初中数学九年级寒假班第6讲：四边形-学生版.docx

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1、中考复习四边形知识结构模块一：平行四边形知识精讲一、 多边形1、多边形：在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形，叫做多边形由n条线段组成的多边形就称为n边形（）组成多边形的每一条线段叫做多边形的边相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形2、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（）3、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角

2、对于多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和多边形的外角和等于360二、 平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、平行四边形的性质：平行四边形性质定理1如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等简述为：平行四边形的对边相等平行四边形性质定理2如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等简述为：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理3如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线相互平分简述为：平行四边形的对角线互相平分平行四边形性质定理4平行四边形是中心对称图形，对称

3、中心是两条对角线的交点3、平行四边形的判定平行四边形判定定理1如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形三、 特殊的平行四边形1、矩形：有一个角是直角的平行

4、四边形叫做矩形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角3、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直

5、的平行四边形是菱形例题解析【例1】 （2015学年闵行区二模第13题）如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称_【例2】 （2015学年崇明县二模第6题）下列判断错误的是( )A对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B对角线互相垂直平分的四边形是菱形C对角线相等的四边形是矩形D对角线互相平分的四边形是平行四边形【例3】 （2014学年宝山区、嘉定区二模第5题）下列命题中，真命题是( )A菱形的对角线互相平分且相等B矩形的对角线互相垂直平分C对角线相等且垂直的四边形是正方形D对角线互相平分的四边形是平行四边形ABCDO【例

6、4】 （2015学年金山区二模第14题）如图，在ABCD中，AC、BD相交于点O，请添加一个条件_，可得ABCD是矩形【例5】 （2014学年浦东新区二模第6题）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是( )A当AB=BC时，四边形ABCD是矩形B当ACBD时，四边形ABCD是矩形C当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D当时，四边形ABCD是矩形【例6】 （2014学年崇明县二模第6题）已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( )AAC = BD，AB / CD，AB = CDBAD / BC，CAO

7、= BO = CO = DO，DAO = CO，BO = DO，AB = BC【例7】 （2015学年宝山区、嘉定区二模第5题）如果点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，且四边形KLMN是菱形，那么下列选项正确的是( )ABCD【例8】 （2014学年静安区、青浦区二模第12题）从AB/CD，AD/BC，AB=CD，AD=BC四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形ABCD是平行四边形的概率是_【例9】 （2015学年黄浦区二模第17题）在平行四边形ABCD中，BC = 24，AB = 18，和的平分线交AD于点E、F，则EF =_【例10】 （

8、2014学年长宁区二模第6题）如图，在四边形ABCD中，对角ABCDEO线AC、BD交于点O，AO=CO，E是DC边的中点下列结论中，错误的是( )ABCD【例11】 （2014学年杨浦区二模第6题）设边长为3的正方形的对角线长为a下列关于a的四种说法：a是无理数；a可以用数轴上的一个点来表示；a是18的一个平方根其中，所有正确说法的序号是( )ABCDABCDE【例12】 （2014学年普陀区二模第15题）如图，在中，点D、E分别在AB、AC上，如果AE = 2，的面积是4，四边形BCDE的面积是5，那么AB的长是_【例13】 （2014学年奉贤区二模第23题）已知：如图，在四边形ABCD中

9、，AB/CD，点E是对角线AC上一点，且（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；ABCDEF（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若，求证：四边形EFCD是菱形【例14】 （2015学年金山区二模第23题）如图，在中，AB = AC，点D在边AC上，AD = BD=DE，联结BE，ABCDE（1）联结CE，求证：CE = BE；（2）分别延长CE、AB交于点F，求证：四边形DBFE是菱形【例15】 （2014学年金山区二模第23题）已知：如图，在中中，AC = BC，点E在边AC上，延长BC至D点，使CE = CD，延长BE交AD于F，过点C作CG/BF，交AD于点G，在

10、BE上取一点H，使GFEDBACH（1）求证：；（2）求证：四边形FHCG是正方形【例16】 （2015学年虹口区二模第23题）如图，在四边形ABCD中，AB / DC，E、F为对角线BD上两点，且BE = DF，AF / EC（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：ABCDEFGHABCDEFGOH【例17】 （2015学年闵行区二模第23题）如图，已知在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、F，交边DC于点G，交边AB于点H联结AF，CE（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）如果OF =

11、 2GO，求证：【例18】 （2014学年杨浦区二模第23题）已知：如图，和中，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H（1）求证：MB=MD；ABCDEMGH（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形【例19】 2014学年黄浦区二模第23题）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DGABCDEFG（1）求证：AE=CG；（2）求证：BE/DF【例20】 （2014学年闸北区二模第23题）已知：如图1，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，

12、且AE = AF，（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，若AD = AF，延长AE、DC交于点G，求证：ACBDEFGACBDEF图1图2（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE = 4，EG = 12，求AH的长模块二：梯形知识精讲一、 梯形1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形的底：在梯形中，平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）梯形的腰：在梯形中，不平行的两边叫做梯形的腰2、直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形3、 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形二、等腰梯形的性质及判定1、等腰梯形性质定理：（1）

13、等腰梯形在同一底上的两个内角相等（2）等腰梯形两条对角线相等2、等腰梯形判定定理：（1）在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形（2） 对角线相等的梯形是等腰梯形三、梯形的中位线1、中位线：联接梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线2、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半例题解析【例21】 顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是_形【例22】 （2014学年黄浦区二模第14题）如果梯形的下底长为7，中位线长为5，那么其上底长为_【例23】 （2015学年金山区二模第15题）梯形ABCD中，AD / BC，AD = 2，BC = 6，点E是边BC上的点，如果AE将梯形AB

14、CD的面积平分，那么BE的长是_【例24】 （2014学年静安区、青浦区二模第14题）如果梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD=1，BC=3，那么四边形AEFD与四边形EBCF的面积比是_【例25】 （2014学年黄浦区二模第22题）如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，ABCD已知AD=2，梯形ABCD的面积是9（1）求AB的长；（2）求的值【例26】 已知，如图，在梯形ABCD中，AD / BC，点E是边CD的中点，点F在边BC上，EF / ABABCDEF求证：【例27】 （2015学年杨浦区二模第23题）如图，在直角梯形纸片ABCD中，DC / AB，

15、ABCDAD，将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF，联结EF并展开纸片；（1）求证：四边形ADEF为正方形；ABCDEF（2）取线段AF的中点G，联结GE，当BG = CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形【例28】 （2015学年黄浦区二模第23题）如图，在中，D、E分别是AC、BC边ABCDE12上的点，AE与BD交于点O，且CD=CE，（1）求证：四边形ABED是等腰梯形；（2）若EC=2，BE=1，求AB的长【例29】 （2014学年宝山区、嘉定区二模第23题）如图，已知和都是等边三角形，点D在边BC上，点E在边AD的右侧，联结CE（1）求证：；ABCDEF

16、（2）在边AB上取一点F，使BF = BD，联结DF、EF求证：四边形CDEF是等腰梯形【例30】 （2014学年静安区、青浦区二模第23题）如图，在梯形ABCD中，AB/CD，AD= BC，E是CD的中点，BE交AC于F，过点F作FG/AB，交AE于点GEDCGFAB（1）求证：AG=BF；（2）当时，求证：随堂检测【习题1】 （2015学年松江区二模第5题）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使ABCD它成为菱形，那么需要添加的条件可以是( )ABCD【习题2】 （2015学年奉贤区二模第16题）四边形ABCD中，AD/BC，如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD是矩形，那么可以添

17、加的条件是_（不再添加线或字母，写出一种情况即可）【习题3】 （2014学年黄浦区二模第6题）下列命题中真命题是( )A对角线互相垂直的四边形是矩形B对角线相等的四边形是矩形C四条边都相等的四边形是矩形D四个内角都相等的四边形是矩形【习题4】 下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是( )A非正方形的矩形B非正方形的菱形C正方形D等腰梯形【习题5】 （2014学年普陀区二模第23题）如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF /AD交BC于点F，且，联结FGABCDEFG（1）求证：FG / CE；（2）设，求证：四边形AGFE是菱形【习题6】 已知，如图，在四边

18、形ABCD中，AB = DC，AC = BD，ABCD求证：四边形ABCD是等腰梯形【习题7】 如图，已知直角梯形ABCD中，AD / BC，CD = 5，ABCDAC = 8，求梯形ABCD的面积【习题8】 已知四边形ABCD中，AD / BC，AB = DC，AC与BD相交于点O，AD = 7，BD = 10，求四边形ABCD的面积【习题9】 （2014学年虹口区二模第23题）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为ABCDEFDC延长线上一点，联结AE，交边BC于点F，联结BE（1）求证：；（2）若CD = CA，且，求证：四边形ABEC是菱形【习题10】 （2015学年奉贤区二模第23

19、题）已知：如图，梯形ABCD中，DC/AB， ED CB AAD=BC= DC，AC、BD是对角线，E是AB延长线上一点，且，联结CE（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；（2）求证：课后作业【作业1】 （2015学年静安区二模第6题）在四边形ABCD中，AD/BC，要使四边形ABCD为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )AAB = CDBAC = BDCD【作业2】 （2014学年松江区二模第5题）已知在四边形ABCD中，AB/CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )AAD = BCBAC = BDCD【作业3】 （2014学年徐汇区二模第17题）已

20、知四边形ABCD是菱形，周长是40，若AC=16，则_【作业4】 已知边长为4 cm的菱形有一个内角是120，那么这个菱形的较长的一条对角线的长是_cm【作业5】 已知，梯形ABCD中，AD / BC，AD : BC = 1 : 2，这个梯形的面积是45 cm2，高是6 cm，那么AD =_cmABCD【作业6】 如图，已知在梯形ABCD中，AD / BC，AB = DC，对角线CA平分，且梯形的周长是20，求AC的长ABDHGFEC【作业7】 （2014学年崇明县二模第23题）如图，中，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF / BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，

21、GD与AE交于点H（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）求证：【作业8】 （2014学年长宁区二模第23题）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边ABCDEFGOBC、CD上，AE=AF，AC和EF交于点O，延长AC至点G，使得AO=OG，联结EG、FG（1）求证：BE=DF；（2）求证：四边形AEGF是菱形【作业9】 （2014学年徐汇区二模第23题）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，将绕着正方形的顶点A旋转，边AM、AN分别交两条角平分线于点M、N，联结MN（1）求证：；ABCDNM（2）联结BD，当的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明ABCDEF【作业10】 （2014学年浦东新区二模第23题）如图，已知在平行四边形ABCD中，AEBC，垂足为点E，AFCD，垂足为点F（1）如果AB=AD，求证：EF / BD；（2）如果EF/ BD，求证：AB=AD13 / 14