初中数学题库试题考试试卷 A级：四边形性质与判定.docx

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1、四边形的性质及判定中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求四边形会识别平行四边形及特殊平行四边形掌握平行四边形及特殊平行四边形的概念、判定和性质，会用四边形的性质和判定解决简单问题会运用四边形的性质和判定解决有关问题板块一、平行四边形的性质与判定知识点睛1平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形平行四边形的周长：一组邻边之和的倍平行四边形的面积：底乘以高2.平行四边形的判定：（5种方法）两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别

2、相等的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题精讲一、平行四边形的性质【例1】 如图，四边形为平行四边形，即，通过证明三角形全等来说明：，（对边相等），（对角线互相平分）【例2】 如图，点是平行四边形对角线上的两点，且，那么和相等吗？请说明理由【例3】 如图，平行四边形中，对角线，相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交，于点， 证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形； 试说明在旋转过程中，线段与总保持相等【例4】 如图，是平行四边形的对角线上的两点，.求证：（1）；（2）.【例5】 如图，已知：在平行

3、四边形中，的平分线交边于，的平分线交于，交于求证：【例6】 已知：如图，平行四边形内有一点满足于点，请找出与相等的一条线段，并给予证明【例7】 如图，、是平行四边形对角线上两点，求证：【例8】 如图，平行四边形 中，于，于.求证：.【例9】 如图，在平行四边形中，连接对角线，过两点分别作为垂足，求证：四边形是平行四边形【例10】 如图，平行四边形中，是的中点，、的延长线交于点，连接、求证：【例11】 已知四边形的四条边长分别是，其中为对边，并且满足则这个四边形是（ ） A任意四边形 B平行四边形 C对角线相等的四边形 D对角线垂直的四边形【例12】 如图，是某区部分街道示意图，其中垂直平分，从

4、站乘车到站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是，路线2是，请比较两条路线路程的长短，并给出证明【例13】 如图是某市一公园的路面示意图，其中，是平行四边形，、是垂足，、分别是、的中点，连接 为公园中小路，问小明从地经地，地到地，与小强从地经地，地到地，谁的路程远【例14】 在平行四边形中，过任作一直线，过、作的垂线、，垂足分别是、，求证：【例15】 是平行四边形较长的一条对角线，点是内部一点，于点，于点，于点，求证：【例16】 如图，已知：是的角平分线，在上截取，连接，求证：四边形是平行四边形【例17】 已知：如图，在平行四边形中，分别是的中点.求证：(1)；(2)四边形是平行四边形【例1

5、8】 如图所示，为平行四边形内一点，求证：以、为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于和【例19】 如图所示，在平行四边形中，、是对角线上两点，且，求证：四边形是平行四边形 【例20】 已知：如图，且求证：四边形是平行四边形【例21】 如图，在平行四边形的各边上，分别取，使， ，求证：四边形为平行四边形【例22】 如图，四边形的对角线、交于点，过点作直线交于点，交于点若，且求证：四边形是平行四边形【例23】 如图，在平行四边形中，点在上，且，与交于点，与交于点，求证：四边形是平行四边形【例24】 如图，在平行四边形中，点、是对角线上的点，且，求证：四边形是平行四边形

6、【例25】 如图，、分别是平行四边形的、边上的点，且求证：；若、分别是、的中点，连接、，试判断四边形是怎样的四边形，并证明你的结论 【例26】 如图，过四边形对角线的交点作直线交、分别于、，又、分别为、的中点，求证：四边形为平行四边形【例27】 如图，、均为直线同侧的等边三角形当时，证明四边形为平行四边形【例28】 如图，点分别在的边上，且，有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从点出发，黑蚂蚁沿路线爬行，白蚂蚁沿路线爬行，那么（ ）A 黑蚂蚁先回到点B 白蚂蚁先回到点C 两只蚂蚁同时回到点D 哪只蚂蚁先回到点视各点的位置而定【例29】 以的对边、为边分别在外作等边、等边求证： 四边形是平行四边形【例

7、30】 等边中，点在上，点在上，且，所以为边作等边求证：四边形是平行四边形 【例31】 如图，已知是平行四边形的对角线，和都是等边三角形，求证：四边形是平行四边形【例32】 如图，中，是的中点，是上任意一点，求证：与互相平分 【例33】 已知为平行四边形的对角线，过作，连接交的延长线于，求证：【例34】 如图，在中，点为中点，连结，过点作于点，在的延长线上取一点，使求证：四边形是平行四边形【例35】 如图，在平行四边形中，于，那么与的大小关系怎样？【例36】 已知平行四边形，为的中点，求证：【例37】 已知五边形中，交于点，交于点，求证：【例38】 如图，在中，于D，点P在BC上， 交BA的延

8、长线于E，交AC于F。 求证：2AD=PE+PF； 【例39】 如图，在等腰中，延长边到点，延长边到点，连接，恰有求证：【例40】 如图，四边形中，若，则必然等于.请运用结论证明下述问题：如图，在平行四边形中取一点，使得，求证：.【例41】 如图所示，在平行四边形中，求证板块二、矩形的性质与判定知识点睛1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且相等 角的性质：四个角都是直角 对角线性质：对角线互相平分且相等 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形直角三角形斜边上的中线等于斜边的

9、一半直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得3矩形的判定（3种方法）判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形判定：对角线相等的平行四边形是矩形判定：有三个角是直角的四边形是矩形例题精讲【例1】 在矩形中，点为的中点，为上任意一点，交于点，交于点，当满足条件 时，四边形是矩形【例2】 如图，在四边形中，求证：四边形是矩形【例3】 如图，已知在四边形中，交于，、分别是四边的中点，求证四边形是矩形 【例4】 如图，在平行四边形中，是的中点，且，求证：四边形是矩形【例5】 设凸四边形的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之

10、和都要相等试判断这个四边形是什么四边形?请证明你的结论。【例6】 如图，平行四边形中，、分别是、的平分线，与交于，与交于，证明：四边形是矩形【例7】 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结 求证： 如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论【例8】 如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，若交的平分线于点，交的外角平分线于点（1）求证：（2）当点运动到何处时，四边形为矩形？请说明理由！【例9】 已知，如图，在中，是边上的高，是的外角平分线，交于，试说明四边形是矩形 【例10】 如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 求

11、证：四边形是菱形； 连接并延长交于连接，请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？【例11】 已知，如图矩形中，延长到，使，是中点求证：【例12】 如图，在矩形中，点是上一点，垂足为.线段与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即 .(写出一条线段即可) 【例13】 如图，在矩形中，分别是上的点，且. 求证：.【例14】 已知，矩形和点，当点如图位置时，求证：【例15】 已知矩形和点，当点在矩形内时，试求证：【例16】 （西城区抽样测试）如图，将矩形沿翻折，使点落在点处，连接、，过点作，垂足为判断是什么图形,并加以证明；若，求的长；四边形中，比较与的大小【

12、例17】 如图所示，在矩形和矩形中，若，求证： 【例18】 已知，如图，矩形中，于，平分交于，求证：板块三、菱形的性质与判定知识点睛1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半3菱形的判定（3种方法）判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定

13、：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定：四边相等的四边形是菱形4三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质 定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半例题精讲【例1】 如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分【例2】 如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 【例3】 如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形

14、是菱形【例4】 如图，在中，是的中点，连结，在的延长线上取一点，连结，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由【例5】 已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于 、.求证：四边形是菱形.【例6】 如图，在梯形纸片中，将纸片沿过点 的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形【例7】 如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分【例8】 已知：如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论【例9】 如图，在中，是的中点分别作于，于，于，于相交于点求证：四边形

15、是菱形【例10】 如图，中，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形【例11】 如图，是矩形内的任意一点，将沿方向平移，使与重合，点移动到点的位置画出平移后的三角形；连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长；当在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形？为什么？【例12】 如图，、均为直线同侧的等边三角形已知 顺次连结、四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件 当为 度时，四边形为正方形【例13】 已知等腰中，平分交于点，在线段上任取一点（点除外），过点作，分别交、于、点，作，交于点，连结.求证四边形为菱形当点在何处时，菱形的面积为四边

16、形面积的一半？【例14】 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： 写出上面问题中线段与的位置关系及的值； 将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求的值（用含的式子表示）【例15】 如图，在四边形中，、分别是、的中点，要使四边形是菱形，四边形还满

17、足的一个条件是 ，并说明理由【例16】 在四边形中，分别是、的中点，分别是对角线，中点，证明：与互相垂直【例17】 四边形中，、分别是、上的点，、分别是、的中点，当点在上从向移动而点不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A线段的长逐渐增大 B线段的长逐渐减小 C线段的长不变 D线段的长与点的位置有关【例18】 如图，四边形中，分别是的中点，连结并延长，分别交的延长线于点，求证：【例19】 如图，已知、分别为中、的平分线，于，于，求证：【例20】 如图，四边形中，分别是边的中点，则和的关系是（ ）A BC D【例21】 已知如图所示，、分别是四边形的四边的中点，求证：四边形是平行四边形【例22】

18、 如图，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、的中点分别为、，证明四边形为平行四边形且【例23】 如图，四边形中，分别是的中点，求证：相互垂直平分【例24】 的三条中线分别为、，为边外一点，且为平行四边形，求证：【例25】 在平行四边形的对角线上取一点，使，连接并延长与的延长线交于，则【例26】 如图，中，、分别是、的中点，、是的三等分点，连结并延长、交于点求证：四边形是平行四边形 【例27】 如图，在四边形中，、分别为、的中点，和相交于点，分别与、相交于、，求证：【例28】 如图，线段相交于点，且，连结，分别是的中点，分别交于，求证：【例29】 如图，梯形中，对角线相交于点，分别是的中点

19、，求证：是等边三角形板块四、正方形的性质与判定知识点睛1正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形它具有前三者的所有性质： 边的性质：对边平行，四条边都相等 角的性质：四个角都是直角 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3正方形的判定判定：有一组邻边相等的矩形是正方形判定：有一个角是直角的菱形是正方形例题精讲【例1】 如图，是正方形对角线上的一点，求证：【例2】 如图，为正方形对角线上一点，于，于.

20、求证：.【例3】 如图所示，正方形对角线与相交于，且分别与交于试探讨与之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程【例4】 已知正方形，在、上分别取、两点，使，求证：是等腰直角三角形【例5】 如果点、是正方形的对角线上两点，且，你能判断四边形的形状吗？并阐明理由 【例6】 如图，正方形中，在的延长线上取点，使，连结分别交，于，求证：是等腰三角形【例7】 如图，过正方形顶点引，且若与的延长线的交点为，求证【例8】 如图所示，在正方形中，、是内的两条射线，求证，.【例9】 如图，正方形的边在正方形的边上，连接，求证：.【例10】 已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于（1）求证：

21、；（2）将绕点顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由ABCDEFG【例11】 如图1，在正方形中，、分别为边、上的点，连接、，交点为 如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 将正方形沿线段、剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形若正方形的边长为，则图3中阴影部分的面积为_【例12】 如图，正方形对角线相交于点，点、分别是、上的点，求证：（1）；（2）.【例13】 如图，在正方形中，、分别是、的中点，求证：【例14】 如图，正方形中，是边上两点，且于，求证： 【例15】 如图，设正方形的对角线，在延长线上取一点，使，与交于，求证：正方形的边长【例16】

22、 把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想【例17】 如图所示，在直角梯形中，是的垂直平分线，交于点，以腰为边作正方形，作于点，求证.【例18】 四边形的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形，求证：四边形对角互补；若四边形为平行四边形，则四边形为矩形四边形为长方形，则四边形为正方形【例19】 如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形 求证：四边形是菱形； 若，求证：四边形是正方形【例20】 已知：如图，在中，垂足为点，是外角的平分线，垂足为点 求证：四边形为矩形； 当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明【例21】 如图，点是矩形边的中点，点是边上一动点，垂足分别为、，求点运动到什么位置时，四边形为正方形13.1.1平行四边形的性质与判定 题库学生版 page 30 of 30