圆的一般方程(用)ppt课件.ppt

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1、1、圆、圆的标准方程的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径指出下面圆的圆心和半径： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0) 特征：特征：直接看出直接看出圆心圆心与与半径半径 复习复习(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2时时, ,点点M M在圆在圆C C外外. .2 2、点与圆的位置关系、点与圆的位置关系: :M MO OO OM MO OM M),(ba),(ba),(ba),(00yx),(00yx),(00yx待定系数法待定系数法解：设所求解：设所求

2、圆的方程为圆的方程为：222)()(rbyax因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上222222222(5)(1)(7)( 3)(2)( 8)abrabrabr 235abr 22(2)(3)25xy 所求所求圆的方程为圆的方程为 例例2 ABC的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程求它的外接圆的方程.例例2 方法二方法二圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOMA( (5, ,1) )B( (7,-,-3) )C( (2,-,-8) )

3、因为因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求解：设所求圆的标准方程为圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法待定系数法方法一：所求所求圆的方程为：圆的方程为：即（即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得解得 练一练练一练1： 求过三点求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.1： 求过三点求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并

4、求出这个圆的半径和圆心坐标的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法几何方法方法二：yxM1( (1, ,1) )M2( (4, ,2) )0 练一练练一练圆心：两条直线的交点圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOCA( (1, ,1) )B( (2,-,-2) ):10l xy 弦弦ABAB的垂的垂直平分线直平分线例例3.己知圆心为己知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1,1)和和B(2,-2),且圆心在直线且圆心在直线l:x-y+1=0上上,求圆心为求圆心为C的圆的圆的标准方程的标准方程.解解1:1: A(1,1),B(2,-2)例例3 3 己知圆心为己知圆心

5、为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且且圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上, ,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方的圆的标准方程程. .312 1( ,),3.222 1ABABDk 线段的中点113().232ABx线段的垂直平分线CD的方程为：y+即：即：x-3y-3=0103,3302xyxlxyy 联立直线 CD的方程：解得：圆心圆心C(-3,-2)22(1 3)(12)5.rAC 22(2)25.Cy圆心为 的圆的标准方程为(x+3)例例3 3 己知圆心为己知圆心为C C的圆经过点的圆经过点A(1,1)A(

6、1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且且圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上, ,求圆心为求圆心为C C的圆的标准方的圆的标准方程程. .圆经过圆经过A(1,1),B(2,-2)解解2:设圆设圆C的方程为的方程为222()(),xaybr圆心在直线圆心在直线l:x-y+1=0上上22222210(1)(1)(2)( 2)ababrabr 325abr 22(2)25.Cy圆心为 的圆的标准方程为(x+3)待定系数法待定系数法几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点两条直线的交点）（常用弦的（常用弦的中垂线中垂线） 求半径求半径 （圆心到圆上一点的

7、距离圆心到圆上一点的距离） 写出圆的标准方程写出圆的标准方程待定系数法待定系数法22222()()0)xaybrxyDxEyF设方程为(或列关于列关于a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F）的方程组的方程组解出解出a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程） 小结小结求圆的方程求圆的方程4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程 x2 y 2DxEyF0 把把圆的标准方程圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得展开，得 22222202 rbabyaxyx由于由于a, b, r均为常数均为常数FrbaEbD

8、a 222,2,2令令结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式任何一个圆方程可以写成下面形式 动动手动动手1.是不是任何一个形如是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程表示的曲线是圆呢？方程表示的曲线是圆呢？ 思考思考2.下列方程表示什么图形？下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.配方可得：配方可得：把方程：把方程：x2 y 2DxEyF0 (1) 当当D2+E2-4F0时时,表示以（表示以（ ） 为圆心，以为圆心，以( ) 为半径的圆为半径的圆.2,2ED FED42122 22

9、224()()224DEDEFxy (2) 当当D2+E2-4F=0时时,方程只有一组解方程只有一组解x=-D/2 y=-E/2，表示一个点（，表示一个点（ ）.2,2ED 动动脑动动脑(3) 当当D2+E2-4F0时时,方程无实数解方程无实数解,所所以以不表示任何图形不表示任何图形.所以形如所以形如x2 y 2DxEyF0 （D2+E2-4F0）可表示圆的方程可表示圆的方程22224()()224DEDEFxy 圆的一般方程：圆的一般方程：x2 y 2DxEyF0圆的圆的一般方程一般方程与与标准方程标准方程的关系：的关系：(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r= FED4

10、2122 没有没有xy这样的二次项这样的二次项（2）标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点：的特点：x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0； 判断下列方程能否表示圆的方程判断下列方程能否表示圆的方程,若能写若能写出圆心与半径出圆心与半径(1) x2+y2-2x+4y-4=0(2) 2x2+2y2-12x+4y=0(3) x2+2y2-6x+4y-1=0(4) x2+y2-12x+6y+50=0(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0是是圆心（圆心（1，-2）半径）半径3是是圆心（圆心（3，-1）半径）半径10不是不是不是不是

11、不是不是 练习练习1. 已知圆已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为的圆心坐标为(-2,3),半径为半径为4,则则D,E,F分别等于分别等于2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是是圆的方程的充要条件是3 , 6, 4)( A3 , 6 , 4)( B3, 6 , 4)( C3, 6, 4)( D21)( aA21)( aB21)( aC21)( aDDD 练习练习3.圆圆x2+y2+8x-10y+F=0 与与x轴相切轴相切,则这则这个圆截个圆截y轴所得的弦长是轴所得的弦长是4. 点点A(3,5) 是圆是圆 x2+y2-4x-8y-80=0 的一条的一条弦的中点

12、弦的中点,则这条弦所在的直线方程是则这条弦所在的直线方程是08 yx 练习练习6)(A5)(B4)(C3)( DA因为因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求解：设所求圆的标准方程为圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法待定系数法方法二：所求所求圆的方程为：圆的方程为：即（即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得解得 举例举例例例1： 求过三点求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标的方

13、程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 举例举例例例1： 求过三点求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法几何方法方法一：yxM1( (1, ,1) )M2( (4, ,2) )0 举例举例例例1： 求过三点求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求解：设所求圆的一般方程为圆的一般方程为：因为因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则都在圆上，则222240) 0(DEFxyDx Ey F

14、F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求所求圆的方程为圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0 即即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法待定系数法方法三：F=0D=-8E=6解得解得 小结小结( (特殊情况时特殊情况时, ,可借助图象求解更简单可借助图象求解更简单) )注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:若知道或若知道或涉及圆心和半径涉及圆心和半径,我们一般采用我们一般采用圆的圆的标标准准方程方程较简单较简单.若已知若已知三点三点求圆的方程求圆的方程,我们常常采用我们常常采用圆圆的的一般一般方程用待定系数法求解方程用待定系数法求解. 例例2. 已知一曲

15、线是与两定点已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线并画出曲线. 举例举例2222222( , )(0)(0)12(3)(0)23064( 9)0 x yxyxyxyx 解：设是所求曲线上的点，则由题意可得：两边平方化简得：该曲线为圆.yx .O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)直译法直译法 举例举例例例4. 已知线段已知线段AB的端点的端点B的坐标是（的坐标是（4，3），端点），端点A在圆在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.解：解：设

16、点设点M的坐标是（的坐标是（x,y）,点点A的坐标为（的坐标为（x0,y0）由于由于B点坐标为（点坐标为（4，3），），M为为AB的中点，的中点，所以所以23,2400yyxx整理得整理得. 32, 4200yyxx又因为点又因为点A在圆上运动，所以在圆上运动，所以A点坐标满足点坐标满足 方程，又有方程，又有（x0+1）2+y02=4 所以所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4整理得整理得1)23()23(22yx所以，点的轨迹是以（所以，点的轨迹是以（ ）为圆心，为半径的圆）为圆心，为半径的圆3 32 2，yABMxo1. 本节课的主要内容是圆的一般方程本节课的主要内容是圆的一般方程,其

17、表达式为其表达式为(用配方法求解用配方法求解)3. 给出圆的一般方程给出圆的一般方程,如何求圆心和半径如何求圆心和半径? 0402222FEDFEyDxyx 配方展开2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程一般方程标准方程标准方程(圆心圆心,半径半径) 小结小结几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点两条直线的交点）（常用弦的（常用弦的中垂线中垂线） 求半径求半径 （圆心到圆上一点的距离圆心到圆上一点的距离） 写出圆的标准方程写出圆的标准方程待定系数法待定系数法22222()()0)xaybrxyDxEyF设方程为(或列关于列关于a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F）的方程组的方程组解出解出a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程） 小结小结求圆的方程求圆的方程