2022年相关函数 .pdf

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1、自相关函数上一页下一页数学期望与方差分别为一维随机变量的一阶原点矩和二阶中心矩, 虽然是常用的特征量 , 但它们描述的只是随机信号在各个时刻的统计特征, 而不能反映出在不同时刻各数值之间的内在联系。自相关函数是用来表征一个随机过程本身, 在任意两个不同时刻t1, t2的状态之间的相关程度 , 因而是内在联系的一种度量, 必须利用 t=t1,t2时的二维概率密度函数进行描述。为此定义实随机信号的相关函数为: (4.13) 可见式 (4.13) 表示随机信号 X(t) 本身, 在任意两个不同时刻t1, t2的取值 X(t1)和 X(t2)之间的关联程度 . 当 t1=t2=t, 则有 x1= x2

2、=x，故得 (4.14) 上式说明 X(t) 的均方值是其自相关函数在t1=t2时的特例。随机信号在频域的描述上一页下一页以上各界所讨论的数学期望, 相关函数的数字特征都是在时域由来描述随机信号的。那么作为功率型的随机信号由于(- , )时间区间 , 任一样本函数不满足绝对可积和能量有限的条件, 能否利用傅立叶分析在频域对它进行描述呢?本节将讨论这个问题。功率密度谱随机信号是一类持续时间无限长, 具有无限大能量的功率信号, 虽然它不满足傅立叶变换的条件但由于它的任一样本函数功率有限, 所以功率谱就成为在频域描述随机信号统计规律的重要特征参量。一个确定性的能量信号可以通过能量密度谱E()来描述信

3、号能量在频域的分布特性 . 同理, 对一个确定性功率信号可以利用功率密度谱来描述信号功率在频率域分布情况 , 功率密度谱反映了单位频带信号功率的大小, 是频率的函数以 p()表示。设 x(t) 是一个功率信号 , 其平均功率定义为 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 由于功率信号不满足傅立叶变所要求的总能量为有限( 平方可积 ) 的充要条件 , 因此为了求得傅立叶变换与功率密度谱的关系式, 采取求极限的办法先将x

4、(t) 截短, 形成 xT(t),即所以只要 T 为有限值 , 则相应的傅立叶变换xT( ) 存在, 其总能量按能量信号的帕斯瓦尔公式 , 有 (4.21) 由于故得平均功率为 (4.22) 上式中 , 因 x(t) 是功率信号故极限存在 , 当 T, XT()2/2T 趋于一个极限值。令 (4.23) 由式(4.22) 右端所示的平均功率可写成为 (4.24) 可见, 平均功率是由被积函数p()在频率 (- , ) 区间覆盖的面积所确定。 故称 p()为功率密度谱 , 简称功率谱。这样就把功率信号在频域的分析与傅立叶变换联系起来。如果 x(t) 表示随机信号 X(t) 的任一样本函数 , 则

5、意味着随机信号在频域的特征可以通过傅立叶变换来表征。同时从式 (4.22) 还表明随机信号的平均功率也可以通过计算均方值的时间平均（时间均方值） 来求得。功率密度谱虽然描述了随机信号的功率在各个不同频率上的分布, 但因为它仅与幅度频谱有关,没有相位信息 , 所以从已知功率谱还难以完整地恢复原来的功率信号。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 随机信号功率密度谱与自相关函数的关系上一页下一页如上所述 , 设 X(t) 表

6、示功率型随机信号， 则其每一样本函数x(t) 也是功率信号。由于随机过程每一实现是不能预知的, 因此随机信号的功率密度谱应是所有样本功率谱 p/ 计平均 , 即: (4.25) 这里 XT( ) 是任一截短后样本xT2(t) 的傅立叶变换 , 即: (4.26) 将 XT( ) 带入式 (9.75) 中的 XT( ) 2=XT( ) X*T(), 得: 式中 Ex(t1)x(t2)=Rxx(t1, t2), -Tt1,t2T 令 t1=t, t2=+ t1并将双变量 dt1=dt, dt2=d带入上式进行变量置换 , 则得 (4.27) 式(4.27) 表明: 对于任意随机信号X(t), 它的

7、自相关函数的时间均值与信号的功率密度谱构成一对傅立叶变换。若X(t) 是平稳随机信号 , 则由于自相关函数与t无关, 故有: 当 Rxx( ) 为绝对可积 , 则存在相应的傅立叶变换 , 故式(9.77) 可写成为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - (4.28) 根据傅立叶变换的唯一性,px( ) 的反变换为 : (4.29) 式（4.28）与式（4.29 ）所表示的平稳随机信号的自相关函数与功率密度谱构成傅里叶变换

8、对的关系称为维纳一欣钦（Wiener-Khinchine ）定理或维纳一欣钦公式。它揭示了从时域描述平稳随机信号X(t) 统计规律和从频域描述X(t) 的统计规律之间的内在联系， 是分析随机信号的一个非常有用的重要公式。通过相关函数，可以求出在频域描述随机信号的基本特征量功率密度谱。功率密度谱具有非负性和偶对性，即; 故有（4.30）当=0 （4.31 ）可见，功率信号的自相关函数在原点的值等于信号的平均功率。同理，可推得两个联合平稳随机信号X（t ）与 Y（t ）的互功率密度谱（简称互谱）与互相关函数也是一对傅立叶变换，即：（4.32 ） (4.33) 确定性信号序列的谱分析上一页下一页大家

9、知道，确定性模拟信号x(t) 的谱可以用其傅立叶变换来进行分析。其中，对于周期性信号，可以用其傅立叶级数来表示，这时，它的谱是非周期的、离散的分布。对于非周期性信号，则可以用其傅立叶积分来表示，这时，它的谱是非周期的、连续的分布。不过，更广泛地，应该用复频谱来表示，或者说，模名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 拟信号的谱应该用该信号的拉普拉斯变换来表示。这时，在复平面s 上某点sk=k+j2 Fk处的 X（sk）值就

10、表示了该信号在复频率为sk的复频谱分量。与此相对应， 对于确定性信号序列， 也有如上分类的谱分析。 对于周期性序列，可以用其离散傅立叶级数来表示；不过，不同与模拟信号情况，它的谱是周期的、离散的分布。对于非周期性序列，则可以用序列的傅立叶变换来表示；不过，也不同于模拟信号情况；它的谱是周期的、连续的分布。而且在数字信号处理中，更常用的是在这个傅立叶变换的一个周期范围内，对频率等间隔取样的各值来作为频谱的近似表示， 即非周期序列的谱， 常用离散傅立叶变换 DFT来近似表示。最后，也与模拟信号情况相对应，更广泛地，序列的谱应该用复频谱来表示，即应该用该序列的z 变换来表示。这时，在复平面z 上任意

11、点 zk=rkej k处的z 变换值 X （zk）就表示了该序列在复数字角频率为zk上的复频率分量。当r=1,即 z 点处在 |z|=1 单位圆上时， X（z）就转化为该序列的傅立叶变换X（ej ）；同时，如再在该单位圆上按角度进行等分，这相当于在数字角频率的一个周期2内按 2/N 进行等间隔频率取样，则各取样点的X(ej(2 /N)k) 值就是该序列的离散傅立叶变换 X（k）。确定性信号序列的谱分析也是用线性移不变离散系统来进行的，这可称为“确定性序列谱分析器”。针对不同情况，有好几种方法来构成数字谱分析器。但是，若从技术观点来看，可以发现只有用数字滤波器和序列变换（z 变换或 DFT ）的

12、原理两种；在这里只介绍一下FFT型谱分析器。FFT型谱分析器：这种方法是依据信号序列谱的定义，应用离散傅立叶变换 （对于需要分析的各谱分量是频谱， 而不是复频谱的情况， 即各 zk是等角度地分布在 |z|=1单位圆上的情况）直接计算出各谱分量X(ej(2 /N)k)=X（k）来用它近似地表示序列的谱；或者应用取样 z 变换的方法（对于需要分析的各谱分量是复频谱情况，即各zk是等角度地分布在 |z|1 单位圆上的情况） , 直接计算出各谱分量X （zk）= X(ej(2 /N)k) ，用它近似地表示序列的复频谱， 在理论上在理论上这种方法都是适用的，都可以用 FFT的方法来得到。 这又先看第一种

13、情况， 这时 zk点是等角度地分布在0 至 2范围的圆上，圆的半径r 可以等于 1。在这种情况下，信号序列x(n) ，0nN-1 的各个谱分量（设需分析的频率的点数也是0kN-1）可以写成：（5.1）如果 zk的位置是在 r=1 的单位圆上，则上式就简化为：（5.2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 由上述可见，无论是r=1 或 r1 情况，信号序列 x(n) 的频谱或复频谱都可以用 DFT的形式来表示，因此，可以

14、应用FFT算法来运算。再看第二种情况，这时zk点是等角度地分布在r=1 或 r1 的圆上，但仅在某角度范围内存在的情况。在这种情况下，设zk的起点 z0的角度为 ，共有 L点按 2/N 等间隔地排列，则有：(5.3）这是对于 r1 的情况，若 r=1，则有：（5.4 ）由上述可见，对于这种情况，也都仍然用DFT形式来表示频谱或复频谱。总之，无论 r=1 或 r1, 也无论 zk是分布在 0 至 2范围内或仅分布在有限角度范围内，只要 zk是分布在 z 平面的圆上，信号序列x(n) 的频谱或复频谱，都可以用 N点 DFT来近似表示，都可以用快速傅立叶变换的设备来作为数字谱分析器。其基本根据是：

15、FFT可以算出任意 L 点的 N点复序列的 DFT 。随机信号序列的谱分析上一页下一页以上各界所讨论的数学期望, 相关函数的数字特征都是在时域由来描述随机信号的。那么作为功率型的随机信号由于(- , )时间区间 , 任一样本函数不满足绝对可积和能量有限的条件, 能否利用傅立叶分析在频域对它进行描述呢?本节将讨论这个问题。功率密度谱随机信号是一类持续时间无限长, 具有无限大能量的功率信号, 虽然它不满足傅立叶变换的条件但由于它的任一样本函数功率有限, 所以功率谱就成为在频域描述随机信号统计规律的重要特征参量。一个确定性的能量信号可以通过能量密度谱E()来描述信号能量在频域的分布特性。同理 , 对

16、一个确定性功率信号可以利用功率密度谱来描述信号功率名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 在频率域分布情况 , 功率密度谱反映了单位频带信号功率的大小, 是频率的函数以 p()表示。设 x(t) 是一个功率信号 , 其平均功率定义为 : 由于功率信号不满足傅立叶变所要求的总能量为有限( 平方可积 ) 的充要条件 , 因此为了求得傅立叶变换与功率密度谱的关系式, 采取求极限的办法先将x(t) 截短, 形成 xT(t),即所

17、以只要 T 为有限值 , 则相应的傅立叶变换xT( ) 存在, 其总能量按能量信号的帕斯瓦尔公式 , 有: (4.21) 由于故得平均功率为 (4.22) 上式中 , 因 x(t) 是功率信号故极限存在 , 当 T, XT()2/2T 趋于一个极限值。令 (4.23) 由式(4.22) 右端所示的平均功率可写成为: (4.24) 可见, 平均功率是由被积函数p()在频率 (- , ) 区间覆盖的面积所确定。 故称 p()为功率密度谱 , 简称功率谱。这样就把功率信号在频域的分析与傅立叶变换联系起来。如果 x(t) 表示随机信号 X(t) 的任一样本函数 , 则意味着随机信号名师资料总结 - -

18、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 在频域的特征可以通过傅立叶变换来表征。同时从式 (4.22) 还表明随机信号的平均功率也可以通过计算均方值的时间平均（时间均方值） 来求得。功率密度谱虽然描述了随机信号的功率在各个不同频率上的分布, 但因为它仅与幅度频谱有关,没有相位信息 , 所以从已知功率谱还难以完整地恢复原来的功率信号。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -