十一章第一节欧几里得空间上的基本定理ppt课件.ppt

《十一章第一节欧几里得空间上的基本定理ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《十一章第一节欧几里得空间上的基本定理ppt课件.ppt（45页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第十一章第十一章:Euclid空间的极限和连续空间的极限和连续第一节：第一节：Euclid空间的基本定理空间的基本定理主要内容主要内容1.nEuclidnEuclid维维空空间间及及相相关关概概念念维维空空间间, ,两两点点之之间间的的距距离离, ,点点的的邻邻域域, ,点点列列的的极极限限, ,点点集集的的相相关关概概念念, ,点点集集的的一一些些性性质质2 2. .E Eu uc cl li id d空空间间的的基基本本定定理理 C Ca an nt to or r闭闭区区域域套套定定理理, , B Bo ol lz za an no o- -W Wi ie er rs st tr ra

2、as ss s定定理理, , C Ca au uc ch hy y收收敛敛原原理理, ,H He er rn ne e- -B Bo or re el l定定理理3 3. . 三三个个等等价价命命题题 S S是是有有界界闭闭集集S S是是紧紧集集S S的的任任意意无无限限子子集集在在S S中中 必必有有聚聚点点. .（1 1）n 维空间维空间及物理意义及物理意义实数实数 x一一对应一一对应数轴点数轴点. 数组数组 (x, y)实数全体表示直线实数全体表示直线(一维空间一维空间)一一对应一一对应R平面点平面点(x, y) 全体表示平面全体表示平面(二维空间二维空间)2R数组数组 (x, y, z

3、)一一对应一一对应空间点空间点(x, y, z) 全体表示空间全体表示空间(三维空间三维空间)3R推广推广：n 维数组维数组 (x1, x2, , xn) 全体称为全体称为 n 维空间维空间，记为，记为.nR一、一、Eucid空间点集相关概念空间点集相关概念12121|( ,),1,2,.2( ,)0(0,0,0).3().nninnninRRRRx xx xxxR inRxx xxxxiRRRRRnRDescartes注 笛卡尔集注中的元素也称向量或点称为 的第 个坐标中的零元素记为注也称为 个 的笛卡尔积（3）Euclid空间空间在在n维空间维空间Rn上定义加法和数乘运算：上定义加法和数乘

4、运算： （2）向量空间）向量空间),(),(),(),(),(212122112121nnnnnnxxxxxxxyxyxyxyyyxxxyx 则则Rn成为向量空间。成为向量空间。 在在n维向量空间维向量空间Rn上定义内积运算：上定义内积运算： .,12211 niiinnyxyxyxyxyx则则Rn成为成为Euclid空间。其中内积有如下性质：空间。其中内积有如下性质： (i)正定性：正定性：0,而而=0当且仅当当且仅当x=0;(ii)对称性对称性:=;(iii)线性性线性性:=a+b;(iv)Schwarz不等式不等式:2 .（4）Euclid空间中的距离定义：空间中的距离定义：.,),(.

5、,|)(0)()()(|),(),(),(2222122222112121 yxyxyxdxxxxxxEuclidxxyxyxyxyxyxdyyyyxxxxEuclidnnnnn范数的模长的距离也叫到点的距离定义为和空间中的两点(5)距离有下面的性质距离有下面的性质:(i)正定性正定性:|x-y|0,|x-y|=0当且仅当当且仅当x=y;(ii)对称性对称性:|x-y|=|y-x|;(iii)三角不等式三角不等式:|x-z|x-y|+|x-z|;一、平面点集一、平面点集R R中邻域中邻域。且且是是两两个个实实数数与与设设0, a,叫叫做做这这邻邻域域的的中中心心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的

6、半半径径 ( , )( , )O aU axxa的的称称为为点点数数集集aaxx ,邻域 ( , )O a记作( , )O ax axa) ,( aaxa a a（1 1）R R2 2邻域邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),( 2020 yyxxyx .)()(0| ),( )(20200 yyxxyxPU点的去心邻域定义为：点的去心邻域定义为：平面点集：平面点集： (i) 全全平平面面: : 2R( ,)|,.(1)x yxy222(ii)( ,).Cx yxyr圆:圆:(2)(iii)( ,),Sx yaxb cyd矩形:矩形:(3)00(iv)(,): A xy 点点

7、的的邻邻域域00( ,)|,|()x yxxyy 与与方方形形 . . , , .Sa bc d也常记作：也常记作：22200( ,)()()()x yxxyy 圆形圆形图图 10 1 CSxxyyOOabcdr(a) 圆圆 C (b) 矩形矩形 S AA 图图 10 2 xxyyOO(a) 圆邻域圆邻域 (b) 方邻域方邻域 R Rn n中的邻域中的邻域),(0 PU |0PPP.)(.)(| ),.,( 221121nnnaxaxxxx:)( 00PUP 的去心邻域的去心邻域点点.)(.)(0 | ),.,( )(221110nnnoaxaxxxPURn中点列收敛概念中点列收敛概念:定义定

8、义:设设 xk是是Rn 中的点列中的点列,若存在若存在Rn中的点中的点a,使得对于使得对于任意的任意的 0|,kxakKlimkkxa,存在正整数存在正整数K,成立成立,则称则称xk收敛于收敛于a或者或者a是是xk的极限的极限.记为记为定理定理: 的充分必要条件是的充分必要条件是Lim kx i k =ai.limkkxa1212 ,nkkkkknnRxaxx xxaa aa设 中的点列和点 且定义：设定义：设S是是Rn上的点集，如果存在正数上的点集，如果存在正数M，使得对任意，使得对任意xS,有有|x|M,则称则称S是有界集。否则称为是有界集。否则称为无界点集无界点集.0| ),( yxyx

9、有界；有界；无界无界例如，例如，41| ),(22 yxyxxyo（2 2）区域）区域的的为为则称则称，的某一邻域的某一邻域个点如果存在点个点如果存在点是平面上的一是平面上的一是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设EPEPUPPE )(.EE 的内点属于的内点属于EP 为为的点都是内点，则称的点都是内点，则称如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为即为开集开集内点内点.内点：内点：开集：开集：开集开集.的的为为），则称），则称，也可以不属于，也可以不属于属于属于本身可以本身可以点点的点的点点，也有不属于点，也有不属于的的于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属

10、如果点如果点EPEEPEEP ( EP 的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为EE是是，则称开集，则称开集于于都属都属起来，且该折线上的点起来，且该折线上的点连结连结任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 边界点：边界点：边界点边界点.连通：连通：连通的连通的.开区域：开区域：连通的开集称为连通的开集称为区域区域或或开区开区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo（3 3）聚点）聚点（1 1）内点一定是聚点；内点一定是聚点；（2 2）边界点可能是聚点边界点可能是聚点, ,也可能不是聚点；也可能不是聚点；10| ),(22 yx

11、yx例如，例如，(0, 0) 既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点若在若在x的一个邻域，只有的一个邻域，只有xE，则，则 称称x是是E的孤立点。的孤立点。（3 3）点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx例如例如, ,(0, 0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1| ),(22 yxyx例如例如, ,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合点点x是是E的聚点的充分必要条件是存在的聚点的充分必要条件是存在E的点列的点列xn , xnx,且且xn的极限等于的极限等于x.EEEEEEEEEEEEEEo记号：对于Euc

12、lid空间的点集 ： 表示 的所有内点的集合称为 的内部；表示 的所有边界点的集合称为 的边界；表示 的所有聚点的集合称为 的导集；表示称为 的闭包。2222222222222RS,|14 ,S,|14 ;E,|4,|1E,|14E,|14x yxyx yxyx yxyx yxyx yxyx yxy o例：在中，则有 ；。开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域. . .41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo闭区域：闭区域：EEEE 如 果包 含 了 它 的 所 有 聚 点 ， 即， 称是 闭 集 。规 定 空 集 合是 开 集 也 是 闭 集 。例 ： 证 明

13、 ： 邻 域 是 开 集 ；n22i=1n22i=1,1,2,(),1,2,()iiiiiiiinxb innxarnxb innxarii开集,闭集的例子：维开矩形： (x,y)|a维开 球：(x,y)|维闭矩形： (x,y)|a维闭 球：(x,y)|EREon例：设 是的集合，证明E是开集合，是闭集合。例：例：证明证明: 对任何对任何2R ,S S 恒为闭集恒为闭集. 证证 如图如图 所示所示, 设设0 xS 为为的任一聚点，欲证的任一聚点，欲证（即（即 亦为亦为S0 xS 的界的界 0 x点）点）. 为此为此0, 由聚点定义，由聚点定义， 00(;).(;),U xSyU xS 中中有有

14、的的无无穷穷个个点点 取取SS 0 x0(; )Ux ( ; )U y y y0( ;)(; ),U yU x 再由再由为界点的定义为界点的定义, 在在 的点的点. 由此推知由此推知在在 内既有内既有SS( ;)U y 的点的点, 又有非又有非 S0 x0 xS 的任意性的任意性, 为为的界点的界点, 即即, 也就证也就证得得 S 为闭集为闭集 注注 类似地可以证明类似地可以证明: 对任何点集对任何点集2R ,SS 导导集集 亦恒为闭集亦恒为闭集. SS0(; )U x 内既有内既有的点的点, 又有非又有非 的点的点. 所以所以, 由由 ,( )sup( , )A B Ediam Ed A B

15、点集点集E的直径的定义：的直径的定义：对于一个集合对于一个集合E，按照上面的方式，按照上面的方式 定义直径是合理的，定义直径是合理的，因为当因为当E是圆盘时，是圆盘时，diam(E)=直径。直径。点集的一些性质点集的一些性质:(1)x是是S的聚点的充分必要条件是的聚点的充分必要条件是:存在存在S的点列的点列 x k |x k S, x k x,使得使得Lim kx k =x.(2)S为闭集的充分必要条件为为闭集的充分必要条件为Sc是开集是开集.(3)任意组开集的并是开集任意组开集的并是开集;(4)任意组闭集的交是闭集任意组闭集的交是闭集;(5)有限个开集的交是开集有限个开集的交是开集;(6)有

16、限个闭集的并是闭集有限个闭集的并是闭集;acacaaacacaaSSbSSa.)(),)()De Morgan公式公式:设设Sa是是(有限或者无限有限或者无限)Rn中的子集合中的子集合,则则二、二、Euclid空间基本定理空间基本定理,.;2 , 1,kdcbakkkkk（1）闭矩形套定理）闭矩形套定理11.1.6:设设是一列是一列矩形套，如果矩形套，如果122(1);(2)()()()0(),kkkkkkkdiambadck 则存在唯一点则存在唯一点a每个每个k . 1321kkSSSSS（2）Cantor闭区域套定理闭区域套定理11.1.6:设设是一列是一列 闭区域套，如闭区域套，如果果;

17、 0)(lim) 1 (kkSdiam则存在唯一点则存在唯一点a每个每个Sk .（3）一个应用及其推广：）一个应用及其推广：Bolzano-Weierstrass定理定理11.1.7：定理：Rn上的有界点列xn必有收敛子列。证明：推论： Rn上的有界无限点集至少有一个聚点（聚点定（聚点定理）理） 。Cauchy收敛原理收敛原理11.1.8：定义： Rn中的点列xn满足：对于任意的0,存在正整数K，使得对任意的k,lK,成立|xl-xk|，称xk为基本列（或者Cauchy列）。定理：Rn中的点列Pn收敛的充分必要条件是： Pn是基本列。证（必要性）证（必要性）0lim,0,kkPP 设设则则由由

18、定定义义N ,Nn lN 当当时时, , 恒恒有有00(,),(,).22kld PPd P P应用三角形不等式应用三角形不等式, 立刻得到立刻得到00(,)(,)(,).klkld PPd PPd P P |(,),lkklxxd PP |(,).llklyyd PP 这说明这说明 xn 和和 yn 都满足关于数列的柯西准则都满足关于数列的柯西准则, 所以它们都收敛所以它们都收敛. 00lim, lim,kkkkxxyy设设从从而而由点列收敛概念由点列收敛概念, 推知推知Pn收敛于点收敛于点 P0(x0, y0). kP(,),P0,k,lkkkxyNN 充充分分性性：不不妨妨设设由由于于是

19、是基基本本列列，当当时时Heine-Borel定理定理11.1.9（紧集判断定理）：（紧集判断定理）：定义：设S是Rn的一个子集，如果Rn中的一组开集Ua| aA 满足 aA Ua 包含S，称Ua是S的一个开覆盖。如果S的每个开覆盖Ua中总存在一个有限的子覆盖，称S是紧集。定理：S是紧集的充分必要条件是：S是有界闭集。 三个等价结论三个等价结论11.1.10：定理：设E是Rn的子集合，那么以下三个命题等价（1）E是有界闭集合；（2）E是紧集合；（3）E的任意无限子集在E中必有聚点。其中(1)和（2）的等价性由Heine-Borel定理给出。qE证证 (1) (3) 设设Eq是是E的无限子集，推

20、论的无限子集，推论11.1.1得得qE必有聚点必有聚点. 又因又因的聚点亦为的聚点亦为 E 的聚点的聚点, 而而 E 是是 闭集闭集, , 所以该聚点必属于所以该聚点必属于 E (3) (1) 先证先证 E 为有界集为有界集. 倘若倘若 E 为无界集为无界集, 则则 存在各项互异的点列存在各项互异的点列,kPE 使使得得|( ,),1,2,.kkPd O Pk k 易见易见kP这个子集无聚点这个子集无聚点, , 这与已知条件相矛盾这与已知条件相矛盾. . 再证再证 E 为闭集为闭集. 为此设为此设 P0 为为 E 的任一聚点的任一聚点, 由聚由聚 点的等价定义点的等价定义, 存在各项互异的点列

21、存在各项互异的点列 使使 ,kPE 0lim.kkPP kPqEqE0P现把现把 看作看作 , 由条件由条件 的聚点的聚点 ( 即即 ) 必必属属于于 E, , 所以所以 E 为闭集为闭集. 用闭域套定理证明聚点定理：用闭域套定理证明聚点定理：E 为有界无限点集为有界无限点集, 则则 E 至少有一个聚点至少有一个聚点. 证证 现用闭域套定理来证明现用闭域套定理来证明. 由于由于 E 有界有界, 因此存因此存 在一个闭正方形在一个闭正方形1DE . 如图如图 所示所示, 把把 D1分成四个相同的小正方形分成四个相同的小正方形, 则在其中至少有一小闭则在其中至少有一小闭 正方形含有正方形含有 E

22、中无限多个点中无限多个点, 把它记为把它记为 D2. 再对再对 E1D2D3D图图 10 8 D2 如上法分成四个更小如上法分成四个更小 的正方形的正方形, 其中又至少有其中又至少有 一个小闭正方形含有一个小闭正方形含有 E 的无限多个点的无限多个点. 如此下去如此下去, 得到一个闭正方形序列：得到一个闭正方形序列：123.DDD 很显然很显然, Dn 的边长随着的边长随着 n 而趋于零而趋于零. 于是由于是由闭域套定理闭域套定理, 存在一点存在一点 0,1, 2,.nMD n 最后最后, 由区域套定理的推论由区域套定理的推论, 0,n 当充分大时当充分大时0(; ).nDU M 又由又由 D

23、n 的取法的取法, 知道知道0(; )U M 中中含有含有 E 的无限多的无限多个点个点, 这就证得了这就证得了M0 是是 E 的聚点的聚点. 推论推论 任一任一有界无限点列有界无限点列 2RnP 必存在收敛子必存在收敛子 .knP列列作业：作业： 第119页：第2,4,5,8,13,14题本节涉及数学家：本节涉及数学家： Euclid:古希腊数学家，公元前330年生于雅典，代表作：几何原本，十三卷。公元前275年卒。 Cantor:德国数学家，1845年生于德国，集合论的创始人。1918年卒。 Weieratrass:19世纪下半叶德国数学家，生于1815年德国，数学分析大师，一是建立了实数

24、理论，二是建立了极限理论。1897年卒。 Augustus De Morgan:1806-1871，生于India,移住英国，主要著作Formal Logic ，首先使用规范数学归纳法,对数学的贡献很多，见http:/web01.shu.edu/projects/reals/history/demorgan.html。 Rene Descartes:1596-1650,法国,西方近代资产阶级哲学的奠基人之一,数学家,自然科学家.是他的公开发表的唯一的数学著作标志着解析几何的诞生.恩格斯说:“数学的转折点是迪卡尔的变数.” Bolzano：1781-1848，捷克数学家http:/www-his

25、tory.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolzano.html,与Weierstrass有过合作研究,主要贡献在数学和哲学。 Heine：1821-1881，德国数学家，主要贡献在给出一致连续概念，研究兴趣在spherical functions, Lam functions, and Bessel functions.发表超过50篇论文。 Borel：1871-1956，法国数学家，主要研究为测度论、概率论（Borel集是其提出的典型集合），one of the founders of the theory of functions of real variables 。http:/www.cartage.org.lb/en/themes/Biographies/MainBiographies/H/Heine/1.html Augustin-Louis Cauchy:1789-1857,法国数学家，积分定义为和的极限，无穷级数的收敛发散判别，定义了“行列式”及运算等。 听雨尘心含藏识读书博客听雨尘心含藏识读书博客 http:/