2022年矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION .pdf

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1、3 仿射坐标系一、仿射坐标系与度量系数仿射坐标 在三维欧氏空间中，若取一个直角坐标系，其坐标单位矢量为i，j，k 时，则空间中的矢量 a 可表示为aax iay jaz k一般地，在空间中给定了三个不共面的矢量e1，e2，e3，则空间中任一矢量a 可按这三个矢量分解，令其系数为a1,a2,a3(这里 1,2,3不是指数，而是上标 )则 a 可表示为aa1e1a2e2a3e3或简计作aaieiaa1,a2,a3 ai这种坐标系e1,e2,e3称为仿射坐标系， e1,e2,e3称为坐标矢量， a1,a2,a3称为矢量 a 的仿射坐标. 欧氏空间中度量系数 当矢量 a 写成上面的形式时，则它的长度a

2、 由(a)2(aiei)(ajej)(eiej)aiaj给出.令eiejgij(gji) (i，j1,2,3) 则称 gij为仿射坐标系的度量系数 . 1矢量 a 的长度由(a)2gijaiaj计算. 2两个矢量aaiei，bbjej的夹角由cos g a bg a ag b bijijijijijij计算. 3因为 gijaiaj是正定二次型，所以由gij所作的行列式gggggggggg1112132122233132330欧几里得空间简称欧氏空间，它的定义见第二十一章，4. 这种缩写是张量算法中的写法.如果每个指标在乘积中出现一次，就表示它取一切可能的值；如果每个指标在乘积中出现两次，就表

3、示取一切可能的值，而后再把各项相加，求其总和.这种规定称为爱因斯坦约定. 这是张量写法 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 混合积(e,e,e)2= 332313322212312111eeeeeeeeeeeeeeeeee=g(e,e,e)=g克罗内克尔符号 对称矩阵ggggggggggij111213212223313233的逆矩阵用333231232221131211ggggggggggij来表示 .由逆矩阵

4、的性质，有gij=gji和gikgkj=ji式中ji=10,ijij称为克罗内克尔符号 . 互易矢量 利用这个 gij规定ei=gijej因而有ej=gijeieiek=(gijej)ek=gij(ejek)=gijgjk=kieiej=(gilel)(gjmem)=gilgjm(elem)=gilgjmglm=gillj=gij对 e,e,e，可以得到e1=1g(e2e3), e2=1g(e3e1), e3=1g(e1e2)e1,e2,e3称为关于坐标矢量 e1,e2,e3的互易矢量 . gij称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数. 二、逆变矢量与协变矢量名师资料总结 - - -精品资料欢迎

5、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 逆变矢量与协变矢量 如果矢量 a 在坐标系e,e,e中的仿射坐标 a1,a2,a3是由公式aa1e1a2e2a3e3=aiei给出，则 a1,a2,a3称为矢量 a 的逆变坐标 (或称为抗变坐标 )，而矢量ai称为逆变矢量 (或称为抗变矢量 ). 如果关于坐标矢量e,e,e的互易矢量为 e1,e2,e3，矢量 a 在坐标系e1,e2,e3中的仿射坐标 a1,a2,a3是由公式aa1e1a2e2a3e3=ajej给出，

6、则 a1,a2,a3称为矢量 a 的协变坐标，而矢量aj称为协变矢量 . 在直角坐标系中，矢量的协变坐标与逆变坐标是一致的.一般地，在仿射坐标系中协变坐标与逆变坐标有关系ai=aei=(ajej)ei=aj(ejei)=ajgji逆变矢量与协变矢量的标量积 如果 a , b 为两个矢量， a1 ,a2 ,a3 ; b1 ,b2 ,b3分别为它们的逆变坐标，则ab=gijaibj如果 a , b 为两个矢量， a1 ,a2,a3 ; b1,b2 ,b3分别为它们的协变坐标，则ab=gijaiaj如果 a 的逆变坐标为 a1,a2,a3,b 的协变坐标为 b1,b2 ,b3 , 则ab=aibi三

7、、n 维空间n 维空间的定义 如果空间中的点与n 个独立实数 x1， ，xn的有序组的值建立一对一且双方连续的对应，那末，以这样的点作为元素的集合称为n 维实数空间 (简称 n 维空间 )，记作 Rn.所以空间中一点 M 对应于一组有序数x， ，xn；反之，一组有序数x， ，xn对应于一点 M.这样的一组有序数 (x， ，xn)称为 n 维空间 Rn中一点 M 的坐标. n 维空间中的矢量 在 n 维空间 Rn中取一定点 O，坐标为 (0,0, ,0)，另外一点 M(x1，x2， ，xn)，r 为对应于两点 O 和 M 的矢量，称为点 M 的矢径 . 假定在 Rn中可以引进仿射坐标系，使得矢径

8、r 与点 M(xi)的坐标的关系是rx1e1 xnenxiei式中 e1， ，en是 Rn中 n个线性无关的矢量，这种坐标系e1, ,en称为 Rn中的仿射坐标系， x1， ，xn称为 Rn中矢量 r 的仿射坐标 . 在三维空间中所讨论的许多结果，在n 维空间中都成立，只要把公式中所出现的指标认为从 1 到 n 就行了 . 逆变矢量与协变矢量 在 n 维空间 Rn中考虑一个任意坐标变换n 维实数空间另一定义见第二十一章， 3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，

9、共 5 页 - - - - - - - - - xxxxiin1,in1 2 ,(1)其中函数xi关于 xi有连续的各阶导数 (讨论中所需要的阶数 )，变换的雅可比式不等于零：0,2121nnxxxxxx因而(1)有逆变换xxxxxiin12,设 a1, ,an为 xi的函数，如果在坐标变换下，它们都按坐标微分一样地变换，即iiiiaxxa则称 ai为坐标系 (xi)中一个矢量的逆变坐标，ai为坐标系xi中同一个矢量的逆变坐标 .称矢量ai为逆变矢量 . 如果 ai按iiiiaxxa的形式变换，则称 ai为坐标系 (xi)中一个矢量的协变坐标，称ai为坐标系xi中同一矢量的协变坐标，称矢量ai

10、为协变矢量 . 逆变矢量和协变矢量的变换系数是不同的，但是它们之间有关系式ijjkkixxxx式中ji为克罗内克尔符号 . 例标量场的梯度是一个协变矢量. 设 n 维空间的标量场为xxxn12,它沿一无限小位移 dxi上的变更iixdd是一个在坐标变换下的不变量，式中iix是的梯度的分量 .因此在坐标变换下，这里用xi表示同一点M（xi）在另一个坐标系中的坐标，就是说xi和xi表示同一点 . 用同一个核文字 (如 x)表示同一个对象，用指标上加一撇表示不同的坐标系（如xxii,等） ，这种记法叫核标法 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - iiiiiiiixxxxxddd.则iiiixx.所以i是一个协变矢量 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -