空间向量的坐标表示.doc

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1、*-空间向量的坐标表示本周重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算，夹角公式，距离公式。本周难点：向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用。知识要点：一、空间直角坐标系中空间向量的直角坐标表示在空间直角坐标系O一xyz中,以 为单位正交基底, 对空间任一点A,对应向量 ,存在唯一一组有序实数组x、y、z，使 ，则在空间直角坐标系中，点A的坐标为(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标；y叫做点A的纵坐标；z叫做点A的竖坐标. 向量 的坐标为(x,y,z)。（1）空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上，选取空间任意一点O和一个单位正交基底 （ 按右手系排列）建立的坐标系，做题选择坐标系时，应

2、注意点O的任意性，原点O的选择要便于解决问题，既有利于作图直观性，又要尽可能使各点的坐标为正。（2）空间任一点P的坐标确定的办法如下：作P在XOY平面上的射影点 ，求出 在XOY平面内的坐标（x，y，0），求出 并确定符号即z，得坐标P（x，y，z）。二、空间向量的直角坐标运算：设 则 (1) + =(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2) - =(a1-b1,a2-b2,a3-b3); (3) =a1b1+a2b2+a3b3.(4) / 或 .(5) a1b1+a2b2+a3b3=0.(6)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 三、夹角和距离公式：1、向量 与 的夹角：设

3、 则 . 注意：（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中的范围是 (2) 用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意这些角度与的关系（相等，互余，互补）。2、两点距离公式：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间两点，则 两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量 的坐标表示，然后再用模长公式推出。3、平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在的直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作 .如果 ,那么向量 叫做平面的法向量四、利用向量的坐标理论完成解题的程序：建立空间直角坐标系O-xyz，对空间图形中的向量 进行量化处理，用坐标(x,y,z)进行表示.利

4、用坐标运算与图形的数量关系、位置关系之间的对应，完成解题过程.重点例题讲解：例1已知空间三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4）。设 （）求 （）若向量 与 互相垂直，求k的值。分析：（）利用数量积定义求cos ，再求 ；（）先求出 与 坐标表示，利用数量积为0求k解：（） ， （） ， ， 例2已知ABC中，A(2,-5,3), , ,求其余顶点、向量 的坐标及A的大小.解：设B（x,y,z），C（x1,y1,z1）， 解得 B(6,-4,5). 解得 C(9,-6,10). =(-7,1,-7). .点评：在求角时，如果不是特殊角，应考虑用反三角函数来表示.例3如图所示，M

5、、N、P分别是正方体ABCDA1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD的中点。求证：A1P平面DMN。 分析：证明A1P与平面DMN垂直有两种方法：一是证明A1P与平面DMN内两条相交直线垂直；二是证明A1P与平面DMN的法向量平行。证明：（法一）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D（0，0，0），A1（2，0，2），P（0，1，0），M（0，2，1），N（1，2，0）向量 即直线A1PDM，A1PDN，又DMDN=DA1P平面DMN（法二）建立空间直角坐标系如图，各点、向量的示法同法一，设平面DMN的法向量为 =（1，x，y） 由（1），（2）解得 又 面DMN即直线A1P面D

6、MN点评：（1）利用向量坐标解决立体几何中的平行、垂直、求角、求距离等问题，关键是建立正确的空间直角坐标系，难点是正确表达已知点的坐标；（2）对空间任意一点A求其坐标的一般方法：过A作z轴的平行线交平面xOy于B，过B分别作x,y轴的平行线，分别交y,x轴于C、D，则由 的长度和方向便可求得点A的坐标.例4如图为直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；（）求 的长；（）求 的值；（）求证：A1BC1M。解：（）如图建立空间直角坐标系，则C（0，0，0）， C1（0，0，2）， A（1，0，0），A1（1，0，2）

7、， B（0，1，0）， B1（0，1，2） （） （） 反馈练习：1下列各组向量不平行的是（ ）A =（1，0，0）， =（-3，0，0）B =（0，1，0）， =（1，0，1）C =（0，1，-1）， =（0，-1，1） D =（1，0，0）， =（0，0，0）2已知 =（-3，2，5）， =（1，x，-1）且 ，则x的值为（ ）A3 B4 C5 D63已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若 ，且 ，则x+y的值是（ ）A-3或1 B3或-1 C-3 D14已知 =（1-t，1-t,t）， =（2，t，t），则 的最小值是（ ）A B C D 5已知向量 =（3，5，-1）， =

8、（2，2，3）， =（4，-1，-3），则下列向量的坐标是 2 =_ _。 _ _。 _ _。 _ _。6、已知：点A(1,-2,0)和向量 =(-3,4,12)，若向量 ，且| |等于 的二倍. 则点B的坐标_。7、设 ABCD的两边是向量 ，则 ABCD的面积是_。8已知向量 =（1，1，0）， =（-1，0，2）且k + 与2 - 互相垂直，则k=_。9已知ABC三顶点A(0,0,3),B(4,0,0),C(0,8,-3)，试求：三角形三边长；三角形三内角；三角形三中线长；角A的平分线所在向量为 （D在BC上），求 与x轴，y轴，z轴的夹角余弦.10如图，在正方体ABCD-A1B1C1D

9、1中，E、F分别是BB1、DC的中点(1)求AE与D1F所成的角；(2)证明AE平面A1D1F.11已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，求当 取最小值时，求点Q的坐标。参考答案1B 2C 3A 4C 5(6,10,-2) (1,8,5)(16,0,-23) (3m+2n,5m+2n,-m+3n)6、(-5,6,24)或(7,-10,-24). 7、 8、 9、 . . ， 10、设已知正方体的棱长为1，且 ，以 为坐标向量，建立空间直角坐标系D-xyz，则：(1) , , ,即AE与D1F所成的角为 (2)又 ，且 ， AED1A1，由(1)知AED1F，且D1A1D1F=D1，AE平面A1D1F.11、设 ，可算得 ， 时， 取量小值 ，此时