逻辑代数及其化简ppt课件.ppt

《逻辑代数及其化简ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《逻辑代数及其化简ppt课件.ppt（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、交换率A+B=B+AAB=BA结合率A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C分配率A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)吸收率A+AB=AA(A+B)=A01率A+1=1,A+O=AA0=0,A1=A互补率重叠率A+A=AAA=A非非率反演率包含率1 AAAA BABACAABBCCAABBAABCABACBCABA0 AA一、基本逻辑运算：一、基本逻辑运算：与、或、非与、或、非 三种。三种。二、复合逻辑运算：二、复合逻辑运算：与非、或非、与或非、异或、同或与非、或非、与或非、异或、同或 五种五种三、逻辑代数的基本定律和规则三、逻辑代数的基本定律和规则1 1、逻

2、辑函数间的相等、逻辑函数间的相等2 2、逻辑代数的基本公式、逻辑代数的基本公式（1 1）、代入规则）、代入规则 任何一个含变量任何一个含变量 A A 的等式中，如果将出现的等式中，如果将出现 A A 的地方，的地方，都代之一个逻辑函数都代之一个逻辑函数 F F ，则等式仍然成立。，则等式仍然成立。例1：分配率A(B+C) = AB+AC令：C = EF 代入公式A(B+EF)证:A(B+EF)用乘对加的分配率证明例2:BABAABCDBCDCD则：令：A = CD证：BCDBCDCDCDBCDCD)(代入规则之所以正确： 是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有两种可能取值 (0 ,

3、1),所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量对待。= AB+AEF= AB+AEF（2 2）、反演规则：）、反演规则： （摩根定理）目的：求原函数的反函数求原函数的反函数 已知函数为已知函数为 F F ，将，将 F F 中的所有中的所有 “” 换为换为“”，“” 换为换为 “” ，0 0 换为换为 1 1 ，1 1 换为换为 0 0，原变量换为反变量，反变量换为原变量。，原变量换为反变量，反变量换为原变量。得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作FCDBAFF求例1:已知解：由反演规则直接得出由反演规则直接得出DCBAF)(由反演率得由反

4、演率得2 2、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。本例说明：本例说明： 1 1、由反演规则求反函数，比直接用反演率求反函数方便、简单。、由反演规则求反函数，比直接用反演率求反函数方便、简单。CDBA DCBA)(CDBAF例2: 已知EDCBAFEDCBAF解：利用反演规则直接写出利用反演规则直接写出注意：不属于单个变量上的反号保持不变。注意：不属于单个变量上的反号保持不变。（3 3）、对偶规则：）、对偶规则： 对偶式：已知函数为对偶式：已知函数为 F F ，将，将 F F 中的所有中的所有 “” 换为换为“”，“” 换

5、为换为 “” ，0 0 换为换为 1 1 ，1 1 换为换为 0 0，变变量保持不变量保持不变。得到的函数式就是原函数的对偶式。得到的函数式就是原函数的对偶式 F F。例：CBAFCBAF) 1)(CABAF0CABAFCBAFCBAFF求首先了解什么是对偶式；对偶规则：对偶规则： 如果两个函数如果两个函数 F F 和和 G G 相等，那么它们各自的对偶式相等，那么它们各自的对偶式 F F 和和 G G也相等。也相等。例：F = A(B+C) 由乘对加的分配率知：F= A+BC由加对乘的分配率知: G= (A+B)(A+C)G = AB+ACF = A(B+C)=AB+AC F = G F=

6、GF= A+BC = (A+B)(A+C) 掌握对偶规则的目的：掌握对偶规则的目的：当证明某一等式相等当证明某一等式相等后，根据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的后，根据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。交换率A+B=B+AAB=BA结合率A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C分配率A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)吸收率A+AB=AA(A+B)=A01率A+1=1,A+O=AA0=0,A1=A互补率重叠率A+A=AAA=A非非率反演率包含率1 AAAA BABACAABBCCAA

7、BBAABCABACBCABA0 AA 目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。基本定律，得出一些常用公式。ABAABAABBABAAB1证：ABABA1 BBBABAABABABAAABAA1证：ABBAA吸收律：吸收律：（互补率）说明：两个乘积项相加说明：两个乘积项相加时，若乘积项分别包含时，若乘积项分别包含B B和和/B/B两个因子。而其两个因子。而其余因子相同。则两项定余因子相同。则两项定能合并成一项，消去能合并成一项，消去B B和和/B/B两个因子。两个因子。 说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因

8、子恰好说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补是另一乘积项的补（/A)/A)，则该乘积项中的则该乘积项中的/A/A是多余的。是多余的。吸收律吸收律：对偶式：对偶式：对偶式：对偶式：若若两两个个乘乘积积项项中中分分别别包包含含A A和和A A两两个个因因子子，而而这这两两个个乘乘积积项项的的其其余余因因子子组组成成第第三三个个乘乘积积项项，则则第第三三个个乘乘积积项项是是多多余余的的。可可消消去去CAABBCCAABBCAACAABBCCAABBCACAB11CAABCAABBCDECAABBCDEBCCAAB证：DEBCCAAB1CAABBCCAABCABAEDCBCAB

9、A包含律：包含律：推论：推论：对偶式：对偶式：BCAABCCAAB证：BACACAABBCCAABAABACA证右：CAABBCCAAB 0BAACCABAA+BC = (A+B)(A+C)证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=(A+AC+AB)+BC=A(1+C+B)+BC= A+BCA(B+C)=AB+AC交叉互换率：交叉互换率：对偶式：对偶式：加对乘的分配率：加对乘的分配率：对偶式：对偶式：常用逻辑函数表示方法有：1 1、逻辑真值表、逻辑真值表2 2、逻辑表达式、逻辑表达式3 3、逻辑图、逻辑图各种表示方法间的相互转换一、从真值表写出逻辑表达式一、从真值表写出逻辑表达式例：已

10、知一个奇偶判别函数的真值表（偶例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶为为1,奇为奇为0)，试写出它的逻辑函数式。，试写出它的逻辑函数式。ABCY00000101001110010111011110000110BCACBACAB解： 当ABC=011时，1BCA使乘积项当ABC=101时，1CBA使乘积项当ABC=110时，1CAB使乘积项因此，Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和。CABCBABCAY4 4、工作波形图、工作波形图真值表的特点： 唯一性; 按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复 ）。 n个输入变量就有2n个不同的取值组合。 通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的

11、一般方法。通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。1 1、找出真值表中使逻辑函数、找出真值表中使逻辑函数Y=1Y=1的输入变量取值组合。的输入变量取值组合。2 2、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为1 1的写入原变量，取值为的写入原变量，取值为0 0的写入反变量。的写入反变量。3 3、将取值为、将取值为1 1的乘积项相加，即得到的乘积项相加，即得到Y Y的逻辑函数式。的逻辑函数式。二、从逻辑表达式列出真值表二、从逻辑表达式列出真值表 将输入变量的所有状态组合逐一代入逻辑式，求出函数值，列成表，即可得到真值表

12、。例：已知函数CBACBAY求其对应真值表。A B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1CBCBAY解：将三变量所有取值组合代入Y式中，将计算结果列表。010001001000000001011111&111&11三、从逻辑表达式画出逻辑图三、从逻辑表达式画出逻辑图 用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。例：已知逻辑函数,CCBACBAY画出对应逻辑图。 解：将式中所有的与、或、非运算符号用逻辑符号代替，并根据运算优先顺序把这些逻辑符号连接起来，就得到Y的逻辑图。ABCABCCBACBCBACCBACBAY11111ABY四、四、从逻

13、辑图写出逻辑表达式从逻辑图写出逻辑表达式 从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号的逻辑式，就得到对应的逻辑表达式。例：已知逻辑图，试写出逻辑表达式。 解：从输入A、B开始逐个写出每个逻辑符号输出端的逻辑式。ABBABABABABABAY)(BABABABABA与与-或式或式与非与非式与非与非式或或-与式与式或非或式或非或式或或-与非式与非式逻辑函数的八种形式可以用八种逻辑电路来实现。逻辑函数的八种形式可以用八种逻辑电路来实现。八种不同的逻辑电路可以实现同一逻辑功能。八种不同的逻辑电路可以实现同一逻辑功能。FABCACBCABC AC BC()()()ABCACBC() () ()ABCACBCA

14、BCACBC与与-或非式或非式ABC AC BC与非与式与非与式()()()ABC AC BC()()()ABCACBC或非或非式或非或非式BCAAC ,如：BCAAC ,B C AB C如：CBACB目的：为图解化简法打好基础。目的：为图解化简法打好基础。与项：与项：逻辑变量间只进行乘运算的表达式称为与项 。 与或表达式：与或表达式：与项和与项间只进行加运算的表达式称为与或表达式。如: 或项：或项：逻辑变量间只进行或运算的表达式称为或项。 或与表达式：或与表达式：或项和或项间只进行乘运算的表达式称为或与表达式。如: 在介绍逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项和最大项的概念，然后介绍逻辑函数的

15、“最小项之和最小项之和”及“最最大项之积大项之积”两种标准形式。几个概念：几个概念：(1) (1) 定义：定义：最小项是一个与项。最小项是一个与项。 ( (2) 2) 特点特点： n n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个出现一次，且仅出现一次。称这个与项与项为最小项。为最小项。n n 变量变量有有 2 2n n 个最小项。个最小项。例如：在三变量A、B、C的最小项中：1 1、最小项、最小项 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。当A=1、B=0、C=1时，乘乘积积项项A AB BC C= =1

16、1。如如果果将将A AB BC C的的取取值值1 10 01 1看看作作一一个个二二进进制制数数，所对应的十进制数就是5。5 5一一般般将将A AB BC C这这个个最最小小项项记记做做m m 。按照上述约定，作出三变量最小项编号表。原取原取1,1,反取反取0.0.最小项使最小项为1的变量取值对应十进制数编号ABC00000011010201131004101511061117CBACBACBABCACBACBACABABC0m1m2m3m4m5m6m7m（3 3）最小项的重要性质）最小项的重要性质 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最

17、小项的值为仅有一个最小项的值为1 1。所有最小项之和为所有最小项之和为1 1。1120niim任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为0 0。0jimmji 具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消去一对因子。去一对因子。ABCCABCBACBABCACBACBACBA证：ABBABABA1AA0)(CCBACBACBA证：相邻性：相邻性： 若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，则称这两个最小项具有相邻性。则称这两个最小项具有相邻性。例：CBACBABACCBA)( 定理：定理

18、：任何逻辑函数任何逻辑函数 F F 都可以用最小项之和的形式表示。都可以用最小项之和的形式表示。而且这种形式是唯一的。而且这种形式是唯一的。1 1、 真值表法：真值表法： 将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最小项之和。例：将CABCCBAF表示为最小项之和的形式。解：由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A ,所以 F 是一般与或式，不是最小项之和的标准形式。列：F 真值表：ACAC缺缺变变量量B,B,B BC C和和A AC C不不是是最最小小项项。000 1 0 0 1 001 0 0 0 0 010 0 0 0 0 011 0 1 0 1 100 0 0 1 1 1

19、01 0 0 0 0 110 0 0 1 1 111 0 1 0 1 CBABCCAFABCCABCBABCACBAF76430mmmmm m7 .6 .4 .3 .0ABC 由最小项性质、知：每个最小项等于1的自变量取值是惟一的。 那么：将 F = 1 的输入变量组合相加即可。其输入变量组合中，1表示原变量 ,0表示反变量CABCCBAF2 2、 摩根定律及配项法摩根定律及配项法 将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为最小项之和的形式。例1：CABCCBAF解：CABBBCAACBAFCBACABBCAABCCBA46370mmmmm m7 . 6 . 4 . 3 . 0原取原取1

20、1反取反取0 0例2：将表示为最小项之和的形式。ABCBAABFABCBAABABCBAAB解：ABCBAABFABCBABACCABCBABACABABCBCACBA6735mmmmm7 , 6 , 5 , 3说明：说明：全部由最小全部由最小项相加构成的与项相加构成的与- -或或表达式称为最小项表达式称为最小项表达式，是与表达式，是与- -或表或表达式的标准形式。达式的标准形式。( (都是最小项，不是都是最小项，不是全部最小项全部最小项) )。P1112(2)2(2)3(33(3，4)4)4(34(3，4)4)10(3)10(3)(1) (1) 定义：定义：最大项是一个或项。最大项是一个或项

21、。 (2) (2) 特点：特点： n n 个变量都出现个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个出现一次，且仅出现一次。称这个或项或项为最大项。为最大项。n n 变量变量有有 2 2n n 个最大项。个最大项。例如：在三变量A、B、C的最大项中：2 2、最大项、最大项 输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于0。当A=1、B=0、C=1时，或或项项（A AB BC C） = =0 0。按照上述约定，作出三变量最大项编号表。 如果将最大项为0的ABC取值视为一个二进制数，并以其对应的十进制数给出最大项编号，5 5则则( (A

22、 A+ +B B+ +C C) )可可记记做做MM 。原取原取0,0,反取反取1 1。最大项使最大项为0的变量取值对应十进制数编号ABC00000011010201131004101511061117CBACBACBACBACBACBACBACBA0M1M2M3M4M5M6M7M（3 3）最大项的重要性质）最大项的重要性质在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为一个最大项的值为0 0。1MMji ji 所有最大项之积为所有最大项之积为0 0任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1 1。只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各

23、相同变量只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。之和。例：BACBACBA(4)(4)、用最大项表示逻辑函数的方法：、用最大项表示逻辑函数的方法： 定理：定理：任何逻辑函数任何逻辑函数 F F 都可以用最大项之积的形式都可以用最大项之积的形式表示。而且这种形式是惟一的。表示。而且这种形式是惟一的。用最大项表示逻辑函数的方法有两种：用最大项表示逻辑函数的方法有两种：真值表法真值表法加对乘的分配率及配项法加对乘的分配率及配项法ABCAAABACBABBBCCACBCC证：A+B+C1ABCC1B ACC AB一、一、 真值表法真值表法：例例：将将F F= = A AB BC C+ +

24、B BC C+ +A AC C表示为最大项之积的形式。列：F 真值表000000 1 1 0 0 0 0 1 1 001001 0 0 0 0 0 0 0 0 010010 0 0 0 0 0 0 0 0 011011 0 0 1 1 0 0 1 1 100100 0 0 0 0 1 1 1 1 101101 0 0 0 0 0 0 0 0 110110 0 0 0 0 1 1 1 1 111111 0 0 1 1 0 0 1 1 ABCCBABCCAF解：把真值表中 F = 0 的输入变量，以最大项的形式表示。输入0 表示原变量，1 表示反变量。 CBACBACBAF521MMM函函数数F

25、F= = A AB BC C+ +B BC C+ +A AC C既可以用最大项之积表示，又可以用最小项之和表示。M5 , 2 , 1ABCCABCBABCACBAF比较函数比较函数F F的最大项之积和最小项之和表达式，可以发现；的最大项之积和最小项之和表达式，可以发现；只要知道一种形式就可以直接写出另一种表达形式。只要知道一种形式就可以直接写出另一种表达形式。mmmmmm7643076430，例例：将将F F= = A A+ +A AB BC C CABAAAF 加对乘的分配率加对乘的分配率 CABA BBCACCBA 配项配项 BBHCCG 代入规则 BHBHCGCG 加对乘的分配率加对乘的

26、分配率 BCABCACBACBA CBACBACBA 合并项210MMM 2 . 1 . 0二、二、 加对乘的分配率及配项法加对乘的分配率及配项法表示成最大项之积和最小项之和的形式。解：最大项原变量记做最大项原变量记做0 0，反变量记做，反变量记做1 1。最小项之和为：最小项之和为：7 , 6 , 5 , 4 , 3FBAGCAHA+BA+B缺变量缺变量C,A+CC,A+C缺变量缺变量B B由以上讨论可知：全部由最大项相乘构成的或-与表达式称为最大项的标准表达式，又称为标准或-与表达式。3 3、最小项与最大项之间的关系：、最小项与最大项之间的关系： 脚号相同，互为反演。脚号相同，互为反演。iiMm iimM 00MCBACBAm77MCBAABCm 7 . 4 . 3 . 2F74327432mmmmmmmmF 例1:例2:7432MMMM 7 . 4 . 3 . 2DCBAm9 69MDCBAm DCBAm0 150MDCBAm9 . 8 . 7 . 6 . 5F例： 6 . 7 . 8 . 9 .10F 因子相同，互为对偶。因子相同，互为对偶。150Mm 求其对偶式。141Mm 132Mm123Mm 114Mm105Mm 96Mm 87Mm最小项与对偶最小项与对偶项之和为项之和为15.15.