2022年直角坐标系、伸缩变换 .pdf

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1、. . 课前案知识梳理：( 一) 、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系：（二） 、平面上的伸缩变换：1、定义：设 P(x,y) 是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y) 对应 P(x ,y ).称为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（ 1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。课中案例 1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：（1） 、已知点（ x,y ）经过伸缩变换yyxx23后的点的坐标是)4,

2、3(，则 x= ，y= . （2） 、已知点 (x,y)经过伸缩变换yyxx321后的点的坐标是（-2 ，6） ，则 x= ，y= ；例 2、 在同一平面直角坐标系中，曲线 C经过伸缩变换yyxx2131后的曲线方程是369422yx，求曲线 C的方程。例3. （ 1） 在 同 一平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 线C 经 过 伸 缩 变 换3xxyy后 的曲 线 方 程 是2299yx，求曲线C的方程。（2） 、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2 变成直线2 4xy的伸缩变换例 4. 曲线 C经过伸缩变换yyxx2131后的曲线方程是369422yx，求曲线 C的方程。(0):

3、(0)xxyy0,0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 课后案1将点（ 2， 3）变成点（ 3，2）的伸缩变换是（）A.yyxx2332 B.yyxx3223 C.xyyx D.11yyxx2.将点),(yxP的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标压缩为原来的31，得到点P的坐标为（）A.)3,2(yxB.)3,2(yxC.)2,3(yxD.)2,3(yx3.曲线C经过伸缩变换yyxx31后得到曲线C的方程为)2(lo

4、g2xy,则曲线C的方程为（）A.)2(log312xyB.)2(log32xyC.)231(log2xyD.)23(log2xy4. 把函数sin 2yx的图像作怎样的变换能得到sin(2)3yx的图像（）A向左平移6 B向右平移6 C向左平移3 D向右平移35. 将( )yf x的图像横坐标伸长到原来的3 倍，纵坐标缩短到原来的31，则所得函数的解析式为（）A3 (3 )yfx B. 1(3 )3yfx C. 13 ()3yfx D. 11()33yfx6点),(yx经过伸缩变换yyxx321后的点的坐标是（-2，6） ，则x，y；7将直线22yx变成直线42yx的伸缩变换是 . 8为了得

5、到函数Rxxy),63sin(2的图像，只需将函数Rxxy,s i n2的图像上所有的点（）A. 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B. 向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）D.向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）9. 曲线)6s i n( xy经过伸缩变换yyxx23后的曲线方程是；10. 曲线0222xyx变成曲线041622xyx的伸缩变换是 . 11. 曲线364922yx经过伸缩变换yyxx3

6、121后的曲线方程是 . 12. 将直线22yx变成直线42yx的伸缩变换是 . 13. 函数Rxxxxy, 1c o ss i n23c o s212. （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由)(s i nRxxy的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - . . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

7、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1点) 1 ,2(经过伸缩变换yyxx32后的点的坐标是；3在伸缩变换yyxx2与yyxx22的作用下，单位圆122yx分别变成什么图形？4. 函数31xyx，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1yx？1点),(yx经过伸缩变换yyxx23后的点的坐标是)4,3(，则x，y . 2将直线22yx变成直线42yx的伸缩变换是 . 3为得到函数Rxxy),63sin(2的图像，需将Rxxy,sin2的图像上所有的点（）A. 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标

8、缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B. 向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）D.向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）4曲线)6sin(xy经过伸缩变换yyxx23后的曲线方程是；5将曲线0222xyx变成曲线041622xyx的伸缩变换是 . 6. 函数( )fx的图像是将函数2log (1)x的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与( )f x的图像关于原点对称的图像的解析式是。名师资料总结 - - -精品资料欢

9、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - . . 问题一：（1）点（ 2，-3 ）经过伸缩变换yyxx3121后的点的坐标是；解：变式1 （ 1，-1） ；（2）点),(yx经过伸缩变换yyxx321后的点的坐标是（-2 ，6） ，则x，y；解：变式22,4 yx问题二： （1） 曲线364922yx经过伸缩变换yyxx3121后的曲线方程是122yx . （ 2）曲线C 经过伸缩变换yyxx2131后的曲线方程是369422yx，则曲线C 的方程是12

10、2yx . 1点) 1 ,2(经过伸缩变换yyxx32后的点的坐标是)3,(；3在伸缩变换yyxx2与伸缩变换yyxx22的作用下，单位圆122yx分别变成什么图形？解：在yyxx2的作用下，单位圆变成椭圆1422yx；在yyxx22的作用下，单位圆变成圆422yx；4. 函数31xyx，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1yx？解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。方法一、（先伸缩，再平移）y伸长到原来的3 倍：1331xyx得331xyxx伸长到原来的3 倍：13()1311113()13xxyxxx得111yx向左平移1 个单位，再向下平

11、移1 个单位：1(1)1(1)1yx得1yx。方法二、 (先平移，再伸缩) 向左平移13个单位 : 11131393()13xyxx得1139yx再向下平移13个单位：111()339yx得19yxx伸长到原来的9 倍：1119()9yxx方法三、（平移与伸缩的交替运用）x伸长到原来的3 倍：1133113()13xxyxx得13111xyxx向左平移1 个单位：11311(1)1yxxy伸长到原来的3 倍：113()13yx得11yx向下平移1 个单位：11 1yx得1yx评注：这是一道培养发散思维能力的好题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

12、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - ,五，作业1点),(yx经过伸缩变换yyxx23后的点的坐标是)4,3(，则xx，y2y.2将直线22yx变成直线42yx的伸缩变换是yyxx4 . 3为了得到函数Rxxy),63sin(2的图像， 只需将函数Rxxy,sin2的图像上所有的点（C ）A.向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来

13、的3 倍（纵坐标不变）D.向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）4曲线)6sin(xy经过伸缩变换yyxx23后的曲线方程是)63sin(2xy；5将曲线0222xyx变成曲线041622xyx的伸缩变换是yyxx212 . 6. 函数( )fx的图像是将函数2log (1)x的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与( )f x的图像关于原点对称的图像的解析式是。解：2log (1)yx以3 , 2xy分别代, x y得22l o g ( 31 )yx21log (31)2yx有21( )log (31)2f xx，它的图像关于

14、原点对称的图像的解析式是21log (13 )2yx典例剖析【例 1】 ：求下列点经过横坐标变为原来的2 倍，纵坐标变为原来的3 倍后的点的坐标：（1） （1，2） ；（2） （-2 ，-1 ）. 【例 1】解： （ 1） （2，6） ； （ 2） （-4 ，-3 ）. 【变式与拓展1】 【例 2】 ：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换yyxx32后的图形：（1）032yx； （2）122yx. 【例 2】解： （ 1）0yx； （2）19422yx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

15、 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - . . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - . . 坐标压缩变换：设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点

16、，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来1/2，得到点 P(x,y ).坐标对应关系为：yyxx21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。思考 2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx? 写出其坐标变换。设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y 伸长为原来3 倍，得到点 P(x,y ).坐标对应关系为：yyxx3通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。思考 3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。定义：设 P(x,y) 是平面直角坐标系中任意一点，在变换)0( ,)0( ,:yyyxx的作用下， 点 P(

17、x,y)对应 P(x ,y ). 称为平面直角坐标系中的伸缩变换。【典型例题】在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。将直线22yx变成直线42yx，分析：设变换为),0( ,),0( ,yyxx可将其代入第二个方程，得42yx，与22yx比较，将其变成,442yx比较系数得.4, 1【解】 (1)yyxx4，直线22yx图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4 倍可得到直线42yx。达标检测A2点),(yx经过伸缩变换yyxx321后的点的坐标是（-2，6） ，则x，y；A4将直线22yx变成直线42yx的伸缩变换是 . B6. 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经

18、过伸缩变换yyxx32后的图形：（1）032yx；（2）122yx.老城高中高二数学选修4-4 导学案编号：1.2.1极坐标系的的概念情境 2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。（1）他向东偏60方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？（2） 如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题 1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样Y ),(MOx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - -

19、 OX的坐标系呢？问题 2：如何刻画这些点的位置？二、新课导学探究新知 （预习教材 P8P10，找出疑惑之处）1、如右图，在平面内取一个O，叫做；自极点O引一条射线Ox，叫做；再选定一个，一个（通常取）及其（通常取方向），这样就建立了一个。2、设M是平面内一点， 极点O与M的距离|OM叫做点M的，记为；以极轴Ox为 始边， 射线OM为 终边 的角x O M叫 做点M的，记为。有序数对叫做点M的，记作。3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？_. 应用示例例题 1：(1)写出图中A，B，C，D，E ，F，G各点的极坐标)20, 0(. （2） ：思考下列问题，给出解答。平面上一点的极坐标是否唯一

20、？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？本题点G的极坐标统一表达式。答：反馈练习在下面的极坐标系里描出下列各点小结：在平面直角坐标系中，一个点对应个坐标表示， 一个直角坐标对应个点。 极坐标系里的点的极坐标有种表示，但每个极坐标只能对应个点。三、总结提升2.有关曲线伸缩变换的一般性结论：一般地， 由yyxx，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为向着y轴的伸缩变换 ( 当1时，表示伸长；当1 时，表示伸长； 当1 时，表示压缩 ) ，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍( 这里),(yxP是变换前的点，),(yxP是变换后的点 ). 由y

21、yxx，所确定的伸缩变换，是按伸缩系数向着x轴和按伸缩系数向着y轴的伸缩变换 ( 当1时，表示伸长，1时，表示压缩；当1时，表示伸长， 当 1 时，表示伸长；当k 1 时，表示伸长；当k 1 时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍。这里 P（x，y)是变换前的点，P(x ，y)是变换后的点。2同样由x = x，ky = y所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着 x 轴的伸缩变换。4，我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1点)1 ,2(经过伸缩变换yyxx32后的点的坐标是)3,(；2将点（ 2，3）变成点（ 3，2）的伸缩变换

22、是（B ）A.yyxx2332 B.yyxx3223C.xyyx D.11yyxx3在伸缩变换yyxx2与伸缩变换yyxx22的作用下，单位圆122yx分别变成什么图形？解：在yyxx2的作用下，单位圆变成椭圆1422yx；在yyxx22的作用下，单位圆变成圆422yx；4. 函数31xyx，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1yx？解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。方法一、（先伸缩，再平移）y伸长到原来的3 倍：1331xyx得331xyxx伸长到原来的3 倍：13()1311113()13xxyxxx得111yx向左平移1 个单位，再向

23、下平移1 个单位：1(1)1(1)1yx得1yx。方法二、 (先平移，再伸缩) 向左平移13个单位 : 11131393()13xyxx得1139yx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - . . 再向下平移13个单位：111()339yx得19yxx伸长到原来的9 倍：1119()9yxx方法三、（平移与伸缩的交替运用）x伸长到原来的3 倍：1133113()13xxyxx得13111xyxx向左平移1 个单位：1

24、1311(1)1yxxy伸长到原来的3 倍：113()13yx得11yx向下平移1 个单位：111yx得1yx评注：这是一道培养发散思维能力的好题。,五，作业1点),(yx经过伸缩变换yyxx23后的点的坐标是)4,3(，则xx，y2y.2将直线22yx变成直线42yx的伸缩变换是yyxx4 . 3为了得到函数Rxxy),63sin(2的图像， 只需将函数Rxxy,sin2的图像上所有的点（C ）A. 向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B. 向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6个单位长度，再把所得各点的

25、横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）D.向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变）4曲线)6sin(xy经过伸缩变换yyxx23后的曲线方程是)63sin(2xy；5将曲线0222xyx变成曲线041622xyx的伸缩变换是yyxx212 . 6. 函数( )fx的图像是将函数2log (1)x的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与( )f x的图像关于原点对称的图像的解析式是。解：2log (1)yx以3 , 2xy分别代, x y得22l o g ( 31 )yx21log (31)2yx有21( )log (31)2f x

26、x，它的图像关于原点对称的图像的解析式是21log (1 3 )2yx典例剖析名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 【例 1】 ：求下列点经过横坐标变为原来的2 倍，纵坐标变为原来的3 倍后的点的坐标：（1） （1，2） ；（2） （-2 ，-1 ）. 【例 1】解：（1） （2，6） ； （2） （-4 ，-3 ）. 【变式与拓展1】 【例 2】 ：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换yyxx3

27、2后的图形：（1）032yx； （ 2）122yx. 【例 2】解：（1）0 yx； （2）19422yx2.将函数xysin图象上所有点的横坐标扩大为原来的2 倍，纵坐标拉伸为原来的2 倍，得到的函数图象的解析式为（）A.xy2sin21B.xy21sin21C.xy2sin2D.xy21sin23.将点)2, 2(P变换为点) 1, 6(P所用的伸缩变换公式是（）A.yyxx231B.yyxx321C.yyxx213D.yyxx234.已知点)3, 2(P按向量)4, 1(a平移至点Q，求点 Q 的坐标 ; 已知点)2, 3(P按向量a平移至点) 0, 2(Q，求平移向量a. 5.将对数函

28、数xy3log曲线的横坐标拉伸为原来的2 倍，求所得曲线的方程. 6.在同一直角坐标系中，已知伸缩变换yyxx23:. .求点)2,31(A经过变换所得到的点A的坐标；.点B经过变换得到点)21, 3(B，求点B的坐标.求直线xyl6:经过变换后所得到的直线l的方程；.求双曲线164:22yxC经过变换后所得到的曲线C的焦点坐标 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - . . 7.在平面直角坐标系中求将曲线1:22yxC变为曲线149:22yxC的伸缩变换 . 8.方程07161843:22yxyxC表示何种曲线，求它的中心坐标、焦点坐名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -