柯西不等式ppt课件.ppt

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1、式柯西不等式与排序不等第三讲重庆合川龙市中学何林杰.,.,高数学素质高数学素质提提感受数学的美妙感受数学的美妙明方法及其应用明方法及其应用学意义、几何背景、证学意义、几何背景、证的数的数等式等式不不我们可以领略这些我们可以领略这些通过本讲的学习通过本讲的学习样的不等式样的不等式属于这属于这与排序不等式就与排序不等式就柯西不等式柯西不等式们称它们为经典不等式们称它们为经典不等式人人的不等式的不等式而且具有重要应用价值而且具有重要应用价值发现一些不仅形式优美发现一些不仅形式优美数学研究中数学研究中二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式一一 ?,.,.,的不等关系吗的不等关系吗研究一下关于它研究一

2、下关于它的推导过程的推导过程你能类比你能类比有关有关并且形式上也与平方和并且形式上也与平方和数数它涉及到四个实它涉及到四个实为实数为实数积积现在考虑乘现在考虑乘与乘积的大小关系与乘积的大小关系方和方和它反映了两个实数的平它反映了两个实数的平熟悉的不等式熟悉的不等式是我们非常是我们非常为实数为实数探究探究abbadcbadcbabaabba2222222222 .,222222222222cbdadbcadcba 得展开这个乘积 ,2222222222bcadbdaccbdadbca 由于 ,222222bcadbdacdcba 即 .,2222220bdacdcbabcad 因此而.,式的含义

3、式的含义习会进一步认识二维形习会进一步认识二维形通过后面的学通过后面的学项式项式式中每个括号内都是两式中每个括号内都是两 .,.,柯西不等式柯西不等式即二维形式的即二维形式的的最简形式的最简形式它是它是作用作用在数学和物理中有重要在数学和物理中有重要而且而且具有简洁、对称的美感具有简洁、对称的美感形式上规律明显形式上规律明显不仅排列不仅排列个实数的特定数量关系个实数的特定数量关系式反映了式反映了inequalityCauchy4柯西不等式柯西不等式于是我们有于是我们有式中的等号成立式中的等号成立时时当且仅当当且仅当发现发现从上面的探究过程可以从上面的探究过程可以.,0 bcad .,等等号号成

4、成立立时时当当且且仅仅当当则则都都是是实实数数若若二二维维形形式式的的柯柯西西不不等等式式定定理理bcadbdacdcbadcba 222221?的证明吗的证明吗你能简明地写出定理你能简明地写出定理思考思考1容易得出等式根据二维形式的柯西不, 22222222dcbadcba |,|bdacbdac 2. |bdacdbca 2222|dcba 2222dcba:,以下不等式成立对于任何实数所以dcba, |bdacdcba 2222. |bdacdcba 2222?,.成立成立述不等式中的等号何时述不等式中的等号何时上上请同学考虑请同学考虑不等式不等式这也是两个非常有用的这也是两个非常有用的

5、.,的几何意义的几何意义下面看一看柯西不等式下面看一看柯西不等式观的几何背景观的几何背景往往要借助直往往要借助直简单的诠释简单的诠释对一个代数结果进行最对一个代数结果进行最 .,. 0113为之间的夹角与中有向量标系设在平面直角坐如图dcbaxOy . |cos|,cos|, 所以我们有义的定内积根据向量数量积 ba, dc,xyO113 .图图,|cos|1 因为. | 所以 得向量的坐标表示不等式二维用平面,.|两边平方2222dcbabdac .22222dcbabdac 得.,.的坐标表示的不等式是向量形式式的柯西不等式形维二由此可知等式这是二维形式的柯西不和如果向量.,|cos|,.

6、,以上不等式取等号共线时和即向量则当且仅当量都不是零向和如果向量式取等号以上不等则中有零向量10 bcad.,式式西不等西不等式的柯式的柯二维形二维形称之为称之为所以所以应应量相对量相对二维向二维向式与式与使这时存在非零实数 , k .,.0 kcdkcdbcaddckbak故即.,的向量形式的向量形式式式柯西不等柯西不等叫做叫做所以我们把不等式所以我们把不等式同的意义同的意义有相有相与不等式与不等式不等式不等式从上面的分析可知从上面的分析可知得得综上所述综上所述, ., |,等号成立等号成立时时使使或存在实数或存在实数是零向量是零向量当且仅当当且仅当则则个向量个向量是两是两设设式的向量形式式

7、的向量形式等等柯西不柯西不定理定理kk 2.,价关系价关系两者的等两者的等会会从数形结合的角度体从数形结合的角度体方向的推导方向的推导再进行反再进行反推导不等式推导不等式试从不等式试从不等式探究探究 ?,.关系吗关系吗个实数蕴涵着何种大小个实数蕴涵着何种大小这这你能发现你能发现的边长关系的边长关系根据根据的坐标分别为的坐标分别为设点设点中中系系标标坐坐角角面直面直在平在平如图如图观察观察4213221121221121yxyxPOPyxyxPP Oxy 111yxP, 222yxP,Oxy 111yxP, 222yxP,213 .图图.打开几何画板观察实验打开几何画板观察实验Oxy 111yx

8、P, 222yxP,Oxy 111yxP, 222yxP,213 .图图 ,.22122122222121213yyxxyxyx 容易发现容易发现的边长关系的边长关系及三角形及三角形根据两点间距离公式以根据两点间距离公式以如图如图.,式中的等号成立式中的等号成立两旁时两旁时在原点在原点并且点并且点在同一直线上在同一直线上与原点与原点当且仅当当且仅当OPPOPP2121).(inequalityletriang 叫做二维形式的叫做二维形式的不等式不等式三角不等式三角不等式 .,2212212222212122113yyxxyxyxRyxyx 那么那么设设二维形式的三角不等式二维形式的三角不等式定

9、理定理 .,.,用柯西不等式了用柯西不等式了就能使就能使样样这这例如构造出例如构造出平方和的形式平方和的形式另两数另两数设法构造两数平方和乘设法构造两数平方和乘进行式子变形进行式子变形需要需要为了使用柯西不等式为了使用柯西不等式证明中证明中这个不等式这个不等式从代数的角度证明从代数的角度证明式式下面我们利用柯西不等下面我们利用柯西不等发现了三角不等到式发现了三角不等到式上面从几何角度上面从几何角度分析分析22222121yxyx 22222222212121212222221212yxyxyxyxyxyx 证明2222212121212yxyyxxyx |2222212121212yxyyxx

10、yx )(22212122212122yyyyxxxx ,221221yyxx .22122122222121yyxxyxyx 故.,哪一步用了柯西不等式哪一步用了柯西不等式证明中证明中 .221221232232231231yyxxyyxxyyxx 得得等式等式代入不代入不代代用用代代用用代代用用代代不妨用不妨用对于任何实数都成立对于任何实数都成立由于不等式由于不等式,232232131131yyyxxxyyyxxx .,的几何意义的几何意义解释不等式解释不等式请结合直角坐标系请结合直角坐标系探究探究.,.,柯西不等式的应用柯西不等式的应用介绍二维形式介绍二维形式证明证明下面继续结合不等式的

11、下面继续结合不等式的中的应用中的应用证明证明几何背景及其在不等式几何背景及其在不等式西不等式的数学意义、西不等式的数学意义、柯柯维形式维形式分别讨论了二分别讨论了二程程的过的过理理上面得出三个定上面得出三个定.,三角不等式三角不等式仍被称为二维形式的仍被称为二维形式的有明显的几何意义有明显的几何意义不等式不等式 .,23322441babababa 证明证明为实数为实数已知已知例例.,杂的计算杂的计算就可以避免繁就可以避免繁式的一致性式的一致性形式与柯西不等形式与柯西不等不等式的不等式的注意到这个注意到这个但是如果但是如果它们它们然而再比较然而再比较开上式的两边开上式的两边法展法展可以作乘可以

12、作乘虽然虽然分析分析 .,2332222244babbaababa 有根据柯西不等式证明.,.,工具工具数学研究的有力数学研究的有力经典不等式是经典不等式是以以所所可以简化运算可以简化运算又又启发证明思路启发证明思路既可以既可以典不等式典不等式联系经联系经不等式时不等式时在证明在证明本例说明本例说明?,dcba中的中的式式别对应柯西不等别对应柯西不等个数分个数分中哪中哪例例41.的最大值的最大值求函数求函数例例xxy210152 .,.,值值大大等到式求其最等到式求其最就能利用柯西不就能利用柯西不形式形式的的若能化为若能化为析式是两部分的和析式是两部分的和这个函数的解这个函数的解找不等式取等号

13、的条件找不等式取等号的条件并寻并寻一个常数一个常数设法在不等式一边得到设法在不等式一边得到通常通常题题利用不等式解决极值问利用不等式解决极值问分析分析bdac xxyy 5215051,且函数的定义域为解 22225125xx . 36427 .,36271275512时函数取最大值即成立等号时当且仅当 xxx.,题的能力题的能力提高利用柯西不等式解提高利用柯西不等式解子变形的作用子变形的作用可以体会其中式可以体会其中式程程解过解过的求的求回顾例回顾例2.,41113 babaRba求证求证设设例例 .,.,用柯西不等式了用柯西不等式了就可以就可以有了有了注意到注意到在本例中在本例中以应用这个

14、条件以应用这个条件根据证明的需要可根据证明的需要可都不会改变它们的值都不会改变它们的值去乘任何数或式子去乘任何数或式子用用的特殊性的特殊性数数由于常由于常这个条件这个条件问题中有问题中有分析分析 bababababababa11111111得根据柯西不等式由于证明, Rba . 411112 bbaababa.,4111 baba所以又?,为什么为什么这个条件可以去掉吗这个条件可以去掉吗本例中本例中 Rba 5,5. 10,10.102 ,102. 52 ,52-A.) (,10,. 122 DCBbabaRba的的取取值值范范围围是是则则且且若若练习练习2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的的最最小小值值是是那那么么已已知知 _1212. 3的的最最大大值值为为函函数数 xxy_2, 623,. 422值是值是的最大的最大则则满足满足设实数设实数yxPyxyx _)1()1(, 1. 522的最小值是的最小值是则则若若bbaaba AB311225小结与作业P43页，习题2.3.4