2021-2022年收藏的精品资料专题05 图形运动中的函数关系问题解析版.doc

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1、玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学解答题高端精品专题五 图形运动中的函数关系问题【考题研究】在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与x有关的线段长，面积的大小等. 这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想.【解题攻略】图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和由勾股定理产生

2、的函数关系，在两种类型的题目中比较常用类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OBx，ABy，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式类型二，图形的翻折已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设ADx，OEy，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数

3、值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错【解题类型及其思路】图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值【典例指引】类型一 【确定图形运动中的线段

4、的函数关系式及其最值】 典例指引1如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=12cm，BD=16cm，动点N从点D出发，沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点M从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（s）（t0），以点M为圆心，MB长为半径的M与射线BA，线段BD分别交于点E，F，连接EN学科=网（1）求BF的长（用含有t的代数式表示），并求出t的取值范围；（2）当t为何值时，线段EN与M相切？（3）若M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围【解析】（1）连接MF只要证明MFAD，可得=，即=，

5、解方程即可；（2）当线段EN与M相切时，易知BENBOA，可得=，即=，解方程即可；（3）由题意可知：当0t时，M与线段EN只有一个公共点；【解答】解：（1）连接MF四边形ABCD是菱形，AB=AD，ACBD，OA=OC=6，OB=OD=8，在RtAOB中，AB=10，MB=MF，AB=AD，ABD=ADB=MFB，MFAD，=，=，BF=t（0t8）（3）由题意可知：当0t时，M与线段EN只有一个公共点【名师点睛】本题考查圆综合题、菱形的性质、切线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题学会用构建方程的思想思考问题属于中考压轴题【举一反三】如图，在

6、平面直角坐标系中，点A是抛物线与x轴正半轴的交点，点B在抛物线上，其横坐标为2，直线AB与y轴交于点点M、P在线段AC上不含端点，点Q在抛物线上，且MQ平行于x轴，PQ平行于y轴设点P横坐标为m（1）求直线AB所对应的函数表达式（2）用含m的代数式表示线段PQ的长学=科网（3）以PQ、QM为邻边作矩形PQMN，求矩形PQMN的周长为9时m的值【解析】试题分析：（1）先利用二次函数解析式求出A点和B点坐标，然后利用待定系数法求直线AB的解析式；（2）设P（m，-m+8），则Q（m，-m2+4m），讨论：当0m2时，PQ=m2-5m+8；当2m8时，PQ=-m2+5m-8；（3）先表示出M（m2-

7、4m+8，-m2+4m），讨论：当0m2，QM=m2-5m+8，利用矩形周长列方程得到2（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，然后解方程求出满足条件m的值；当2m8，QM=-m2+5m-8，利用矩形周长列方程得到2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，然后解方程求出满足条件m的值（2）设P（m，-m+8），则Q（m，-m2+4m），当0m2时，PQ=-m+8-（-m2+4m）=m2-5m+8；当2m8时，PQ=-m2+4m-（-m+8）=-m2+5m-8；（3）MQx轴，M点的纵坐标为-m2+4m，M点的横坐标为m2-4m+8，即M（m2-4m+8，-m2+4m），当0m2，QM=m2-

8、4m+8-m=m2-5m+8，2（PQ+QM）=9，2（m2-5m+8+m2-5m+8）=9，整理得2m2-20m+23=0，解得m1=，m2=（舍去）；当2m8，QM=m-（m2-4m+8）=-m2+5m-8，2（PQ+QM）=9，2（-m2+5m-8-m2+5m-8）=9，整理得2m2-20m+41=0，解得m1=，m2=（舍去）；综上所述，m的值为或类型二 【确定图形运动中的图形周长的函数关系式及其最值】 典例指引2已知：抛物线经过坐标原点，且当时, y随x的增大而减小.（1）求抛物线的解析式；（2）如下图，设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D

9、，再作ABx轴于点B, DCx轴于点C.学科=网当 BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；设动点A的坐标为（a, b）,将矩形ABCD的周长L表示为a的函数，并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由.试题解析：解：（1）把（0，0）代入y=x2+（2m1）x+m21，0=m21，m=1，当x0时，y随x的增大而减小，对称轴x=0，m，m=1，抛物线的解析式为y=x23x；（2）ADx轴，A与D关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为x=，BC=1点B的横坐标为1，把x=1代入y=x23x，y=2，AB=2，矩形AB

10、CD的周长为：22+21=6；把A（a，b）代入y=x23x，b=a23a，A（a，a23a），令y=0代入y=x23x，x=0或x=3，由题意知：0a3，AB=3aa2，由可知：A与D关于x=对称，D的坐标为（3a，a23a），AD=|3aa|=|32a|，分两种情况讨论：当0a时，AD=32a，L=2（AB+AD）=2a2+2a+6=2（a）2+，当a=时，L的最大值为，此时A的坐标为（，）；当a3时，AD=2a3，L=2（AB+AD）=2（a）2+，当a=时，L的最大值为，此时A的坐标为（，）综上所述：L= ，当A的坐标为（，）或（，），L的最大值为【名师点睛】本题考查二次函数的综合问题

11、，涉及待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数的最值等知识，内容较为综合，需要学生充分理解二次函数的性质才能进行解答【举一反三】如图，抛物线y=x2+bx+c经过原点和点A（6，0），与其对称轴交于点B，P是抛物线y=x2+bx+c上一动点，且在x轴上方过点P作x轴的垂线交动抛物线y=（xh）2（h为常数）于点Q，过点Q作PQ的垂线交动抛物线y=（xh）2于点Q（不与点Q重合），连结PQ，设点P的横坐标为m（1）求抛物线y=x2+bx+c的函数关系式及点B的坐标；（2）当h=0时学-科网求证： ；设PQQ与OAB重叠部分图形的周长为l，求l与m之间的函数关系式；（3）当h0时，

12、是否存在点P，使四边形OAQQ为菱形？若存在，请直接写出h的值；若不存在，请说明理由【解析】试题分析：（1）用待定系数法求得函数解析式，把解析式化为顶点式，直接写出点B的坐标即可；（2）当h=0时，求得抛物线的解析式，用m表示出点P、Q的坐标，再用m表示出PQ、QQ的长，计算即可得结论；分当0m3时和当3m6时两种情况求l与m之间的函数关系式；（3）存在，当四边形OQ1Q1A是菱形时，OQ1=OA=Q1Q1=6，当抛物线的顶点是原点时，可求得Q1点横坐标为3，将x=3代入y=x2，得 y=-4，由于是平移，可知Q点纵坐标不变，在RTOHQ1，中，OH=4，OQ1=6，根据勾股定理求得HQ1=2

13、，即可得h的值(根据函数的对称性).（2）证明：h=0时，抛物线为y=x2，设P（m，m2+m），Q（m，m2），PQ=m，QQ=2m，=；如图1中，当0m3时，设PQ与OB交于点E，与OA交于点F，=，PQQ=BMO=90，PQQBMO，QPQ=OBM，EFBM，OEF=OBM，OEF=QPQ，OEPQ，=，EF=，OE=，l=OF+EF+OE=m+m=4m，当3m6时，如图2中，设PQ与AB交于点H，与x轴交于点G，PQ交AB于E，交OA于F，作HMOA于MAF=6m，tanEAF=，EF=（6m），AE=，tanPGF=，PF=x2+x，GF=m2+2m，AG=m2+m+6，GM=AM=

14、m2+m+3，HG=HA=m2+m+5，l=GH+EH+EF+FG=m2+4m+8综上所述l=，（3）如图3中，存在，当四边形OQ1Q1A是菱形时，OQ1=OA=Q1Q1=6，当顶点在原点时，Q1点横坐标为3，将x=3代入y=x2，得 y=-4，由于是平移，Q点纵坐标不变，点Q1的纵坐标为-4，在RTOHQ1，中，OH=4，OQ1=6，HQ1=2，h=32或3+2，综上所述h=32或3+2时，四边形OAQQ为菱形类型三 【确定图形运动中的图形面积的函数关系式及其最值】 典例指引3如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（1，0），点C与点B关于x轴对称，

15、连接AB、AC（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0t4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由【解析】试题分析：（1）由于A（8，0），D（1，0），故设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x8），将B（0，4）代入即可求得a，进而求得抛物线的解析式为；（2）四边形PBC

16、A可看作ABC、PBA两部分；ABC的面积是定值，关键是求出PBA的面积表达式；若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而PAB的面积可由（PQOA）求得，在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的最大值；（3）根据已知条件得到HAB90，当ABH=90时，求得直线AB：y=x+4，直线BH：y=2x+4，于是得到H（，11），当AHB=90时，过B作BN对称轴于N，则BN=，AG=，设对称轴交x轴于G，根据相似三角形的性质得到HN=（负值舍去），于是得到H（， ）（3）存在，抛物线的对称轴为：x=，直线x=垂直x轴，HAB90，当ABH=90时，由A（8，0）、B（

17、0，4），得：直线AB：y=x+4，所以，直线BH可设为：y=2x+h，代入B（0，4），得：h=4，直线BH：y=2x+4，当x=时，y=11，H（，11），当AHB=90时，过B作BN对称轴于N，则BN=，AG=，设对称轴交x轴于G，AHG=HBN=90BHN，BNH=AGH=90，AHGBHN，HN（HN+4）=，4（HN）2+16HN63=0，解得：HN=（负值舍去），H（， ），综上所述，H（，11），（， ）【名师点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键学科=网【举一反三】如图，抛物线与x轴交于两点A（4，0

18、）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交ABC的另一边于点E，将ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；来源:学+科+网（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式【解析】试题分析：（1）把A（4，0），B（1，0），点C（0，2）即可得到结论；（2）由题意得AD=2t，DF=AD=2t，OF=44t，由于直线AC的解析式为： ，得到E（2t4，t）

19、，当EFC=90，则DEFOFC，根据相似三角形的性质得到结论；当FEC=90，根据等腰直角三角形的性质得到结论；当ACF=90，根据勾股定理得到结论；（3）求得直线BC的解析式为：y=2x+2，当D在y轴的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2，根据梯形的面积公式即可得到结论试题解析：解：（1）把A（4，0），B（1，0），点C（0，2）代入得： ，解得： ，抛物线的解析式为： ，对称轴为：直线x=；（2）存在，AD=2t，DF=AD=2t，OF=44t，D（2t4，0），直线AC的解析式为： ，E（2t4，t），EFC为直角三角形，分三种情况讨论：当EFC=90，则DEFOFC， ，即，解得：

20、t=；当FEC=90，AEF=90，AEF是等腰直角三角形，DE=AF，即t=2t，t=0，（舍去），当ACF=90，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+22+（4t4）2=（4t）2，解得：t=，存在某一时刻t，使得EFC为直角三角形，此时，t=或；（3）B（1，0），C（0，2），直线BC的解析式为：y=2x+2，当D在y轴的左侧时，S=（DE+OC）OD=（t+2）（42t）=t2+4 （0t2）；当D在y轴的右侧时，如图2，OD=4t4，DE=8t+10，S=（DE+OC）OD=（8t+10+2）（4t4），即（2t）综上所述： 点睛：本题考查了待定系数法确定函数关系式，梯形的

21、面积公式，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键 【新题训练】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，点B坐标为求二次函数解析式及顶点坐标；过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点点P在AC上方，作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积【解析】试题分析：（1）用待定系数法求抛物线解析式，并利用配方法求顶点坐标；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，-x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=-2x2+10x，根据二次函数求出极值；可得P的坐标试题解析：把点，

22、点B坐标为代入抛物线中，得： ，解得： ，抛物线的解析式为： ，顶点坐标为；设直线AB的解析式为： ，解得： ，直线AB的解析式为： ，设，则，点C在抛物线上，且纵坐标为5，有最大值，当时，S有最大值为，此时2如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点OP为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C（1）求直线OA和二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，当PC的长最大时，求点P的坐标；当SPCO=SCDO时，求点P的坐标【解析】试题分析： 设 把A点坐标代入即可求出二次函数解析式.设出直线的解析式，把点坐标代入即可.根

23、据点的坐标求出 化成顶点式即可求出线段的最大值；根据点的坐标设出点P和点C的坐标，表示出PC和CD的长度，要使得 则有 代入求出坐标即可； 轴，P在上，C在上， 当 时，PC的长最大， 当 时，即 当时，则有 解得（舍去）， 3如图，直线与抛物线相交于A和B（4，n）两点，点P是抛物线位于线段AB上方异于点A，B的一个动点，过点P作PQx轴，交线段AB于点Q（1）求抛物线的解析式；（2）在P点运动过程中，线段PQ的长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）直线AB与y轴交于点C，与x轴交于点D，若PBQ与ODC相似，求点P的坐标【解析】试题分析

24、：（1）把A、B的坐标代入直线，即可得到m，n的值，从而得到A、B的坐标， 再把A、B的坐标代入抛物线的解析式，解方程即可得到结论；（2）设点P的横坐标为a，则P（a， ），Q（a， ），用含a的代数式表示出PQ，配方即可得到结论；（3）分两种情况讨论：当BPQ=90时，当PBQ=90时试题解析：解：（1）A（m，4）和B（4，n）在直线上， ，解得：m=2，n=1，A（2，4），B（4，1）， ，解得： ， 抛物线的解析式为（2）设点P的横坐标为a，则P（a， ），Q（a， ），PQ=，当时，线段PQ长取得最大值为9，此时P点坐标为（1， ）来源:Zxxk.Com（3）PQy轴，PQB=OC

25、DCOD=90，当PBQ=90或BPQ=90时，PBQ与ODC相似当BPQ=90时，PBx轴，P点的纵坐标为-1，由得： 或，P（，1）；当PBQ=90时，设PB与x轴交于点M，由得：C（0，3），D（6，0），OC=3，OD=6，CD=B（4，1），BD=DBM=DOC=90，BDM=ODC，BDMODC，即，DM=，OM=，M（，0），直线PB的解析式为y=2x+7由得： ， ，P（，6）综上可知：点P的坐标为（，1）或（，6）4（2017广西百色市，第26题，12分）以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（4，0），B（0，2），M（0，4），P为折线BCD

26、上一动点，作PEy轴于点E，设点P的纵坐标为a（1）求BC边所在直线的解析式；（2）设，求y关于a的函数关系式；（3）当OPM为直角三角形时，求点P的坐标【解析】试题分析：（1）先确定出OA=4，OB=2，再利用菱形的性质得出OC=4，OD=2，最后用待定系数法即可确定出直线BC解析式；（2）分两种情况，先表示出点P的坐标，利用两点间的距离公式即可得出函数关系式；（3）分两种情况，利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点P的坐标试题解析：（1）A（4，0），B（0，2），OA=4，OB=2，四边形ABCD是菱形，OC=OA=4，OD=OB=2，C（4，0），D（0，2），设直线BC的解析式为y=

27、kx2，4k2=0，k=，直线BC的解析式为y=x2；（2）由（1）知，C（4，0），D（0，2），直线CD的解析式为y=x+2，由（1）知，直线BC的解析式为y=x2，当点P在边BC上时，设P（2a+4，a）（2a0），M（0，4），y=MP2+OP2=（2a+4）2+（a4）2+（2a+4）2+a2=2（2a+4）2+（a4）2+a2=10a2+24a+48，即y=10a2+24a+48，当点P在边CD上时，点P的纵坐标为a，P（42a，a）（0a2），M（0，4），y=MP2+OP2=（42a）2+（a4）2+（42a）2+a2=10a240a+48，即y=10a240a+48；综上所述

28、： ；（3）当点P在边BC上时，即：0a2，由（2）知，P（2a+4，a），M（0，4），OP2=（2a+4）2+a2=5a2+16a+16，PM2=（2a+4）2+（a4）2=5a28a+32，OM2=16，POM是直角三角形，易知，PM最大，OP2+OM2=PM2，5a2+16a+16+16=5a28a+32，a=0（舍）；当点P在边CD上时，即：0a2时，由（2）知，P（42a，a），M（0，4），OP2=（42a）2+a2=5a216a+16，PM2=（42a）2+（a4）2=5a224a+32，OM2=16，POM是直角三角形，分两种情况讨论：、当POM=90时，OP2+OM2=PM

29、2，5a216a+16+16=5a224a+32，a=0，P（4，0）；、当MPO=90时，OP2+PM2=5a216a+16+5a224a+32=10a240a+48=OM2=16，a=2+（舍）或a=2，P（，2），综上所述：当OPM为直角三角形时，点P的坐标为（，2），（4，0）【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，勾股定理逆定理，两点间的距离公式，待定系数法，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是分类讨论的思想，解（3）的关键是分两种情况，利用勾股定理逆定理建立方程求解，是一道中等难度的题目5抛物线与轴交于A(4，0)，B(6，0)两点，与轴交于点C(0，3).（

30、1）求抛物线的解析式； （2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0t3）.过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，PDE的面积最大，并求出这个最大值； 当t =2时，抛物线的对称轴上是否存在点F，使EFP为直角三角形？若存在，请你求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可求得解析式；（2）依题意知：点E的坐标为E（0，t），易得直线BC的解析式为yBC=-x+3，易得点D的坐标为（， ），从而可得=（），利用二次函数的性质即可得面积

31、的最大值；存在点F，使为直角三角形，分情况进行讨论即可得.试题解析：（1）抛物线与轴交于A(4，0)，B(6，0)两点，与轴交于点C(0，3)，则有，解得： ，所以抛物线的解析式为： ； （2）依题意知：点E的坐标为E（0，t），又由点，C（0，3）易知：直线BC的解析式为yBC=-x+3， 过点E的直线与轴平行交直线BC于点D，点D的纵坐标为t，当-x+3=t时， ，点D的坐标为（， ），SPDE=（），的面积有最大值，当时，满足，的面积的最大值为； 存在点F，使为直角三角形； 理由如下：当时，则有：P（4，0） ， ；又易知抛物线的对称轴为：直线，点F在直线上，当为直角三角形时，直角顶点不

32、可能在F处； 则应分两种情况：设F的坐标为（5，m）, ， ， ， ，当直角顶点在E处时， ，此时可求出， 当直角顶点在P处时， ，此时可求出，F的坐标为（5，12）或（5，2）.【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到待定系数法、同底等高的三角形面积相等、直角三角形的判定与性质等，熟练掌握解题方法以及熟知相关的性质是解题的关键.6（2017湖北省孝感市，第24题，13分）在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线的伴随直线为.例如：抛物线的伴随直线为y=2（x+1）3，即y=2x1（1）在上面规定下，抛物线的顶点坐标为 ，伴随直线为 ，抛物线与其伴随直线的交点坐标为 和 ；（2）如图，顶点在

33、第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，B（点A在点B的右侧），与x轴交于点C，D学科网若CAB=90，求m的值；如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线上的一个动点，PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值【解析】试题分析：（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；（2）可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在RtABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示

34、出PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值试题解析：（1），顶点坐标为（1，4），由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）4，即y=x3，联立抛物线与伴随直线的解析式可得：，解得：或，其交点坐标为（0，3）和（1，4），故答案为：（1，4）；y=x3；（0，3）；（1，4）；设直线BC的解析式为y=kx+b，B（2，3m），C（1，0），解得：，直线BC解析式为y=mxm，过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，点P的横坐标为x，P（x，m（x1）24m），Q（x，mxm），P是直线BC上方抛物线上的一个动点，PQ=m（x1）24m+mx+m=m（x2x2）=，SPBC=

35、（2（1）PQ=，当x=时，PBC的面积有最大值，S取得最大值时，即=，解得m=2点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识在（1）中注意伴随直线的定义的理解，在（2）中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在（2）中用x表示出PBC的面积是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中7（2015长春，第24题，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合过点P作y轴的垂线与射线BC交于点Q，以PQ为边作RtPQF，使P

36、QF=90，点F在点Q的下方，且QF=1设线段PQ的长度为d，点P的横坐标为m（1）求这条抛物线所对应的函数表达式（2）求d与m之间的函数关系式学=科网（3）当RtPQF的边PF被y轴平分时，求d的值（4）以OB为边作等腰直角三角形OBD，当时，直接写出点F落在OBD的边上时m的值【解析】试题分析：（1）把点B的坐标代入抛物线，求出a的值即可；（2）先求出直线BC的解析式，由点Q的纵坐标求出横坐标，求出PQ，即可得出结果；（3）由题意得出点P与点Q关于y轴对称，得出方程，解方程即可；（4）分两种情况：当点F落在OBD的直角边上时，延长QF交OB于G，证出OFG是等腰直角三角形，得出OG=FG，

37、由FG=QGQF，得出方程，解方程即可；当点F落在OBD的斜边上时，证出BQF是等腰直角三角形，得出BF=QF=1，OF=2，得出方程，解方程即可试题解析：解：（1）把点B（3，0）代入抛物线，得：4a+4=0，解得：a=1，抛物线的函数表达式为： =，即抛物线解析式为：；（2）对于抛物线，当x=0时，y=3，当y=0时，x=1，或x=3，C（0，3），A（1，0），B（3，0），设直线BC的解析式为：，根据题意得：，解得：k=1，b=3，直线BC的解析式为：，点P的坐标为：（m，），点Q的纵坐标坐标为：，则=，x=，点Q的坐标为（，），当1m0时，如图1，d= =，当0x3时，如图2，d=，

38、d与m之间的函数关系式为：；（3）当RtPQF的边PF被y轴平分时，点P与点Q关于y轴对称，横坐标互为相反数，解得：m=1，或m=0（不合题意，舍去），m=1，d=31=2；（4）分四种情况：情形一：如图4所示，C点的坐标为（0，3），将y=3代入函数得（舍去），P点的横坐标m=2；情形二：如图5所示：过D2点作D2GCO交QF与N点，B（0，3），D2（，），CO=3，QF=1，QFCO，D2N=，Q（1，2），将y=2代入函数得，（舍去），m=；情形三：如图6所示：过D2点作D2GOB，B（0，3），D2（，），BG=，QF=1，QFCO，BF=1，Q（1，1），将y=1代入函数得，（舍去

39、），m=；情形四：如图7所示，CD2=6，QF=1，BC=，且QFCD2，BQ=，Q点纵坐标为，即P点纵坐标，将y=代入函数，得，（舍去），m=综上所述：当0m3时，点F落在OBD的边上时m的值为：2或或或8如图所示，已知抛物线P：yax2bxc(a0)与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，抛物线P上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；(3)当矩形DEFG的面积S最大时，连接

40、DF并延长至点M，使FMkDF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围；(4)若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积【解析】试题分析：（1）可任选三组坐标，用待定系数法即可求出抛物线P的解析式然后根据抛物线P的解析式即可得出A、B、C三点的坐标；（2）求矩形的面积需知道矩形的长和宽，可先在直角三角形AOC中，根据AD，OA，DG，CD的比例关系式，用m表示出DG的长，同理可在直角三角形BCO中表示出OE的长，进而可根据ED=EO+OD得出ED的长，然后由矩形的面积公式即可得出S与m的函数关系式； 试题解析：解：（1）设y=ax2+bx+c（a0），任取x，y的三组值代入，得： ，解得：

41、，解析式为： ，令y=0，解得x1=4，x2=2；令x=0，得y=4，A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（4，0），C（0，4）（2）由题意得： ，而AO=2，OC=4，AD=2m，故DG=42m，又，EF=DG，得BE=42m，DE=3m，SDEFG=DGDE=（42m）3m=12m6m2（0m2）（3）SDEFG=6m2+12m=6（m1）2+6，（0m2），m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，2），F（2，2），E（2，0）。设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=，。又因为抛物线P的解析式为： ，令，解得：x=设射线

42、DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有，点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k且k0（4），而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2又，而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，SDEFG=DGFG=69如图，已知抛物线轴交于点A（-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点.（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EFAC交BC于F，连接CE，当CEF的面积是BEF面积的2倍时，求E点的坐标； （3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求

43、此时P点的坐标. 【解析】试题分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；（2）根据抛物线的解析式可得出C点的坐标，易证得ABC是直角三角形，则EFBC；CEF和BEF同高，则面积比等于底边比，由此可得出CF=2BF；易证得BEFBAC，根据相似三角形的性质，即可求得BE、AB的比例关系，由此可求出E点坐标；（3）PQ的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点横坐标为m，用m表示出P、Q的纵坐标，然后可得出PQ的长与m的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PQ最大时，m的值，也就能求出此时P点的坐标试题解析：解：（1）由题意得： ，解得： ，；（2）由（1）知

44、：C（0，2），则AC2=AO2+OC2=20，BC2=BO2+OC2=5而AB2=25=AC2+BC2，ACB是直角三角形，且ACB=90，ACBC，EFAC，EFBCSCEF=2SBEF，CF=2BF，BC=3BFEFAC， AB=5，BE=，OE=BEOB=，故E（，0）；（3）设P点坐标为（m， ）已知A（4，0），C（0，2），设直线AC的解析式为：y=kx2，则有：4k2=0，k=，直线AC的解析式为y=x2，来源:学。科。网Q点坐标为（m， m2），则PQ=（m2）（）=m22m=，当m=2，即P（2，3）时，PQ最大，且最大值为2故当P运动到OA垂直平分线上时，PQ的值最大，此时P（2，3）10综合与探究如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=x2+2x+