初中知识归纳干货思维导图 初中家长慧绝密数学资料.docx

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1、 家长慧绝密数学资料数学复习资料汇总目录【数学】中考数学解题实用方法汇编41、配方法42、因式分解法53、换元法54、判别式法与韦达定理55、待定系数法56、构造法57、反证法58、面积法69、几何变换法610、客观性题的解题方法6【复习方法】6如何提高数学计算的正确率6解答难题的六种方法7注重理解和记忆8仔细审题 争取“一遍成”9不容忽视的检查小技巧9数学提升做题速度的 7 大法宝10一元一次不等式组的解集11第一章 实数13考点一、实数的概念及分类（3 分）13考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3 分）13考点三、平方根、算数平方根和立方根（310 分）13考点四、科学记数法和近似数（3

2、6 分）13考点五、实数大小的比较（3 分）14考点六、实数的运算（做题的基础，分值相当大）14第二章 代数式14考点一、整式的有关概念（3 分）14考点二、多项式（11 分）14考点三、因式分解（11 分）15考点四、分式（810 分）15考点五、二次根式（初中数学基础，分值很大）16第三章方程（组）16考点一、一元一次方程的概念（6 分）16考点二、一元二次方程（6 分）16考点三、一元二次方程的解法（10 分）17考点四、一元二次方程根的判别式（3 分）17考点五、一元二次方程根与系数的关系（3 分）17考点六、分式方程（8 分）17考点七、二元一次方程组（810 分）17第四章不等式（

3、组）18考点一、不等式的概念（3 分）18第 9 页 考点二、不等式基本性质（35 分）18考点三、一元一次不等式（68 分）18考点四、一元一次不等式组（8 分）18第五章统计初步与概率初步18考点一、平均数（3 分）18考点二、统计学中的几个基本概念（4 分）19考点三、众数、中位数（35 分）19考点四、方差（3 分）19考点五、频率分布（6 分）19考点六、确定事件和随机事件（3 分）20考点七、随机事件发生的可能性（3 分）20考点八、概率的意义与表示方法（56 分）20考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系（3 分）20考点十、古典概型（3 分）20考点十一、列表法求概率（10

4、 分）20考点十二、树状图法求概率（10 分）21考点十三、利用频率估计概率（8 分）21第六章一次函数与反比例函数21考点一、平面直角坐标系（3 分）21考点二、不同位置的点的坐标的特征（3 分）21考点三、函数及其相关概念（38 分）22考点四、正比例函数和一次函数（310 分）22考点五、反比例函数（310 分）23第七章二次函数24考点一、二次函数的概念和图像（38 分）24考点二、二次函数的解析式（1016 分）24考点三、二次函数的最值（10 分）25考点四、二次函数的性质（614 分）25补充：26第八章图形的初步认识26考点一、直线、射线和线段（3 分）261、几何图形26考点

5、二、角（3 分）27考点三、相交线（3 分）28考点四、平行线（38 分）28考点五、命题、定理、证明（38 分）28考点六、投影与视图（3 分）29第九章三角形29考点一、三角形（38 分）29考点二、全等三角形（38 分）30考点三、等腰三角形（810 分）30第十章四边形32考点一、四边形的相关概念（3 分）32考点二、平行四边形（310 分）32考点三、矩形（310 分）32考点四、菱形（310 分）33考点五、正方形（310 分）33考点六、梯形（310 分）33第十一章解直角三角形34考点一、直角三角形的性质（35 分）34考点二、直角三角形的判定（35 分）35考点三、锐角三角函

6、数的概念（38 分）35考点四、解直角三角形（35）36第十二章圆36考点一、圆的相关概念（3 分）36考点二、弦、弧等与圆有关的定义（3 分）36考点三、垂径定理及其推论（3 分）36考点四、圆的对称性（3 分）37考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（3 分）37考点六、圆周角定理及其推论（38 分）37考点七、点和圆的位置关系（3 分）37考点八、过三点的圆（3 分）37考点九、反证法（3 分）37考点十、直线与圆的位置关系（35 分）37考点十一、切线的判定和性质（38 分）37考点十二、切线长定理（3 分）37考点十三、三角形的内切圆（38 分）38考点十四、圆和圆的位置关系

7、（3 分）38考点十五、正多边形和圆（3 分）38考点十六、与正多边形有关的概念（3 分）38考点十七、正多边形的对称性（3 分）38考点十八、弧长和扇形面积（38 分）38第十三章图形的变换39考点一、平移（35 分）39考点二、轴对称（35 分）39考点三、旋转（38 分）39考点四、中心对称（3 分）39第十四章图形的相似40考点一、比例线段（3 分）40考点二、平行线分线段成比例定理（35 分）41考点三、相似三角形（38 分）41中考数学常用公式及性质421乘法与因式分解422幂的运算性质423二次根式424三角不等式425某些数列前 n 项之和426一元二次方程427一次函数438

8、反比例函数439二次函数4310统计初步44 11频率与概率4512锐角三角形4513正（余）弦定理4514平面直角坐标系中的有关知识4515多边形内角和公式4516平行线段成比例定理4517直角三角形中的射影定理4618圆的有关性质4619三角形的内心与外心4620弦切角定理及其推论4621相交弦定理、割线定理和切割线定理4622面积公式47初中数学几何证明题画辅助线的技巧51证明相似三角形的方法55【数学】中考数学解题实用方法汇编1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次 幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多

9、的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和 不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的 一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多， 除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根 分解、换元、待定系数等等。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓 换元法，就

10、是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它 简化，使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理一元二次方程 ax2+bx+c=0(a、b、c 属于 R，a0)根的判别， =b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且 作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外， 还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都 有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求

11、的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题 设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解 答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。6、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图 形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问 题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种 数学知识互相渗透，有利于问题的解决。7、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与

12、命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正 确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证 法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为： (1)反设;(2)归谬;(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于 /不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有 n 个/至多有(n 一 1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。 归

13、谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、 公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积， 而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法， 称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积 公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题

14、，几何元素之间关系变成数量之间的 关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。9、几何变换法在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是 一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一 些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换 的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形 本质的认识。几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。10、客观性题的解题方法选择题是给出条件和

15、结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧， 形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确 迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜 估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空 题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论， 选择正确答案，这

16、就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。(2)验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件 中去验证，找出正确答案，此法称为验证法(也称代入法)。当遇到定量命题时，常用此法。(3)特殊元素法：用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法 叫特殊元素法。(4)排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结 论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图 解法是解选择题常

17、用方法之一。(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称 为分析法。【复习方法】如何提高数学计算的正确率如何提高中考数学的计算的正确率，以下有四种方法以供借鉴： 第一，要对计算引起足够的重视。很多同学总以为计算式题比分析应用题容易得多，对一些法则、定律等知识学得比较扎实，计算是件 轻而易举的事情，因而在计算时或过于自信，或注意力不能集中，结果错误百出。其实，计算正确并不是一件很容易的事。例如计算一道像 3754 这样简单的式题，要用到乘法、加法的运算法则，经过四次表内 乘法和四次一位数加法才能完成。至于计算一道分数、小数四则混合运算式题，需要用到

18、运算顺序、运算 定律和四则运算的法则等大量的知识，经过数十次基本计算。在这个复杂的过程中，稍有粗心大意就会使 全题计算错误。因此，计算时来不得半点马虎。第二，要按照计算的一般顺序进行。 首先，弄清题意，看看有没有简单方法、得数保留几位小数等特别要求;其次，观察题目特点，看看几步运算，有无简便算法;再次，确定运算顺序。在此基础上利用有关法则、定律进行计算。最后，要仔细检查，看有无错抄、漏抄、算错现象。 第三，要养成认真演算的好习惯。有些同学由于演算不认真而出现错误。数据写不清，辨认失误。打草稿时不能按照一定的顺序排列竖 式，出现上下粘连，左右不分，再加上相同数位不对齐，既不便于检查，又极易看错数

19、据。所以一定要养 成有序排列竖式，认真书写数字的良好习惯。第四，不能盲目追求高速度。 计算又对又快是最理想的目标，但必须知道计算正确是前提条件，是最基本的要求，没有正确作基础的高速度是没有任何价值的。所以，宁愿计算的速度慢一些，也要保证计算正确，提高计算的正确率。解答难题的六种方法中考复习是每个准中考生必经的阶段，那么如何在备考复习阶段更好的把每个学科都复习到位呢？下 面介绍一下数学不怕被难倒的解题方法。方法一、调理大脑思绪，提前进入数学情境 考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误

20、区和自己易出现的错误等，进行 针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自 信、积极主动的心态准备应考。方法二、“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场 集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制 思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。方法三、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神 良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透

21、题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得 胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所 谓的 “门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。方法四、“六先六后”，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于 积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试 题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难， 也要注意认真对待每一道题，力求

22、有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。2.先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌 失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施 先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样， 在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。3.先同后异。先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位 时间的效益。高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频 的跳跃，从而减

23、轻大脑负担，保持有效精力，4.先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基矗 5.先点 后面。近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一 步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面 6.先高后低。 即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高 分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。方法五、一“慢”一“快”，相得益彰 有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未

24、清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。应该说，审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工 程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体 认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。而思路一旦形成，则可尽量快速完成。方法六、确保运算准确，立足一次成功数学高考题的容量在 120 分钟时间内完成大小 26 个题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验， 所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基 础上，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性

25、质”上影响着后继各步的解答。所以，在 以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的 得分步骤，假如速度与准确不可兼得的说，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也无意义。注重理解和记忆初三数学学习是一个关键时期，一方面初三数学所涉及的知识点例如相似三角形、锐角三角比、二次 函数等，都是数学学习中难以掌握的知识点，而这些内容在中考中所占的比重比较大。另一方面，初三数 学也是到了学生总结和综合应用的阶段，所涉及到的考试内容不再是单一的知识点，而是所学知识点的融 会贯通，所以部分学生不是很适应这一阶段。那么如何渡过这一关键阶段呢?我们可以从以下四个方面进

26、 行探讨：首先，理顺知识点，注重理解和记忆。 数学是一门层层递进的学科，在其教学安排上也是由简到繁由易到难的过程。数学的发展过程中，分支也比较多，学生应该要了解和掌握每一个知识点的最基本的知识层次和架构。如初三上半学期的相似三 角形内容，我们对其知识结构可以进行整理。同学们对每一个知识点都可以用结构方法进行相应的整理，这样就能系统地整理出初中数学所有的知 识点所对应的框架，从而更好地掌握初中所学的知识。另外，学生在数学学习时应以理解为主，但是对于 某些公式、结论适当的记忆还是必要的，如相似三角形中黄金分割比、三角形重心的性质、锐角三角比中 30、45、60涉及到十二个三角比值等，适当的记忆有助

27、于提高我们分析题目能力和解题的速度。其次，熟悉基本应用，注重知识点的归纳和延伸。理解了数学知识点并不等于会灵活地应用。数学来源于生活，所以数学知识点的产生与实际生活中的 应用是相联系的，即每一个数学知识点下有相应的问题相连，对于这些基本的问题，同学们应该理解和熟 练的掌握。如黄金分割比中整条线段 AB、较长线段 AC 和较短线段 CB 所产生的比例式：AC/AB=BC /AC，涉 及到三个量的关系，若已知其中的两个量，可以解出第三个量，那么对于黄金分割比的问题，在分析题目 时，紧紧地抓住问题的核心：找出相应的量，然后运用公式进行求解。同学们对这样的应用可以进行适当 的整理，这样一方面加深了知识

28、点的理解，另一方面对考试中的基础题有全面的了解。数学只掌握基本的 应用还是不够的，作为教师当然是希望同学们能灵活的应用，这就要注意知识点的外延。如果能熟悉这些 知识点的外延，在分析题目时可以有更深的认识。了解由知识点产生的基本问题的，并熟悉知识点的外延， 这样才能灵活的运用我们所学的知识。第三，培养数学意识，注重数学思想训练。 初三数学学习又是总结和归纳的时候，对于问题的综合和加深，很多同学不适应。通过研究分析，我们可以发现这些内容也是有其规律性，这就需要同学们养成良好的数学意识，掌握数学的各种思想，如方 程思想、数形结合思想、分类思想等等，在日常训练时同学们要注意总结和归纳。第四，养成良好的

29、学习习惯，注重订正和查漏补缺。二期课改的一大目的是减轻学生的课业负担，但是数学学习与日常的训练还是有着密切联系，这是一 对矛盾，如何来化解矛盾，我们只能是通过平时良好的学习习惯即提高数学课堂的听课效率，提高数学作 业的质量，做好补差和补缺工作着手。题海战术不是提高效率的方法，我们应从以往反复做相同类型题目 的题海战术中解脱出来，注重于训练中做错的练习订正及在学习中存在的缺漏的补习。初三的学习时间是 很紧张的，如何在有限的时间内提高学习的效率，与好钢要用在刀刃上一样，将自己存在的问题解决，是 提高数学学习的有效途径。很多同学不习惯认真地去面对自己的错误，其实认真的解决一个数学问题，比 做几道重复

30、的题目要有用得多。仔细审题 争取“一遍成”拿到试卷后，先要通览，摸透题情。一是看题量多少，有无印刷问题;二是对通篇试卷的难易做粗略的 了解。审题要逐字逐句搞清题意，似曾相识的题目更要注意异同，从多层面挖掘隐含条件及条件间内在联 系。吃透题意，例如：“两圆相切”，就包括外切和内切，缺一不可。中考的考题是由易到难，顺利解答几个简单题目，可以使考生信心倍增。从近年来中考数学卷面来看，考试时间很紧张，考生几乎没有时间检查，这就要求在答卷时认真准确，争取“一遍成”。 遇到难题要敢于暂时“放弃” 遇到难题要敢于暂时“放弃”，不要浪费太多时间。一般来说，选择和填空题，优秀考生答每道题的时间不超过 40 秒，

31、差一点的考生不超过 2 分钟。把会做的题目解答完后，再回头集中精力解决难题。如 去年 20 题就比 27、28 题要难，因此在答题时要合理安排时间，不要在某个卡住的题上打“持久战”。电脑阅卷 书写要工整 卷面书写既要速度快，又要整洁、准确。电脑阅卷要求考生填涂答题卡准确，字迹工整，大题步骤明晰。草稿纸书写要有规划，便于回头检查。不少计算题的失误，都是因为书写太潦草。正确的做法是：在 题卡上列出详细的步骤，不要跳步。只有少量数学运算才用草纸。事实证明：踏实地完成每步运算，解题速度就快;把每个会做的题目做对，考分就高。 三大方法答选择题 答选择题可用三大方法。排除法：根据题设和有关知识，排除明显不

32、正确选项。特殊值法：根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所 选取的值要符合条件。猜想、测量的方法：直接观察或得出结果。这类方法在近年来的中考题中常被运用 于探索规律性的问题。直接法和图解法答填空题 直接法和图解法是填空题的基本解法。 直接法：根据题干所给条件，直接计算、推理，得出正确答案;图解法：根据题干提供信息，绘出图形，从而得出正确的答案。填空题虽然多是中低档题，但不少考生在答题时往往出现失误。填空题的 19、20 题都是精心构思的 新题目。首先，应按题干的要求填空，如一些附加条件，如精确到哪一位，有无单位。再者应认真分析题 目

33、的隐含条件。填空题不要求写出解题过程，填错、部分填对都将计零分。不容忽视的检查小技巧题会做，但是却因为做错或漏做题而失分，要比难题不会做更加让人惋惜。要想少产生一点这样的遗 憾，就要学会如何去检查一份试卷。有的学生做完一份试卷检查一两遍就失去了兴趣，有的学生呢却可以 兴致勃勃的一直检查，其实，掌握检查的方法很重要。方法一：检查基本概念 基本概念、法则、公式是同学们检查时最容易忽视的，因此在解题时极易发生小错误而自己却检查数次也发现不了，所以，做完试卷第一步，在检查基本题时，我们要仔细读题，回到概念的定义中去，对症 下药。比如中考题选择题，题目问“8 的平方根是多少”，如果学生选择了 22，检查

34、时很容易会再算一次 (22)2=8，就想当然的以为答案是对的了。此时，我们就应该从概念入手，想想什么是“平方根”，那就会回忆起这样一个等式 x2=8，二次方程又都应该是有两解的，所以答案应该有正负两解。 方法二：对称检验 对称的条件势必导致结论的对称，利用这种对称原理可以对答案进行快速检验。 比如如：因式分解，(xy+1)(x+1)(y+1)+xy=(xy-y+1)(xy+x+1)结论显然错误。左端关于 x、y 对称，所以右端也应关于 x、y 对称，正确答案应为：(xy+1)(x+1)(y+1)+xy=(xy+y+1)(xy+x+1)。 方法三：不变量检验 某些数学问题在变化、变形过程中，其中

35、有的量保持不变，如图形的平移、旋转、翻折时，图形的形状、大小不变，基本量也不变。利用这种变化过程中的不变量，可以直接验证某些答案的正确性。 方法四：特殊情形检验 问题的特殊情况往往比一般情况更易解决，因此通过特殊值、特例来检验答案是非常快捷的方法。 比如中考经常考的幂的运算，比如 2014 年的(-a2)3，我就可以去 a=2，先计算-a2=-4，再计算-43，就很容易检验出原答案的正确与否。方法五：答案逆推法 相信这种方法很多学生都会，在求出题目的答案后，可将答案重新代回题目中，检验题目的条件是否还成立。但是这种方法一定要注意，要想想有没有可能存在多解的情形。 总而言之，要想提高检查的次数与

36、效率，又想避免枯燥的重复，就需要一题多解去检验。 一道题，使用原来的方法去做，固然也能发现错误，但是人都是有惯性思维的，很容易就忽视了一些小的错误。如果在检查时，我们都尽量去想一些新的方法，那样，一来可以检查答案的对错，二来可以减少机械 性重复产生的枯燥感，三来思考新的解法也是锻炼思维的一种手段，四来能将试卷中的题的作用发挥到最 大，可以说是一举多得的好措施。此外，直接检查作为最基础的方法，要重视技巧 直接检验法就是围绕原来的解题方法，针对求解的过程及相关结论进行核对、查校、验算。为配合检查，首先应正确使用草稿纸。建议大家将草稿纸叠出格痕，按顺序演算，并标上题号，方便检查对照。其 次，一定要细

37、心细心再细心，每一个细节都需要仔细推敲，而不能“想当然”，记住“最安全的地方有时 候也是最危险的地方”。数学提升做题速度的 7 大法宝很多家长会发现孩子在做数学题时速度很慢，但却不知道到底该怎么办，以下是初中数学老师给大家 分析的数学做题慢的 7 个原因，家长和孩子一起看看吧!01 熟悉习题中所涉及的内容，包括定义、公式、定理和规则。解题、做练习只是学习过程中的一个环节，而不是学习的全部，你不能为解题而解题。解题是为阅读 服务的，是检查你是否读懂了教科书，是否深刻理解了其中的概念、定理、公式和规则，能否利用这些概 念、定理、公式和规则解决实际问题。解题时，我们的概念越清晰，对公式、定理和规则越

38、熟悉，解题速 度就越快。因此，我们在解题之前，应通过阅读教科书和做简单的练习，先熟悉、记忆和辨别这些基本内容，正 确理解其涵义的本质，接着马上就做后面所配的练习，一刻也不要停留。02 熟悉习题中所涉及到的以前学过的知识，以及与其他学科相关的知识。 有时候，我们遇到一道不会做的习题，不是我们没有学会现在所要学会的内容，而是要用到过去已经学过的一个公式，而我们却记得不很清楚了;或是需用到一个特殊的定理，而我们却从未学过，这样就使解 题速度大为降低。这时，我们应先补充一些必须补充的相关知识，弄清楚与题目相关的概念、公式或定理，然后再去解 题，否则就是浪费时间，当然，解题速度就更无从谈起了。03 熟悉

39、基本的解题步骤和解题方法。 解题的过程，是一个思维的过程。对一些基本的、常见的问题，前人已经总结出了一些基本的解题思第 10 页 路和常用的解题程序，我们一般只要顺着这些解题的思路，遵循这些解题的步骤，往往很容易找到习题的 答案。否则，走了弯路就多花了时间。04 认真做好归纳总结。 在解过一定数量的习题之后，对所涉及到的知识、解题方法进行归纳总结，以便使解题思路更为清晰，就能达到举一反三的效果，对于类似的习题一目了然，可以节约大量的解题时间。05 先易后难，逐步增加习题的难度。 人们认识事物的过程都是从简单到复杂。简单的问题解多了，从而使概念清晰了，对公式、定理以及解题步骤熟悉了，解题时就会形

40、成跳跃性思维，解题的速度就会大大提高。养成了习惯，遇到一般的难题， 同样可以保持较高的解题速度。有些学生不太重视这些基本的、简单的习题，认为没有必要花费时间去解 这些简单的习题，结果是概念不清，公式、定理及解题步骤不熟，遇到稍难一些的题，就束手无策，解题 速度就更不用说了。其实，解简单容易的习题，并不一定比解一道复杂难题的劳动强度和效率低。比如，与一个人扛一大 袋大米上五层楼相比，一个人拎一个小提包也上到五层楼当然要轻松得多。但是，如果扛米的人只上一次， 而拎包的人要来回上下 50 次、甚至 100 次，那么，拎包人比扛米人的劳动强度大。所以在相同时间内， 解 50 道、100 道简单题，可能

41、要比解一道难题的劳动强度大。由此可见，去解一道难以解出的难题，不如去解 30 道稍微简单一些的习题，其收获也许会更大。因此，我们在学习时，应根据自己的能力，先去解那些看似简单，却很重要的习题，以不断提高解题速度和 解题能力。随着速度和能力的提高，再逐渐增加难度，就会达到事半功倍的效果。06 认真、仔细地审题。 对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。读题一旦结 束，哪些是已知条件?求解的结论是什么?还缺少哪些条件，可否从已知条件中推出?在你的脑海里，这些信 息就应该

42、已经结成了一张网，并有了初步的思路和解题方案，然后就是根据自己的思路，演算一遍，加以 验证。有些学生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常常是漏掉了一些信 息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。很多时候学生问问题的时候，老师和他一起读 题，读到一半时，他说：“老师，我会了。”所以，在实际解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。07 学会画图。 画图是一个翻译的过程。读题时，若能根据题义，把对数学(或其他学科)语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。有些题 目，只要分析图一画出来，其中的关

43、系就变得一目了然。尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画 图，有时简直是无从下手。因此，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题 速度非常重要。画图时应注意尽量画得准确。画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证 实就可以了;反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃 性思维，就可以大大加快解题速度。一元一次不等式组的解集有理数的加法运算：同号相加一边倒;异号相加“

44、大”减“小”，符号跟着大的跑;绝对值相等“零”正好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。 合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。 去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。恒 等 变 换 ： 两 个 数 字 来 相 减 ， 互 换 位 置 最 常 见 ， 正 负 只 看 其 指 数 ， 奇 数 变 号 偶 不 变 。第 12 页 (a-b)(2n+1)=-(b-a)(2n+1)与(a-b)(2n)=(b-a)(2n) 平方差公式：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混

45、淆。 完全平方：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央;首尾括号带平方，尾项符号随中央。因式分解：一提(公因式)二套(公式)三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵 法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数(项)，就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项 更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。“代入”口决：挖去字母换上数(式)，数字、字母都保留;换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧 内出(现)括弧，逐级向下变括弧(小中大)单项式运算：加、减、乘、除、乘(开)方，三级运算分得清，系数进行同级(运)算，指数运算降级(进)行。一

46、元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除(以)负数时，不等号改向别忘了。 一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间,大小,小大无处找。 一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼)于(吃)取两边,小(鱼)于(吃)取中间。第 19 页 1、实数的分类第一章 实数 考点一、实数的概念及分类（3 分）正有理数有理数零有限小数和无限循环小数 实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如7, 3 2 等；（2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如3（3）有特定结构的数，如 0.10