACB是是弧弧AB所对的圆心角和圆所对的圆心角和圆周角周角 2AOBACB= 图形语言：图形语言： 推论推论 1 1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等相等. . 推论推论 2 2：半圆或直径所对的圆周角是直角； （：半圆或直径所对的圆周角是直角； （90的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径）圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径） 符号语言：在符号语言：在O中，中，AB是直径是直径=90C; ;或或=90C AB是直径是直径 BCBD=ACAD= 初三数学组 PBAONMAO推论推论 3 3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三

10、角形是直角三角形：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 符号语言：在符号语言：在ABC中，中，OA OBOC= ABC是直角三角形或是直角三角形或=90C 注：此推论实际上是几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理注：此推论实际上是几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理. . 八、圆内接四边形八、圆内接四边形 圆内接四边形：圆内接四边形：如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆形的外接

11、圆. . 圆的内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角圆的内接四边形的对角互补，圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角. . 符号语言：符号语言：在在O中，四边形中，四边形ABCD是内接四边形是内接四边形 180180CBADBDDAEC+= +=， 图形语言：图形语言： 圆的内接四边形的判定定理圆的内接四边形的判定定理 1 1：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆. . 符号语言：符号语言：在四边形在四边形ABCD中，中，180180CBADBD+= +

12、=， ABCD、 、 、四点共圆 圆的内接四边形的判定定理圆的内接四边形的判定定理 2 2：如果四边形的一个外角等于它内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆如果四边形的一个外角等于它内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆. . 符号语言：符号语言：在四边形在四边形ABCD中，中，DAEC= ABCD、 、 、四点共圆 九、九、 切线的性质与判定定理切线的性质与判定定理 1 1、切线的定义：、切线的定义：当直线和圆有且只有一个公共点时，我们把这条直线叫做圆的切线当直线和圆有且只有一个公共点时，我们把这条直线叫做圆的切线. . （1 1）判定定理）判定定理：经经过半径的外端过半径的外端且且垂直

13、于这条半径垂直于这条半径的直线是圆的切线的直线是圆的切线. . 符号语言：符号语言：MNOA且且MN过半径过半径OA外端外端MN是是O的切线的切线 图形语言：图形语言： （2 2）性质定理：）性质定理：圆的切线垂直于圆的切线垂直于经经过切点的半径过切点的半径. . 推论推论 1 1：经经过圆心且垂直于切线的直线必经过圆心且垂直于切线的直线必经经经过切点过切点. . 推论推论 2 2：经经过切点且垂直于切线的直线必经过切点且垂直于切线的直线必经经经过圆心过圆心. . 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：以上三个定理及推论也称二推一定理：即：(1)(1)经过圆心经过圆心(2)(2)经过切点经过切

14、点(3)(3)垂直于切线垂直于切线. .以上三个条件中，以上三个条件中，知道其中两个条件推出最后一个条件知道其中两个条件推出最后一个条件.(.(MN是切线是切线MNOA) ) 2 2、切线长的定义：、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，该点经过圆外一点作圆的切线，该点和切点和切点之间之间的线段的长叫做该点到圆的切线长的线段的长叫做该点到圆的切线长. . 切线长定理切线长定理: : 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角. . 符号语言：符号语言：PAPB、是的两条切线是的两条

15、切线 =PA PB且且PO平分平分APB 图形语言：图形语言： EDCBA 初三数学组 DCBAOECBADOBAO 3 3、 （选（选记记）弦切角：弦切角：顶点在圆上，且一边和圆相交而另一边和圆相切的角叫做弦切角顶点在圆上，且一边和圆相交而另一边和圆相切的角叫做弦切角.(.(弦与切线的夹角叫做弦与切线的夹角叫做弦弦切角切角) ) 弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. . 符号语言：符号语言：BAC是圆的一个弦切角是圆的一个弦切角 BACAPC= 4 4、 （选（选记记）相交弦定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等

16、圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等. . 符号语言：符号语言： 在在O中，弦中，弦AB、CD相交于点相交于点P，PA PBPC PD= 图形语言：图形语言： 推论：推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. . 符号语言：符号语言：在在O中，直径中，直径ABCD， 2CEAE BE= 5 5、 （选（选记记）割线定理：割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.

17、. 符号语言：符号语言：在在O中，中，PB、PE是割线是割线 PC PBPD PE= 6 6、 （选（选记记）切割线定理：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项项. . 符号语言：符号语言：在在O中，中，PA是切线，是切线，PB是割线是割线 2PAPC PB= 图形语言：图形语言： 切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角. . 弦切角

18、定理弦切角定理 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. . 相交弦定理相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等. . 割线定理割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等. . 切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. . 十、圆内正多边形的计算十、圆内

19、正多边形的计算 （1 1）正）正三角形：在三角形：在O中，中，ABC是正三角形，有关计算在是正三角形，有关计算在RtBOD中进行，中进行，:1: 3:2OD BD OB = （2 2）正四边形：同理，四边形的有关计算在）正四边形：同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，中进行，:1:1:2OE AE OA = （3 3）正六边形：同理，六边形的有关计算在）正六边形：同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，中进行，:1: 3:2AB OB OA= PODCBAOEDCBADECBPAO 初三数学组 十一、圆的有关概念十一、圆的有关概念 1 1、三角形的外接圆、外心、三角形的外接圆、外心. .

20、 用到：线段的垂直平分线及性质用到：线段的垂直平分线及性质 2 2、三角形的内切圆、内心、三角形的内切圆、内心. . 用到：角的平分线及性质用到：角的平分线及性质 3 3、圆的对称性。、圆的对称性。轴对称中心对称 十二十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1 1、扇形：、扇形： （1 1）弧长公式：）弧长公式：180n Rl=； （2 2）扇形面积公式：）扇形面积公式： 213602n RSlR= 【n：圆心角：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长：扇形弧长 S：扇形面积】：扇形面积】 2 2、圆柱： （、圆柱： （1 1）圆柱表

21、面积）圆柱表面积2222SSSrhr=+=+侧表底； （； （2 2）圆柱的体积：）圆柱的体积：2Vr h= 3 .3 .圆锥侧面展开图圆锥侧面展开图 圆柱侧面展开图是圆柱侧面展开图是 形形, ,它的长是底面的它的长是底面的 , ,高是这个圆柱的高是这个圆柱的 ； 圆锥侧面展开图是圆锥侧面展开图是 形，它的半径是这个圆锥的形，它的半径是这个圆锥的 ，它的弧长是这个圆锥的底面的，它的弧长是这个圆锥的底面的 . . （1 1）2SSSrr=+=+表侧底母线长； （2 2）圆锥的体积：）圆锥的体积：213Vr h= 4 4、求面积的方法求面积的方法 （1 1）直接法由面积公式直接得到直接法由面积公式直接得到； （2 2）间接法即：割补法（和差法）进行等量代换间接法即：割补法（和差法）进行等量代换 B1RrCBAO母线长底面圆周长C1D1DCBASlBAO