计算方法-3.3-3.5-复化求积公式ppt课件.ppt

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1、第三节 复化求积公式背景：背景：由于由于 的的Newton-CotesNewton-Cotes公式公式不稳定不稳定，一般不宜使用；而在较，一般不宜使用；而在较大的积分区间上采用低阶的大的积分区间上采用低阶的Newton-CotesNewton-Cotes公式进行计算，公式进行计算，精度又比较低精度又比较低。8n改进：改进：把积分区间分成若干相等的子区间（把积分区间分成若干相等的子区间（分段分段），在每个子区间上使），在每个子区间上使用用低阶低阶求积公式，最后把结果加起来。求积公式，最后把结果加起来。 , a bn将将积积分分区区间间分分割割为为 等等份份，(0,1, ),kbaxakhkn h

2、n 各各节节点点则则()( )baI ff x dx 110( )kknxxkf x dx 1复复化化梯梯形形公公式式110( )( )kknbxaxkIf x dxf x dx 110 ()()2nkkkhf xf x 1x2x1nx .几几何何意意义义定步长积分法定步长积分法11 ( )2()( )2nkkbaf af xf bn nT 称称 为为复化梯形公式复化梯形公式，下标，下标n n表示将区间表示将区间n n等分。等分。nT()2()()12knTkhEfhf , a b 上上的的求求积积余余项项,kkxx1上上的的求求积积余余项项复复化化公公式式的的余余项项3()()( )12Tb

3、aEff 2()()( )12nThEfba f 310()12nkkhf 2( ) , ,设设函函数数则则复复化化梯梯形形公公式式求求积积余余项项为为：f xCa b nIT 210()12nkkbahnf ()10()knnTkEf 11( )0( )kknxknxkf x dxT ( )bnaf x dxT 111( )00( )kknnxknxkkf x dxT 310()12nkkhf kx1kx()knT10()nkkfmMn ( ) , 在在上上连连续续fxa b ( ) , ,( ).在在闭闭区区间间内内有有最最大大、最最小小值值和和即即fxa bmMmfxM10(),nkkm

4、fnMn , , ,由由连连续续函函数数的的介介值值定定理理使使得得a b 10()( )nkkffn 2()( )12nhITba f 223( )12( )12( )12hn fhn fbanhn fh n 0 0，当当时时. .110( )=( )kknbxaxkf x dxf x dx 2Simpson复复化化公公式式11102 ()4 ()()6nnkkkkhf xffSxx 111012 ( )4()2()( )6nnkkkkbaf af xf xf bn 1212kkkxxx 其其中中称称 为为复化复化SimpsonSimpson公式公式，下标，下标n n表示将区间表示将区间n

5、n等分。等分。nS类似地类似地，我们有复化，我们有复化SimpsonSimpson公式的余项：公式的余项：111( )011( )00( )( )( )kkkknnbnknxxknnaxxnkkkISf x dxf x dxf x dxSSS( )44111(4)(4)0001( )( )( )180 2180 2knnnnSkkkkkhhb anhEfff kx1kx21kx（N=2，三点插值三点插值）()knS(444)180 2, ( ,)2(180b a hb afha b 1401( )n( )kkfn1414kkxxh 1244107 ( )32 ()12 ()90nnkkkbaC

6、f af xf xn 341132 () 14()7 ( )nkkkf xf xf b 3 3 复化复化CotesCotes公式公式kx41kx1kx42kx43kx（N=4，五点插值五点插值）2()()12kTkhEfhf 4复复化化求求积积公公式式余余项项 , a b 上上的的求求积积余余项项,kkxx1上上的的求求积积余余项项复复化化公公式式的的余余项项3()()( )12TbaEff 4(4)()()( )1802Sba baEff 6(6)2()( )()( )9454CbabaEff 4(4)()()1802kSkhhEff 6(6)2()()945 4kCkhhEff 2()()

7、( )12nThEfba f 4(4)()( )1802nSbahEff 6(6)2()( )( )9454nCbahEff （梯形公式、（梯形公式、Simpson公式、公式、Cotes公式）公式）?1021 410求积误差不超过区间多少等分才能保证，问要将积分积分若用复化梯形公式计算dxex例例3.1解：解：由复化梯形公式的截断误差，有由复化梯形公式的截断误差，有),( ),(12)()()(12)(232bafnabfabhfETn 从而，时有当其中,| )(|10, 1,)(,)(exfxabexfexfxx .12| )(|2nefETn,106102112 102142424-enn

8、en使满足，只需取若使求积误差不超过688266. 1lnnn103sinsin( )110 .2xxf xIdxxhx 已已知知的的数数据据，用用复复化化求求积积法法求求的的近近似似值值, ,使使求求积积误误差差不不超超过过取取同同样样改改用用复复化化S Si im mp ps so on n公公式式计计算算，问问截截断断误误步步差差例例3 3. .2 2长长是是多多少少? ?1011( )00sin( )( ) ( )cos .( )cos cos ,2kkkkxf xf xxf xtx dtdkfxtx dtttxdtdx 令令，将将改改写写成成含含参参变变量量积积分分的的形形式式：解解

9、所所以以：11( )0031|( )|cos .211102kkkkfxttxdtt dtkh 若若使使求求积积误误差差不不超超过过，只只需需取取 满满足足( , )cos( , )0, 1.2( )1.xf t xtxxtffxx 于于有有界界域域内内连连续续；于于区区间间内内连连续续. .则则可可求求导导. .111230144417 (0)32 ()12 ()32 () 14()7 (1)180kkkkkkff xf xf xf xf8T0 x1x2x3x4x5x6x7x8x复复化化梯梯形形公公式式：711 (0)2()(1)16kkff xf 8T0.94569086 Simpson复

10、复化化公公式式：3310121 (0)4()2()(1)24kkkkff xf xf 4S0.94608331 2C 0.94608307 Cotes复复化化公公式式：4S0 x0 1/2x 1x1 1/2x 2x2 1/2x 3x3 1/2x 4x2C0 x0 1/4x 0 1/2x 0 3/4x 1x1 1/4x 1 1/2x 1 3/4x 2x10sin0.946083070367183xIdxx 注注：精精确确值值精精度度最最高高精精度度次次高高精精度度最最低低18,8nh14,4nh12,2nh22311(1 0)|( )|100.1342,.12123128hhfhh 取取 复复化

11、化求求积积公公式式存存在在的的问问题题q.( )f xh复复化化求求积积法法是是提提高高精精度度的的有有效效方方法法，但但是是由由于于表表达达式式往往往往未未知知或或高高阶阶导导难难于于计计算算，在在给给定定精精度度条条件件下下，步步长长 难难以以确确定定！h太太大大，会会导导致致较较大大的的截截断断误误差差，精精度度达达不不到到；.h太太小小，必必增增加加计计算算次次数数，造造成成舍舍入入误误差差的的积积累累. .计计算算量量大大！.变变步步长长复复化化求求积积法法的的 基基本本思思想想q.先先选选择择一一个个较较大大的的步步长长，对对结结果果进进行行精精度度估估计计，若若不不满满足足精精度

12、度则则步步长长减减半半，直直到到满满足足精精度度要要求求。方方法法称称为为变变步步长长积积分分法法。需需要要考考 虑虑的的问问题题q.如何判断结果的精度？如何判断结果的精度？.h在 减半的情况下，如何节省计算量？在 减半的情况下，如何节省计算量？.第第4 4节节 变步长复化求积法变步长复化求积法逐次分半算法逐次分半算法变步长积分法变步长积分法2nnTT 2nnITIT 4 221()3nnnITTT2nTI以以作作为为 的的近近似似值值，截截断断误误含含义义：差差大大概概为为计算结果精度的如何判定？计算结果精度的如何判定？G.()nTnEfIT2()( )12hba f 2122()()12(

13、)2()()12hba fhba f 1,T2,T4,T8,T.直至满足：直至满足：2nnTT 21()3nnTT 精度判定的条件：精度判定的条件：?绿绿 蓝蓝 红（由红（由粗粗到到细细逐次逐次减半减半）.bahn ， = =其其中中12()(),假设当 很大时，则有nff 误差的这种估计法称为误差的这种估计法称为事后估计事后估计（或（或后天估计后天估计）h步长 减半后，如何节省量？步长 减半后，如何节省量？A.1 , ,kka bxxn 积分区间时，在积分区间时，在等分等分上上( )1 ()()2knnkkhTf xf x 1 ,2kka bxnx 积分区间后，在积分区间后，在等分等分上上(

14、 )21/21/2 ()2 ()()2knnkkkhTf xf xf x( )1/2122()nknkfhxT 11/20(1)22nnkknhTf x 1/2()kf x “加”加”即：步长减半后，只需算。即：步长减半后，只需算。11/2 ()()12()22nkknkhf xxffxh 1( )20nknkT 1( )10/212()2nnkkknf xhT 2nT ( )11/210012()2nnkknkknf xTh 1/2kx 12kkxx 回回顾顾q.2()( )12()nThba fEf 4(4)( )1802()nSbahfEf 6(6)2()( )9454()nCbahfE

15、f 复化公式的求积余项复化公式的求积余项. 复化梯形公式的事后误差估计复化梯形公式的事后误差估计.221()3nnnITTT与之间的关系与之间的关系2nnTT.121/2012(2)nnnnkkTTf xh 第第5 5节节 龙贝格（龙贝格（RombergRomberg）求积法）求积法- -逐次分半加速收敛算法逐次分半加速收敛算法提出问题：提出问题：能否通过能否通过求积公式的截断误差求积公式的截断误差，构造出，构造出一个新的序列一个新的序列，它逼近，它逼近I的阶更高？的阶更高？或者或者如何提高收敛速度以节省计算量？如何提高收敛速度以节省计算量？ 与与、与与之之间间的的关关系系nnnnTSSCq.

16、221+()3nnnITTT 221()3若记，若记，nnnTTTT 2则可以期待比有更好的精度则可以期待比有更好的精度nTT1,事实上，在上有：事实上，在上有：kkxx ( )1 ()()2knnkkhTf xf x ( )21/21/2 ()2 ()()2knnkkkhTf xf xf x( )1/21 ()4 ()()6knnkkkhSf xf xf x显然满足：显然满足：( )( )24133kknnTT( )( )( )( )221()3kkkknnnnSTTT , Simpson在上利用复化的公式有：在上利用复化的公式有：a b1( )0nknnkSS 1( )( )204133n

17、kknnkTT 24133nnTT221()3nnnITTT.“修正修正”的想法！的想法！()T= =这说明这说明用用梯形法梯形法二分前后的两个积二分前后的两个积分值分值Tn与与T2n的的线性线性组合的结果组合的结果得到得到复复化辛普森法求积公化辛普森法求积公式式复化梯形公式复化梯形公式复化辛普森公式复化辛普森公式2nnISIS 类似地：类似地：.16 221()15nnnISSS221()15可以期待具有更高精度nnnnSSSS 事实上，事实上，221()15nnnnCSSS复复化化CotesCotes 利利用用的的余余公公式式项项类类似似地地可可得得.221()63nnnICCC221()

18、63若记：若记：nnnnRCCC n2nRC则则可可以以比比精精度度更更高高，期期待待龙龙贝贝格格（RomberRomber称称为为g g）公公式式。4(4)( )1802()nbaRhSf 6(6)2()( )9454()nbahfR C 4(4)1()1802hbaf 4(4)2/2()1802bafh 221+()15nnnISSS 221+()63nnnCCCI 323341+41 1 4nnCC 复化复化Simpson公式公式复化复化Cotes公式公式Romberg公式公式Romberg 公公式式计计算算过过程程q.1T2T4T8T16T1S2S4S8S1C2C4C1R2R2kT12

19、kS 22kC 32kR .1 1）同一行每个公式都是节点数目相同的求积公式；同一行每个公式都是节点数目相同的求积公式；2 2）同一列求积公式的代数精度相同；同一列求积公式的代数精度相同；3 3）表中对角线上相邻元素之差小于允许误差时，停止计算。表中对角线上相邻元素之差小于允许误差时，停止计算。323341+4141nnnCCR 222241+4141nnnSSC 241+4 14 1nnnSTT 加速公式加速公式在变步长的过程中在变步长的过程中运用加速公式，就运用加速公式，就能将粗糙的梯形值能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度逐步加工成精度较高的辛普森值较高的辛普森值Sn 、柯特斯值、柯特斯值

20、Cn和龙和龙贝格值贝格值Rn .第第6 6节节 高斯（高斯（GaussGauss）求积公式）求积公式在构造在构造Newton-Cotes公式公式时，限定时，限定用积分区间用积分区间a,b的等分点的等分点作为求积节点作为求积节点(等等距划分距划分)，这样做虽，这样做虽简化了问题的处理过程简化了问题的处理过程，但同时也，但同时也限制了精度限制了精度。在在节点数目固定节点数目固定为为n+1+1的条件下，能否通过的条件下，能否通过适当选取适当选取求积节点求积节点x xk k的位置的位置以及以及相应的求积系数相应的求积系数A Ak k，使求积公式，使求积公式具有尽可能高具有尽可能高( (最高最高) )的

21、代数精度的代数精度( (记为记为,m,m）？ 0()()d()nbkkakxfxxAfx提出问题：提出问题：1)2)( )()( )()( )( )由于，可改写成bbaaf xI ff x dxI fxdxx ()( ) ( )baI fx f x dx 为了使问题具有一般性，我为了使问题具有一般性，我们主要考虑如下带权积分：们主要考虑如下带权积分：问问 (1) 最高最高可达多少？可达多少？ (2) 如何构造如何构造这样的公式？这样的公式？插值型求积公式插值型求积公式( (* *) )求积公式含有求积公式含有2n+2个待定参数个待定参数xk、Ak(k0,1,n)若用若用待定系数法待定系数法确定

22、它确定它们们, 则最好需要则最好需要2n+2个独立的条件个独立的条件, 根据代数精度的定义根据代数精度的定义, 令令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 ，代入上面求积公式，代入上面求积公式, 得到非线性方程组得到非线性方程组若解存在若解存在(? 可证可证), 求解求解. 从而求积公式的代数精度从从而求积公式的代数精度从n次次提高到提高到2n+1次次. 这类求这类求积公式称为高斯（积公式称为高斯（Gauss）求积公式）求积公式. 将节点将节点 x0 xn 以及系数以及系数 A0 An 都作为待定系数。令都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入

23、上面公式求解（解存在！），得到的公式具有代入上面公式求解（解存在！），得到的公式具有2n+1 次代数精次代数精度。这样的节点称为度。这样的节点称为Gauss 点点，公式称为，公式称为Gauss 型求积公式型求积公式。定义定义6.1. 6.1. 0( )d0,1, 21.nbmmkkakxxxA xmn分析上面的公式，易见分析上面的公式，易见问题问题6. 6. 010110011-1( )1-1,1,( )()()xxxA Af x dxA f xA f x积区间为为积取取, ,分分 , ,求求和和使使 成成G Ga au us ss s求求公公式式. .方法一令公式对于令公式对于f (x) =

24、 1, x, x2, x3 ，准确成立，则有，准确成立，则有两点两点Gauss公式公式10111001 111222001 111333001 1121 =0 =2= =30 =dxAAx dxA xAxxdxA xAxxdxA xAx， ， ， . 220113xx2201xx0113xx 1001 111333001 110 =0 =x dxA xAxxdxA xAx ， . 第一步第一步10111222001 1121 =2= =3dxAAxdxA xAx， . 第二步第二步1 1）3 3）2 2）4 4）1 1）2 2）3 3）4 4）代入代入1 1）、）、2 2）第三步第三步011A

25、A1111 ( ) -.33f x dxff积为G Ga au us ss s求求公公式式于于是是，的的具具体体形形式式：称上面的公式为称上面的公式为两点两点Gauss求积公式求积公式。注释：注释：从上面的例子，可看到求解非线性方程组较复杂，通常从上面的例子，可看到求解非线性方程组较复杂，通常n2就很就很难求解故一般不通过解方程来求待定难求解故一般不通过解方程来求待定 系数系数xk 及及 Ak (k0,1, , n) 从分析从分析高斯点的特性高斯点的特性着手，来构造着手，来构造Gauss 求积公式求积公式. 怎么办？怎么办？23012301( )-( )f xaa xa xa xx xx xf

26、 x设，以()()除得010101( )()()()()f xxxxxxx1( )q x1( )r x2( )x121( )( )( )( )f xq xxr x即即方法二111121111( )( )( )( )f x dxq xx dxr x dx对上式两端积分，有由于由于前面的前面的求积公式是插值型的求积公式是插值型的，故，故至少具有至少具有1次代数精次代数精度度，从而有，从而有1100111( )()()r x dxA r xAr x另一方面，易见另一方面，易见121( )( )( )( )f xq xxr x00101111,()(),()()xxf xr xxxf xr x当取当取

27、于是于是1100111( )()()r x dxA f xA f x故要使故要使100111( )()()f x dxA f xA f x只需只需1121( )( )0q xx dx据正交多项式的性质可知据正交多项式的性质可知从几何直观上看，是从几何直观上看，是寻找两点，使通过该寻找两点，使通过该两点的直线在两点的直线在-1,1上上围成的面积与围成的面积与f(x)在在该区间上围成的面积该区间上围成的面积相等！相等！222( )Legendre2 ( )=( )3xxP x将取为首项系数为1的二次多项式，即2(2 )!, 22 ( !)nnnann其中22 1=(31)3 2x01,x x 就是

28、二次Legendre多项式的根，即0113xx 0101,( )1, ,x xAAf xx求出节点后，再使用求积公式确定 ， .为此，取则有101110 01 1121 =0 =dxAAx dxAxAx ， . 解之，得解之，得011AA上面所得到的求积公式称为上面所得到的求积公式称为Gauss-Legendre求积公式求积公式.一般积分区间一般积分区间a,ba,b上的两点上的两点Gauss-LegendreGauss-Legendre求积公式求积公式: :( )baf x dx22babaxt11()222bababaftdt-( ) ()()2222 32 3babab abab abaf

29、 x dxff例：用两点高斯公式求例：用两点高斯公式求 的近似值。的近似值。1251(2)1dxx32112251113(2)191xtdxdtxt解：解：2211233311429(-)19()133 10 ( )( -)( ) 与任意次数不大于 的多项式即带权正交,nnkknxx xnq x 定理定理6.1.节点节点xk(k=0,1,n)为为Gauss点点一、一般的高斯一、一般的高斯(Gauss)(Gauss)求积公式求积公式关键在于求高斯点关键在于求高斯点. .21012110( )( )(),nnnnkkf xaa xaxxxx设，=类似地，我们有1( )( )( )( )nnnf x

30、qxxr x1( ) ( )( )( )( )( ) ( )bbbnnnaaax f x dxx qxx dxx r x dx于是()()kknkxxf xr x取，有1( )( )( )0.bnnax q xx dx 1( )( )( )0bnnax qxx dx必须有( ) ( )( ) ( )bbnaax f x dxx r x dx故若使这就是高斯这就是高斯(Gauss)点所应满足的条件点所应满足的条件!00()()nk nkknkkkA r xA f x换一句话说换一句话说，在，在 a,ba,b 上带权上带权(x)(x)的的n+1n+1次正交多项次正交多项式的零点就是式的零点就是求积

31、公式的求积公式的GaussGauss点点. .0( )d0,1, 21.nbmmkkakxxxA xmn有了高斯点有了高斯点xk，再使用如下线性方程组，再使用如下线性方程组可解得可解得Ak.二、高斯求积公式的余项二、高斯求积公式的余项0( ) ( )()nbkkakR fx f x dxA f x/* 设设H为为f 的过的过x0 xn的插值多项式的插值多项式 */210( ) ( )()nbknkakx f x dxA Hx/*只要只要H 的阶数不大于的阶数不大于2n+1，则下，则下一步等式成立一步等式成立*/2121( ) ( )( )( )( ) ( )( )bbbnnaaax f x d

32、xx Hx dxxf xHx dx插值多项式的余项插值多项式的余项Q：什么样的什么样的插值多项式插值多项式在在 x0 xn 上有上有 2n+1 阶？阶？A：Hermite 多项式！多项式！满足满足)()(),()(kkkkxfxHxfxH 21( )( )( )bnaR fxf xHxdx(21)21(21)21()( )( )(22)!( )( )( ),( , )(22)!nbxnanbnafxx dxnfxx dxa bn二、高斯求积公式的稳定性与收敛性二、高斯求积公式的稳定性与收敛性定理定理6.2. Gauss求积公式的系数都是求积公式的系数都是正的正的，且，且212211( )( )

33、()()bnkaknkxxAdxxxx定理定理6.3. 设设f(x) Ca,b，则，则Gauss求积公式是求积公式是收敛的收敛的，即，即0lim()( ).nbkkankA f xf x dx三、常用的高斯求积公式三、常用的高斯求积公式 Gauss-Legendre求积公式求积公式：( )1, , 1,1xa b 是相应于时的求积公式，即1-10( )(),nkkkf x dxA f x11-11( )=.()()nkknkxAdxxxx其中其中21112(1)!( ):=( )(22)!nnnnxP xn11-11( )=.()()nknkPxdxxxPx直接计算上式直接计算上式比较困难比较

34、困难。我们可得到。我们可得到更简便的系数公式更简便的系数公式：由于由于Ak与与f(x)无关，我们可取：无关，我们可取：11( )( )=( )()nnkPxf xPxxx2n次多项式次多项式注意到积分端点注意到积分端点 1 可能是积分的可能是积分的奇点奇点，用普通，用普通Newton-Cotes公式公式在端点会出问题。而在端点会出问题。而Gauss公式可公式可能避免此问题的发生。能避免此问题的发生。112111-1-10( )( )( )()() .()nnnjjknkjkPxPx dxf x dxA f xA Pxxx121111111-1-112211112( )( )( )( )( )(

35、)()()(1)( 1) (1)( 1)(1) (1)xnnnnnkkkxnnkknknPxPxPxdPxPxdxxxxxxxPPxxxPP 221221122(1)(1)( 1)2(1)2 (1)1)(1)(1)1nknnkkkkPxPPxxxx1(1)1nP证明：11(1)(21),1,2,nnnnPnxPkPn利用 Gauss-Chebyshev求积公式求积公式：21( ), , 1,11xa bx 是相应于时的求积公式，即1-10( ) ( )(),nkkkx f x dxA f x11-111( )=( ).()()nkknkxAxdxxnxx其中其中111( ):=( )2nnnx

36、Tx111100( )0( )=( )( )( )=2.( ), ( ),nknnnnnknnTxnxxTxa T xaTxa T xxxaT xx由于是次多项式,根据推论1（P33），有比较系数知再上式两端同乘并积分,得112111( )( )( )=2( )( )nnnkTxxT x dxx T xdxxx111110( )( )( )( ) =( )() ()jnnnnjnjk nknkjkkx xTxTxxT x dxAT xATx T xxxxx于是于是1211()()2( )( ), knknknATx T xx T xdx12112( )( ), 0()()nknknkx T xdxAnTx T x1212( )( )nx T xdx上式的分子：上式的分子：2()cos(1)arccosarccos cos(1)arccoscosarccos sin(1)arccossinarccos sin(1)arccossinarccos sin(1)arccos 1nkkkkkkkkkkkT xnxxnxxnxxnxxnxx1()cos(1)arccosnkkTxnx21(1)sin(1)arccos1kknnxx 于是于是1()()1nknkTxT xn上式的分母：上式的分母：2sin (1)arccos0knx注意：