南京工程学院《概率论与数理统计》第三章ppt课件-盛骤.ppt

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1、第一节第一节 二维随机变量二维随机变量第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.vr.v及其分布及其分布. . 但有但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述机变量来描述. . 在打靶时在打靶时, ,命中点的位置是由一对命中点的位置是由一对r .v r .v ( (两个坐标两个坐标) )来确定的来确定的. .飞机的重心在空中的位置是由三个飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (r .v (三个坐标三个坐标) )来确定的来确定的. 定义定义1

2、设设 X 、Y 为定义在为定义在同一个同一个样本空间中的随机变样本空间中的随机变量量，称，称 ( X, Y ) 为一个二维随机变量为一个二维随机变量( (向量向量).). 注注 类似可定义类似可定义n 维随机变量维随机变量( X 1 , ,X 2 , , ,Xn ). 请注意与请注意与一维一维情形的情形的对照对照第一节第一节 二维随机变量二维随机变量1. 多维随机变量的定义多维随机变量的定义第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 定义定义1 设设 x , y 为为任意的实数任意的实数 ，称二元函数称二元函数 F ( x, y ) = P X x , Y y = P (X x)

3、(Y y)为随机变量为随机变量 ( X , Y ) 的的 (联合联合) 分布函数分布函数. 2. 联合分布函数的定义及性质联合分布函数的定义及性质 注注 联合分布函数是两个随机事件联合分布函数是两个随机事件积积事件的概率事件的概率. 联合分布函数联合分布函数是否是是否是两个随机事件概率的乘积两个随机事件概率的乘积?xXOxOxyy YX,YX yx,x 将二维随机变量将二维随机变量 看成是平面上随机点看成是平面上随机点的坐标的坐标, ,X Y 那么那么,分布函数分布函数 在点在点 处的函数值处的函数值就是随机点就是随机点 落在下面左图所示的落在下面左图所示的,以点以点 为顶点而位于该点左下方的

4、无穷矩形域内的概率为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. ,X Y ,x y ,F x y ,x y分布函数的函数值的分布函数的函数值的几何几何解释解释F ( x, y ) = P X x , Y y F (x) = P X x 性质性质2 关于关于 x , y 是单调不减的是单调不减的(证证); 性质性质1 非负有界非负有界 0F ( x , y )1 ；性质性质3 ;0),(lim),(lim yxFyxFyx 性质性质4 一元右连续，即分别一元右连续，即分别关于关于 x 、 y 是右连续的是右连续的. 性质性质5 对任意的实数对任意的实数 x 1 x 2 , y 1 y 2 ，有：

5、有： P x 1X x 2 , y 1 Y y 2 = F ( x 2 , y 2 )F ( x 1 , y 1 )F ( x 1, y 2 )F ( x 2 , y 1 ) 0 .1,0,FFyO YX,2y1y1x2x3. 二维离散型随机变量二维离散型随机变量,),(ijjipyYxXP或随机变量或随机变量X和和Y 的的联合联合分布律分布律. ,)(kkpxXPk=1,2, 一维离散型随机变量一维离散型随机变量X的分布律的分布律 , 0kpkkp1k=1,2, 定义定义2的值是有限对或可列无限多对的值是有限对或可列无限多对,是是离散型离散型随机变量随机变量.则称则称 ,X Y设二维离散型随

6、机变量设二维离散型随机变量 ,X Y可能取的值是可能取的值是 ,ijx y,1,2,i j ,1,2,i j 记记如果二维随机变量如果二维随机变量 ,X Y全部可能取到的不相同全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量称之为二维离散型随机变量 的的分布律分布律, ,X Y X Yx1x2x3y1p11p21p31y2p12p22p32y3p13p23p33. X Yx1x2x3y1p11p21p31y2p12p22p32y3p13p23p33.性质性质3 对离散型随机变量对离散型随机变量 ( X , Y ), 性质性质1 对任意的对任意的 i , j ， 有有 p i j 0 ; ; 性质性

7、质2. 111 ijjip.),( , yyxxjijipyxF联合分布律的性质联合分布律的性质 例例 1 从从1, 2, 3, 4 中随机地取一个数中随机地取一个数 X ，再从再从 1, , X 中随机地取一个数中随机地取一个数 Y ，计算计算 X , Y 的联合分布的联合分布. 解解 Y X 1 2 3 41 1/4 1/8 1/12 1/162 0 1/8 1/12 1/163 0 0 1/12 1/164 0 0 0 1/16 X 、Y 的的可能取值可能取值？ 例例2把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正为三次抛掷中正面出现的次数面出现的次数 ，而，而 Y

8、 为正面出现次数与反面出现次数之为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值差的绝对值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 .解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)YX1301 83 8001233 8001 84. 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 若存在若存在 f ( x, y )0, 使得使得 ( X , Y ) 的的分布函数分布函数 F (x, y) 满足满足 ： 则称则称 ( X ，Y ) 是连续型二维随机变量是连续型二维随机变量.f ( x，y ) 称为称为 ( X , ,Y ) 的的 (联合联合) 密度函数密度函数.

9、,),(),( yxdudvvufyxF性质性质1 f ( x，y ) 0 ； 性质性质3 若密度函数若密度函数 f ( x ，y ) 连续，则有连续，则有Fxypxyxy2()() , , ,f . 1),(),(Fdxdyyxf性质性质2 连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的概率密度函数的概率密度函数f ( x) 0f (x)dx = 1F (x) = f (x)xF(x) f ( t )d t 性质性质4 二维连续随机向量概率二维连续随机向量概率计算公式计算公式设设 G 是平面上的任意一个区域，则是平面上的任意一个区域，则.),(),( GdxdyyxfGYXP 其其几何解释几何解

10、释为：为： P ( X,Y ) G 的值等于以的值等于以G为底，为底，以曲面以曲面z = f (x,y) 为顶面的曲顶柱体体积为顶面的曲顶柱体体积. P Oxy = f (x)1yx1 x2P x1Xx2 =F(x2)F(x1) = xxf (x)dx21 例例2 设设 X , Y 的密度函数为的密度函数为2 e ( 2 xy ) , ,当当 x 0 , , y 0 ； 0 ， 其它其它f ( x，y ) = ( 1 ) 求分布函数求分布函数 F ( x ，y ) ； ( 2 ) 计算计算 P Y X （结合图形）（结合图形）. 解解 yxdudvvufyxF),(),( 1 ) 对任意的对任

11、意的 x 0 、 y 0 ， yxvudvedu00)2(2).1)(1(2yxee 0 ， 其其 它它 .F ( x，y ) =于是于是(1e2 x)(1e y ) , ,当当 x, y 0 例例2 设设 X , Y 的密度函数为的密度函数为2 e ( 2 xy ) , ,当当 x 0 , , y 0 ； 0 ， 其它其它f ( x，y ) = ( 1 ) 求分布函数求分布函数 F ( x ，y ) ； ( 2 ) 计算计算 P Y X . 解解 ( 2 ) 设在设在G 0 上上 f ( x , y ) 0 ，且且 yx ，则，则 O xyG 0 y = x 0dd),(dd),(Gxyyx

12、yxfyxyxfXYP 0)(2d2dyyxxey.31 按按 y - 型区域型区域 作业作业 P84 2 ； 3第二节第二节 边缘分布边缘分布 (X, Y )的分量的分量 X (或或Y ) 的概率分布称为的概率分布称为X (或或Y ) 的的边缘边缘分布分布.X 与与Y 的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为 F X ( x ) = F ( x , ,+ )； F Y ( y ) = F (+ , , y ) . 1. 1. 离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律 若若( X , Y ) 的分布律为的分布律为 P X = x i , Y = y j = p i j , 则则 X

13、 及及Y 的边缘分布律分别为：的边缘分布律分别为：i jjp1 p i = P X = x i p j = P Y = y j i jip1 例例1 从从1, 2, 3, 4 随机地取一个数随机地取一个数 X ，再从再从1, , X 中随机地中随机地取一个数取一个数Y，计算计算 X、Y 各自的边缘分布律各自的边缘分布律. 解解 分布律见下表分布律见下表 . . 则则 X、Y 的边缘分布律为：的边缘分布律为： Y X 1 2 3 41 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/163 0 0 1/12 1/164 0 0 0 1/16 p j = P Y = y j p

14、i = P X = x i 25 / 4813 / 48 7 / 48 3 / 481/4 1/4 1/4 1/4X、Y 的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为 1 2 3 41/4 1/4 1/4 1/4Xpi . 1 2 3 425/48 13/48 7/48 3/48Yp. j2. 连续型随机向量的连续型随机向量的边缘概率密度边缘概率密度 设设( X , Y ) 的密度函数为的密度函数为 f ( x，y ) , x , y + .则定义则定义 X , Y 的边缘概率密度分别为：的边缘概率密度分别为：; ,d),()( xyyxfxfX. ,d),()( yxyxfxfY用用x -型区域求型

15、区域求（x值固定，值固定，关于关于y积分）积分）用用y -型区域求型区域求（y值固定，值固定，关于关于x积分）积分） fX (x) = f (x, y) dy = x x2 6 dy = 6(x x2) , 0 x1, 0, 其它其它. fY (x) = f (x, y) dx = y 6 dx = 6 ( y ) , 0y 1, 0, 其它其它.y y用用x -型区域求型区域求用用y -型区域求型区域求解解例例2 已知已知 X 、Y 的联合密度函数为：的联合密度函数为：计算计算 X、Y 的边缘概率密度的边缘概率密度.6 ， x 2 y x ; ;0 ， 其它其它 . f ( x，y ) =G

16、 y = x 2 y = x O x y11 作业作业 P84 5；6；7；8；9 例例4 二维均匀分布二维均匀分布( X , ,Y ) U ( G ), 其密度函数为其密度函数为 若若( X , ,Y ) U(a , b ; c, d ) , 可以证明可以证明 X U ( a , b ) , Y U ( c , d )，即，即其中其中A为平面区域为平面区域G的面积的面积 . ., ),( 0, ),( ,1),( GyxGyxAyxf, 0, ,1)( 其其它它bxaabxfX. 0, ,1)( 其其它它dyccdyfY 例例3 二维正态分布二维正态分布( X , ,Y ) N ( 1, ,

17、 2 ; ; 12 , , 22 ; ; ),其密度函数为其密度函数为可以求得可以求得 X 的边缘密度函数为的边缘密度函数为其中参数其中参数 1, , 2 + ; ; 1 , , 2 0 ; ;1 1 . .)()(2)()1(21 2212222212121212121),( yyxxeyxf即，即， X N ( 1 , , 12 ) ; ;类似可得类似可得 Y N ( 2 , , 22 ) . .xXpxex2121()211()2 , , f一一阶阶导导数数定定积积分分定积分定积分?F ( x，y )f ( x，y ) f X ( x )f Y ( y ) F X ( x )F Y (

18、y )?极限极限二二重重积积分分二二阶阶偏偏导导第四节第四节 相互相互独立的随机变量独立的随机变量 定义定义1 若对所有的实数若对所有的实数 x , y ，随机变量，随机变量 X 、Y都满足：都满足： F ( x, ,y ) = F X ( x ) F Y ( y ) 则称随机变量则称随机变量 X 、Y 是相互独立的是相互独立的 . .1. 两个随机变量相互独立的定义两个随机变量相互独立的定义2 . 离散型随机变量相互独立的充分必要条件离散型随机变量相互独立的充分必要条件(证证) X , Y 相互独立相互独立 对所有对所有 i , j ，都有，都有 p i j = p i p j ,即有，即有

19、， P X = x i ，Y = yj = PX = x i P Y = yj . 注注 判断两个离散随机变量不独立，只需找到判断两个离散随机变量不独立，只需找到某一某一对对 i 0 、 j 0 ，使得：，使得：p i j p i p j .0 00 0 例例1 从从 1 、2 、3 、4 中随机地取一个数中随机地取一个数 X ，再从，再从 1 , , X 中随机地取一个数中随机地取一个数 Y . 判断判断X 、Y 是否独立？是否独立？ 解解 见分布律表见分布律表 显然，显然，PX = 3, Y = 4= 0 PX =3 PY =4=(1/4)(3/48) .即即 X 、Y 不独立不独立. Y

20、 X 1 2 3 41 1/4 1/8 1/12 1/162 0 1/8 1/12 1/163 0 0 1/12 1/164 0 0 0 1/16 p j = P Y = y j p i = P X = x i 25 / 4813 / 48 7 / 48 3 / 48 1/4 1/4 1/4 1/413 . 连续随机变量相互独立的充分必要条件连续随机变量相互独立的充分必要条件(证证) 连续随机变量连续随机变量 X, Y 相互独立相互独立 对所有的实数对所有的实数 x, y ，都成立：都成立： f ( x , ,y ) = f X ( x ) f Y ( y ) . 2 e ( 2 xy ) ,

21、 , 当当 x 0 , , y 0 ； 0 ， 其它其它f ( x，y ) = 例例 2 讨论讨论X , Y 的独立性，的独立性，( X,Y )的密度函数为的密度函数为 显然，显然， f ( x，y )= f X(x) f Y(y)，即即 X , Y 相互独立相互独立 .解解 其边缘密度分别为其边缘密度分别为2 e 2 x , , 当当 x 0 , , 0 ， 其它其它.f X(x) = e y , , 当当 y 0 , , 0 ， 其它其它.f Y(y) = 作业作业 P86 17 , 18 定理定理 若若( X , ,Y ) N ( 1, , 2 ; ; 12 , , 22 ; ; )，则

22、，则 X , Y 相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是 = 0 . 证证 (略略) 定理定理2 若若 X , ,Y 独立独立, 且函数且函数 g (u) 与与 h (u) 都是连续都是连续 ( 或者单调或者单调 )函数函数 ，则，则 g ( X ) 与与h (Y ) 也是独立的也是独立的. 类似可定义类似可定义 n 维随机变量维随机变量( X 1, X 2 , , X n ) 及其及其联合分布函数，联合密度函数，联合分布律，相互独立等联合分布函数，联合密度函数，联合分布律，相互独立等内容内容随机向量相互独立定义随机向量相互独立定义: 若对于所有的若对于所有的 x1, x2, , x

23、m ；y1, y2, , yn 有有 ),(),(),(2122112121nmnmyyyFxxxFyyyxxxF 其中其中F1, F2, F 分别为随机变量分别为随机变量 ( X1, X2, , Xm), ( Y1, Y2, , Yn ), (X1, X2, , Xm , Y1, Y2, , Yn )的联合分布函数，则称的联合分布函数，则称 (X1, X2, , Xm )和和(Y1, Y2, , Yn ) 是相互独立的是相互独立的.独立同分布定义独立同分布定义 若一组随机变量相互独立，且都服从同一分布，则若一组随机变量相互独立，且都服从同一分布，则称该随机变量是称该随机变量是独立同分布独立同

24、分布的的. 独立同分布的随机变量的联合密度函数为独立同分布的随机变量的联合密度函数为: f ( x 1 , x 2, , x n )= f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x n ). 定理定理 设设(X1, X2, , Xm ) 和和 (Y1, Y2, , Yn ) 相互独立，相互独立，则则 Xi ( i =1, 2, m) 和和 Yj ( j =1,2, n) 相互独立相互独立. 对于任对于任意连续函数意连续函数 h, g, h (X1, , Xm ) 和和 g (Y1, , Yn ) 是是相互独立的相互独立的.第五节第五节 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布1. 离

25、散型随机变量函数的分布律离散型随机变量函数的分布律 （类似于一维）（类似于一维）2. 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布( (一一) ) Z = X + Y 的分布的分布 设设 ( X ,Y ) 密度函数为密度函数为 f ( x，y )，则，则Z = X + Y 的分布函的分布函数为数为F Z ( z )= P Zz = P X + Yz = f ( x , y ) dx dy .x + y zx + y = zOxy zzyuxyzZdudyyyufdyduyyufdydxyxfzF),(),(),()(令令.用用y-型区域型区域G 设设 X 、 Y 有联合密度函数有联合密度函

26、数 f ( x ，y ) ，则则 Z = X Y 的密度函数为：的密度函数为： 特别的，当特别的，当 X 、Y 相互独立时，设相互独立时，设(X, Y)关于关于X, Y的边缘概率密度分别为的边缘概率密度分别为f X ( x), f Y ( y ) 有：有： dyyyzfdxxzxfzfZ),(),()(. )()()(, )()()( dyyfyzfzfdxxzfxfzfYXZYXZ Z = X + Y 的密度函数的密度函数 正态分布的可加性正态分布的可加性 更一般的，有限个相互独立的正态随机变量的线更一般的，有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布性组合仍然服从正态分布. 如果

27、如果 X、Y 相互独立，并且相互独立，并且 X N ( 1 , , 12 ) ， Y N ( 2 , , 22 ) ，则则 X Y N ( 1 2 , , 12 22 ) . . 例例2 一简单电路，两串联电阻一简单电路，两串联电阻R 1和和R2 独立同分布，且独立同分布，且其概率密度均为其概率密度均为求总电阻求总电阻 R = R 1+ R2 的概率密度的概率密度. . , 0 ,100 ,5010 )(其它xxxf.)()()( dxxzfxfzfR当当 时，时，即在下列情况下，被积函数不为零，即在下列情况下，被积函数不为零， ,100,100 xzx ,0,100zxz ,1010,201

28、0 xzz或或x=10z x = 0z x = 10 xzO1020解解 R 的概率密度为：的概率密度为： . ,0,2010 ,)()(,100 ,)()()(10100其它zdxxzfxfzdxxzfxfzfzzR . 0,2010 ,)20(150001,100 ),60600(150001332其它zzzzzz在不同范围内积分即可求得在不同范围内积分即可求得R 的概率密度：的概率密度： YX,1x2xy yx ,1 yx ,2;的不减函数和是关于变量,yxyxF ;,212121yxFyxFxxRxxRy 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 ;,212121yxFyxFyyRyyRx 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 YX,xyO